倉萬林 高強(qiáng) 李紅
【摘 要】數(shù)學(xué)寫作是一種學(xué)習(xí)方式,課本是學(xué)習(xí)中的基本材料,也是高中數(shù)學(xué)寫作的素材來源之一.文章以高中數(shù)學(xué)人教A版第一冊函數(shù)內(nèi)容為例,按數(shù)學(xué)寫作的常見類型:學(xué)習(xí)感悟、解題研究、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化與科普類型,對從課本中選題進(jìn)行介紹,并給出部分學(xué)生數(shù)學(xué)寫作實(shí)踐案例.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)寫作;課本;素材;函數(shù)
隨著課程改革的不斷深入,學(xué)科融合活動得到了越來越多的關(guān)注,其中高中數(shù)學(xué)寫作是高中學(xué)生以數(shù)學(xué)為主題和材料的寫作活動,而選題又是高中數(shù)學(xué)寫作活動中重要的一個環(huán)節(jié).
數(shù)學(xué)寫作從課本中選題體現(xiàn)了選題方便性原則.課本是教學(xué)最重要的課程資源,是開展數(shù)學(xué)活動的極好素材.課本中的例題、習(xí)題等是編者從學(xué)科整體的角度出發(fā),精心挑選,符合學(xué)生的認(rèn)知特征.閱讀是寫作的基礎(chǔ),課本中很多有價值的閱讀材料,比如數(shù)學(xué)文化,包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家介紹等,可以幫助師生更好地理解數(shù)學(xué).課本習(xí)題具有典型性,是解題訓(xùn)練的模板,也是思維訓(xùn)練的典范.課本中的“探究拓展”類問題,未必適合所有的學(xué)生.平時教學(xué)中,由于條件的限制,教師往往不能恰當(dāng)使用這些素材,而數(shù)學(xué)寫作活動具有多元、靈活、開放、創(chuàng)新等特點(diǎn),正好可以充分利用課本資源.
目前,高中數(shù)學(xué)人教A版教材使用范圍最為廣泛,筆者以人教A版第一冊中的函數(shù)內(nèi)容(第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”和第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”)為例[1],談從課本中進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作選題的問題.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線,函數(shù)概念及其數(shù)學(xué)思想方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).
“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟成立于2017年,目前已經(jīng)有100多所學(xué)校加盟.根據(jù)聯(lián)盟經(jīng)驗(yàn),兼顧數(shù)學(xué)寫作活動的方便,數(shù)學(xué)寫作按內(nèi)容性質(zhì)一般分為以下四類:學(xué)習(xí)感悟、解題研究、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化與科普.這些內(nèi)容,都能在函數(shù)內(nèi)容中找到相應(yīng)的素材.
1 學(xué)習(xí)感悟類
案例1 (第73頁第10題)一個老師用5分制對數(shù)學(xué)作業(yè)評分.一次作業(yè)中,第一小組同學(xué)按座位序號1,2,3,4,5,6的次序,得分依次是5,3,4,2,4,5.你會怎樣表示這次作業(yè)的得分情況?用x,y分別表示序號和對應(yīng)的得分,y是x的函數(shù)嗎?如果是,那么它的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系各是什么?
推薦理由:剛剛接觸函數(shù)概念的學(xué)生,由于概念高度抽象與符號化,覺得函數(shù)概念難以理解,特別是用符號語言刻畫函數(shù).問題用敘述的形式展現(xiàn)了函數(shù)的定義,對學(xué)生認(rèn)識函數(shù)的定義和本質(zhì)有重要促進(jìn)作用.學(xué)生寫下學(xué)習(xí)感受,是對函數(shù)概念進(jìn)一步“體悟”的過程,對函數(shù)概念的認(rèn)識會更加清晰.在數(shù)學(xué)寫作活動中,筆者特別關(guān)注能反映函數(shù)本質(zhì)的課本題目,曾經(jīng)咨詢過部分一線教師,他們在教學(xué)中并沒有選擇或者重視這個問題.
數(shù)學(xué)寫作方向建議:(1)分別用列表法、圖象法、解析法表示這個函數(shù);(2)體會問題中的轉(zhuǎn)化過程,感受函數(shù)中“對應(yīng)關(guān)系”本質(zhì).
部分學(xué)習(xí)感悟類素材推薦如表1.
學(xué)生寫作:函數(shù)都有圖象嗎?(節(jié)選)
當(dāng)我們想念某個好友時,常做的事情是什么呢?許多人的動作往往是動動手指,刷刷好友的朋友圈,或者逛逛他的QQ空間,看看他的生活照吧!
函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真,函數(shù)的圖象是刻畫函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一.我們對函數(shù)的圖象情有獨(dú)鐘是有原因的,它能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況,就像我們看到了好友的照片一樣親切.另外,函數(shù)圖象也可以幫助我們解決許多從傳統(tǒng)解析式出發(fā)難以解決的問題,也就是同學(xué)們常用的“數(shù)形結(jié)合”的工具.那么,函數(shù)都有圖象嗎?
許多同學(xué)馬上會提出問題:有的函數(shù)圖象,我們用手工作圖的方法的確不容易畫出來.這種情況好解決,我們可以借用現(xiàn)代化技術(shù)手段,比如手機(jī)軟件中許多畫圖APP的功能還是挺強(qiáng)大的.下面我們就用幾何畫板作出函數(shù)y=ln1-x/1+x圖象,如圖1.圖1
我們知道要證明一個命題不成立時,除了直接證明之外,常用的一個策略是舉反例.我們能找到一個作不出圖象的函數(shù)嗎?
狄利克雷函數(shù)就是一個很好的例子,狄利克雷函數(shù)可以簡單地表示分段函數(shù)的形式D(x)=1,x為有理數(shù),0,x為無理數(shù).在中學(xué)范圍內(nèi),我們可以理解的此函數(shù)的基本性質(zhì)有:(1)定義域?yàn)檎麄€實(shí)數(shù)集R;(2)值域?yàn)閧0,1};(3)函數(shù)為偶函數(shù);(4)無法畫出函數(shù)圖象,但是它的函數(shù)圖象客觀存在;(5)以任意正有理數(shù)為其周期.
狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn),其重要意義不僅僅在于給我們造出了一個函數(shù)圖象不存在的示例,而且極大地推動了函數(shù)概念的發(fā)展,使人們對函數(shù)的認(rèn)識超越了解析式的限制.
讓我們好好靜下心來梳理一下,高中階段還遇到哪些感覺怪怪的函數(shù),可不要小看了他們呀,函數(shù)演變中一個重要因素就是這些“怪”函數(shù)的出現(xiàn).還是剛才的狄利克雷函數(shù),是周期函數(shù),但不存在最小正周期,是不是又顛覆了我們對函數(shù)周期性的認(rèn)識呢?
2 解題研究類
案例2 (第101頁第12題)試討論函數(shù)y=x-1/x的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,并畫出函數(shù)圖象.推薦理由:作為對照,不妨看一下,課本中的另外幾個值得關(guān)注的問題.
(第79頁例3) 根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+1/x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(第92頁) 探究函數(shù)y=x+1/x的圖象與性質(zhì).
學(xué)生完成這些問題后,往往會產(chǎn)生一種思維定勢,只要出現(xiàn)和或積為定值的條件,就可以用基本不等式求最值(值域).教師往往關(guān)注的是函數(shù)性質(zhì)和基本不等式的整合使用,而該問題結(jié)構(gòu)小巧,能有效幫助學(xué)生學(xué)會辯證地看待基本不等式的應(yīng)用.看似變化不大的課本題卻可以提升學(xué)生的鑒賞和識別能力,在函數(shù)結(jié)構(gòu)的細(xì)微變化中體會其性質(zhì)的根本性變化.
數(shù)學(xué)寫作方向建議:(1)問題看起來很像大家熟悉的“對勾函數(shù)”,對勾函數(shù)的性質(zhì)你掌握了嗎?(2)在和對勾函數(shù)的比較中,有哪些體會?(3)還可以使用哪些技術(shù)手段或者工具分析這個問題?部分解題研究類素材推薦如表2.
3 數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用類
案例3 (第96頁第4題)圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象.(1)試說明圖(1)上點(diǎn)A,點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義;
(2)由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議,如圖(2)(3)所示.你能根據(jù)圖象,說明這兩種建議是什么嗎?
推薦理由:該問題有濃厚的現(xiàn)實(shí)生活色彩,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,也是數(shù)學(xué)課程思政教育的良好素材.對函數(shù)圖象的解讀,體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界”,而數(shù)學(xué)寫作活動則實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的能力.
數(shù)學(xué)寫作方向建議:(1)調(diào)查所在城市的公共交通的運(yùn)營情況,進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析,為新形勢下公共交通的優(yōu)化給出“高中學(xué)生”方案;(2)跟蹤某條確定線路的公交車運(yùn)營情況,用數(shù)學(xué)的模型刻畫其經(jīng)濟(jì)指標(biāo),嘗試給出優(yōu)化方案.
部分?jǐn)?shù)學(xué)建模與應(yīng)用類素材推薦如表3.
學(xué)生寫作:西瓜中的數(shù)學(xué)(節(jié)選)
西瓜是最神奇的水果.炎炎夏日三件套:空調(diào)、西瓜、WiFi.沒有看懂嗎?恭喜你成了“吃瓜群眾”.
吃西瓜也是有學(xué)問的,首先要過了買西瓜這一關(guān).于是,我想到了數(shù)學(xué)家、院士王元買瓜的一段故事:王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅,大瓜三元一個,小瓜一元一個.王元讓太太買大的,王太太買了兩個大瓜,又有些猶豫:“大的貴兩倍呢……”王元笑著說:“大的比小的合算!”王太太點(diǎn)頭又搖搖頭:“恐怕還是大的吃虧.”結(jié)合故事,試分析買西瓜中的數(shù)學(xué)道理.
公說公有理,婆說婆有理.清官難斷家務(wù)事,其實(shí)還是可以斷的,西瓜挑大選小也有學(xué)問,這里就有一個數(shù)學(xué)建模問題.
即便是價格一樣、同樣甜,就不用挑了?還是要挑的,挑什么呢?恐怕許多人沒有思考過這個問題.買同一品種的西瓜時,西瓜的質(zhì)量越大,買瓜的錢越多.當(dāng)然大家都希望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假設(shè)我們把西瓜都看成球形,半徑為R,西瓜的密度看成是均勻的,西瓜皮的厚度都是d(這種假設(shè)在實(shí)際問題中叫做抽象,可以使問題的討論具有可操作性),買大西瓜還是買小西瓜合算呢?西瓜瓤占整個西瓜的比例為:
看來還是王元先生厲害呀.
有同學(xué)馬上會發(fā)現(xiàn),剛才的問題中,我們假設(shè)西瓜的密度是均勻的,這其實(shí)和實(shí)際情況有所差異.一般來說,西瓜皮的密度要比西瓜瓤的密度大一些.你能嘗試著分析一下嗎?4 數(shù)學(xué)文化與科普類
案例4 (第75頁)閱讀與思考:函數(shù)概念的發(fā)展歷程.
推薦理由:了解函數(shù)概念形成和發(fā)展的歷史,對學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)有幫助,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)理解中的潛移默化的教育功能.通過函數(shù)的歷史,可以解釋我們?yōu)槭裁磿瘮?shù)的解析法特別偏愛.我們對函數(shù)的部分片面認(rèn)識,在函數(shù)歷史上大有市場,許多數(shù)學(xué)家當(dāng)初也有這樣的困惑.重溫函數(shù)歷史,我們學(xué)會“像數(shù)學(xué)家一樣思考”.
數(shù)學(xué)寫作方向建議:(1)查閱資料,了解函數(shù)發(fā)展的歷程,認(rèn)識函數(shù)概念的幾種主流觀點(diǎn),介紹代表性數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)家的故事等;(2)不同函數(shù)觀點(diǎn)中,哪一種是我們感覺使用最方便的?說明其理由.部分?jǐn)?shù)學(xué)文化與科普類素材推薦如表4.
在數(shù)學(xué)寫作活動中,選題要注意充分挖掘課本中的素材.如何更好地使用課本,對優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)有重要作用,對教師而言,也是教學(xué)理念和智慧的體現(xiàn).
參考文獻(xiàn)
[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修一(第一冊)(A版)章建躍,李增滬.普通高中教科書數(shù)學(xué)(第一冊)[M].北京:人民教育出版社,2019.
作者簡介 倉萬林(1975—),男,江蘇鹽城人,中學(xué)高級教師;“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟秘書長,《新世紀(jì)智能(新高考數(shù)學(xué)版)》執(zhí)行主編;著有《數(shù)學(xué)文化行動研究的實(shí)踐和思考》等,主編“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟學(xué)生作品集《數(shù)寫世界》《浪花朵朵》.
高強(qiáng)(1981—),男,江蘇江陰人,中學(xué)一級教師;江陰市數(shù)學(xué)基本功大賽一等獎,江陰市教學(xué)新秀.
李紅(1981—),女,江蘇江陰人,中學(xué)一級教師;全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室理事;發(fā)表論文10余篇.
基金項目 江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)寫作實(shí)踐研究”(D/2021/02/64);江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革試驗(yàn)項目“數(shù)學(xué)寫作提升核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究”(2020JSQZ0147).——以人教A版第一冊函數(shù)內(nèi)容為例