談基于課本的高中數(shù)學(xué)寫作選題

倉萬林　高強(qiáng)　李紅

【摘 要】數(shù)學(xué)寫作是一種學(xué)習(xí)方式，課本是學(xué)習(xí)中的基本材料，也是高中數(shù)學(xué)寫作的素材來源之一．文章以高中數(shù)學(xué)人教A版第一冊函數(shù)內(nèi)容為例，按數(shù)學(xué)寫作的常見類型：學(xué)習(xí)感悟、解題研究、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化與科普類型，對從課本中選題進(jìn)行介紹，并給出部分學(xué)生數(shù)學(xué)寫作實(shí)踐案例．

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)寫作；課本；素材；函數(shù)

隨著課程改革的不斷深入，學(xué)科融合活動(dòng)得到了越來越多的關(guān)注，其中高中數(shù)學(xué)寫作是高中學(xué)生以數(shù)學(xué)為主題和材料的寫作活動(dòng)，而選題又是高中數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)．

數(shù)學(xué)寫作從課本中選題體現(xiàn)了選題方便性原則．課本是教學(xué)最重要的課程資源，是開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的極好素材.課本中的例題、習(xí)題等是編者從學(xué)科整體的角度出發(fā)，精心挑選，符合學(xué)生的認(rèn)知特征．閱讀是寫作的基礎(chǔ)，課本中很多有價(jià)值的閱讀材料，比如數(shù)學(xué)文化，包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家介紹等，可以幫助師生更好地理解數(shù)學(xué)．課本習(xí)題具有典型性，是解題訓(xùn)練的模板，也是思維訓(xùn)練的典范．課本中的“探究拓展”類問題，未必適合所有的學(xué)生．平時(shí)教學(xué)中，由于條件的限制，教師往往不能恰當(dāng)使用這些素材，而數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)具有多元、靈活、開放、創(chuàng)新等特點(diǎn)，正好可以充分利用課本資源．

目前，高中數(shù)學(xué)人教A版教材使用范圍最為廣泛，筆者以人教A版第一冊中的函數(shù)內(nèi)容（第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”和第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”）為例［1］，談從課本中進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作選題的問題．函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)概念及其數(shù)學(xué)思想方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)．

“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟成立于2017年，目前已經(jīng)有100多所學(xué)校加盟.根據(jù)聯(lián)盟經(jīng)驗(yàn)，兼顧數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)的方便，數(shù)學(xué)寫作按內(nèi)容性質(zhì)一般分為以下四類：學(xué)習(xí)感悟、解題研究、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化與科普.這些內(nèi)容，都能在函數(shù)內(nèi)容中找到相應(yīng)的素材．

1 學(xué)習(xí)感悟類

案例1 （第73頁第10題）一個(gè)老師用５分制對數(shù)學(xué)作業(yè)評(píng)分．一次作業(yè)中，第一小組同學(xué)按座位序號(hào)1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5．你會(huì)怎樣表示這次作業(yè)的得分情況？用x，y分別表示序號(hào)和對應(yīng)的得分，y是x的函數(shù)嗎？如果是，那么它的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系各是什么？

推薦理由：剛剛接觸函數(shù)概念的學(xué)生，由于概念高度抽象與符號(hào)化，覺得函數(shù)概念難以理解，特別是用符號(hào)語言刻畫函數(shù)．問題用敘述的形式展現(xiàn)了函數(shù)的定義，對學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義和本質(zhì)有重要促進(jìn)作用．學(xué)生寫下學(xué)習(xí)感受，是對函數(shù)概念進(jìn)一步“體悟”的過程，對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)會(huì)更加清晰．在數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)中，筆者特別關(guān)注能反映函數(shù)本質(zhì)的課本題目，曾經(jīng)咨詢過部分一線教師，他們在教學(xué)中并沒有選擇或者重視這個(gè)問題．

數(shù)學(xué)寫作方向建議：（1）分別用列表法、圖象法、解析法表示這個(gè)函數(shù)；（2）體會(huì)問題中的轉(zhuǎn)化過程，感受函數(shù)中“對應(yīng)關(guān)系”本質(zhì)．

部分學(xué)習(xí)感悟類素材推薦如表1.

學(xué)生寫作：函數(shù)都有圖象嗎？（節(jié)選）

當(dāng)我們想念某個(gè)好友時(shí)，常做的事情是什么呢？許多人的動(dòng)作往往是動(dòng)動(dòng)手指，刷刷好友的朋友圈，或者逛逛他的QQ空間，看看他的生活照吧！

函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真，函數(shù)的圖象是刻畫函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一．我們對函數(shù)的圖象情有獨(dú)鐘是有原因的，它能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況，就像我們看到了好友的照片一樣親切．另外，函數(shù)圖象也可以幫助我們解決許多從傳統(tǒng)解析式出發(fā)難以解決的問題，也就是同學(xué)們常用的“數(shù)形結(jié)合”的工具．那么，函數(shù)都有圖象嗎？

許多同學(xué)馬上會(huì)提出問題：有的函數(shù)圖象，我們用手工作圖的方法的確不容易畫出來．這種情況好解決，我們可以借用現(xiàn)代化技術(shù)手段，比如手機(jī)軟件中許多畫圖APP的功能還是挺強(qiáng)大的．下面我們就用幾何畫板作出函數(shù)y=ln1－x/1+x圖象，如圖1.圖1

我們知道要證明一個(gè)命題不成立時(shí)，除了直接證明之外，常用的一個(gè)策略是舉反例.我們能找到一個(gè)作不出圖象的函數(shù)嗎？

狄利克雷函數(shù)就是一個(gè)很好的例子，狄利克雷函數(shù)可以簡單地表示分段函數(shù)的形式D（x）=1，x為有理數(shù)，0，x為無理數(shù).在中學(xué)范圍內(nèi)，我們可以理解的此函數(shù)的基本性質(zhì)有：（1）定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)集R；（2）值域?yàn)閧0，1}；（3）函數(shù)為偶函數(shù)；（4）無法畫出函數(shù)圖象，但是它的函數(shù)圖象客觀存在；（5）以任意正有理數(shù)為其周期．

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，其重要意義不僅僅在于給我們造出了一個(gè)函數(shù)圖象不存在的示例，而且極大地推動(dòng)了函數(shù)概念的發(fā)展，使人們對函數(shù)的認(rèn)識(shí)超越了解析式的限制．

讓我們好好靜下心來梳理一下，高中階段還遇到哪些感覺怪怪的函數(shù)，可不要小看了他們呀，函數(shù)演變中一個(gè)重要因素就是這些“怪”函數(shù)的出現(xiàn).還是剛才的狄利克雷函數(shù)，是周期函數(shù)，但不存在最小正周期，是不是又顛覆了我們對函數(shù)周期性的認(rèn)識(shí)呢？

2 解題研究類

案例2 （第101頁第12題）試討論函數(shù)y=x－1/x的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，并畫出函數(shù)圖象．推薦理由：作為對照，不妨看一下，課本中的另外幾個(gè)值得關(guān)注的問題．

（第79頁例3） 根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+1/x在區(qū)間（１，＋∞）上單調(diào)遞增．

（第92頁） 探究函數(shù)y=x+1/x的圖象與性質(zhì)．

學(xué)生完成這些問題后，往往會(huì)產(chǎn)生一種思維定勢，只要出現(xiàn)和或積為定值的條件，就可以用基本不等式求最值（值域）．教師往往關(guān)注的是函數(shù)性質(zhì)和基本不等式的整合使用，而該問題結(jié)構(gòu)小巧，能有效幫助學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看待基本不等式的應(yīng)用．看似變化不大的課本題卻可以提升學(xué)生的鑒賞和識(shí)別能力，在函數(shù)結(jié)構(gòu)的細(xì)微變化中體會(huì)其性質(zhì)的根本性變化．

數(shù)學(xué)寫作方向建議：（1）問題看起來很像大家熟悉的“對勾函數(shù)”，對勾函數(shù)的性質(zhì)你掌握了嗎？（2）在和對勾函數(shù)的比較中，有哪些體會(huì)？（3）還可以使用哪些技術(shù)手段或者工具分析這個(gè)問題？部分解題研究類素材推薦如表2.

3 數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用類

案例3 （第96頁第4題）圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象．（1）試說明圖（1）上點(diǎn)A，點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義；

（2）由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示．你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議是什么嗎？

推薦理由：該問題有濃厚的現(xiàn)實(shí)生活色彩，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，也是數(shù)學(xué)課程思政教育的良好素材．對函數(shù)圖象的解讀，體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，而數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)則實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的能力．

數(shù)學(xué)寫作方向建議：（1）調(diào)查所在城市的公共交通的運(yùn)營情況，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析，為新形勢下公共交通的優(yōu)化給出“高中學(xué)生”方案;（2）跟蹤某條確定線路的公交車運(yùn)營情況，用數(shù)學(xué)的模型刻畫其經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，嘗試給出優(yōu)化方案．

部分?jǐn)?shù)學(xué)建模與應(yīng)用類素材推薦如表3.

學(xué)生寫作：西瓜中的數(shù)學(xué)（節(jié)選）

西瓜是最神奇的水果．炎炎夏日三件套：空調(diào)、西瓜、WiFi.沒有看懂嗎？恭喜你成了“吃瓜群眾”．

吃西瓜也是有學(xué)問的，首先要過了買西瓜這一關(guān).于是，我想到了數(shù)學(xué)家、院士王元買瓜的一段故事：王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，大瓜三元一個(gè)，小瓜一元一個(gè)．王元讓太太買大的，王太太買了兩個(gè)大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元笑著說：“大的比小的合算！”王太太點(diǎn)頭又搖搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”結(jié)合故事，試分析買西瓜中的數(shù)學(xué)道理．

公說公有理，婆說婆有理．清官難斷家務(wù)事，其實(shí)還是可以斷的，西瓜挑大選小也有學(xué)問，這里就有一個(gè)數(shù)學(xué)建模問題．

即便是價(jià)格一樣、同樣甜，就不用挑了？還是要挑的，挑什么呢？恐怕許多人沒有思考過這個(gè)問題．買同一品種的西瓜時(shí)，西瓜的質(zhì)量越大，買瓜的錢越多．當(dāng)然大家都希望西瓜瓤占整個(gè)西瓜的比例越大越好．假設(shè)我們把西瓜都看成球形，半徑為R，西瓜的密度看成是均勻的，西瓜皮的厚度都是d（這種假設(shè)在實(shí)際問題中叫做抽象，可以使問題的討論具有可操作性），買大西瓜還是買小西瓜合算呢？西瓜瓤占整個(gè)西瓜的比例為：

看來還是王元先生厲害呀．

有同學(xué)馬上會(huì)發(fā)現(xiàn)，剛才的問題中，我們假設(shè)西瓜的密度是均勻的，這其實(shí)和實(shí)際情況有所差異.一般來說，西瓜皮的密度要比西瓜瓤的密度大一些．你能嘗試著分析一下嗎？4 數(shù)學(xué)文化與科普類

案例4 （第75頁）閱讀與思考：函數(shù)概念的發(fā)展歷程.

推薦理由：了解函數(shù)概念形成和發(fā)展的歷史，對學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)有幫助，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)理解中的潛移默化的教育功能．通過函數(shù)的歷史，可以解釋我們?yōu)槭裁磿?huì)對函數(shù)的解析法特別偏愛．我們對函數(shù)的部分片面認(rèn)識(shí)，在函數(shù)歷史上大有市場，許多數(shù)學(xué)家當(dāng)初也有這樣的困惑．重溫函數(shù)歷史，我們學(xué)會(huì)“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．

數(shù)學(xué)寫作方向建議：（1）查閱資料，了解函數(shù)發(fā)展的歷程，認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的幾種主流觀點(diǎn)，介紹代表性數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)家的故事等;（2）不同函數(shù)觀點(diǎn)中，哪一種是我們感覺使用最方便的？說明其理由．部分?jǐn)?shù)學(xué)文化與科普類素材推薦如表4.

在數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)中，選題要注意充分挖掘課本中的素材．如何更好地使用課本，對優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)有重要作用，對教師而言，也是教學(xué)理念和智慧的體現(xiàn)．

參考文獻(xiàn)

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修一（第一冊）（A版）章建躍，李增滬．普通高中教科書數(shù)學(xué)（第一冊）［M］．北京：人民教育出版社，2019．

作者簡介 倉萬林（1975—），男，江蘇鹽城人，中學(xué)高級(jí)教師；“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟秘書長，《新世紀(jì)智能（新高考數(shù)學(xué)版）》執(zhí)行主編；著有《數(shù)學(xué)文化行動(dòng)研究的實(shí)踐和思考》等，主編“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟學(xué)生作品集《數(shù)寫世界》《浪花朵朵》.

高強(qiáng)（1981—），男，江蘇江陰人，中學(xué)一級(jí)教師；江陰市數(shù)學(xué)基本功大賽一等獎(jiǎng)，江陰市教學(xué)新秀.

李紅（1981—），女，江蘇江陰人，中學(xué)一級(jí)教師；全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室理事；發(fā)表論文10余篇.

基金項(xiàng)目 江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)寫作實(shí)踐研究”（D/2021/02/64）；江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革試驗(yàn)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)寫作提升核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（2020JSQZ0147）.——以人教A版第一冊函數(shù)內(nèi)容為例