“正難則反”一般方法應(yīng)用實例分析

傅海倫　周方群

【摘 要】針對目前數(shù)學(xué)教學(xué)中具體解題方法與數(shù)學(xué)思想方法相脫軌的現(xiàn)象，基于數(shù)學(xué)方法論的角度，提出重視“正難則反”一般方法的應(yīng)用，并列舉正難則反在函數(shù)、幾何證明、概率等方面的應(yīng)用實例分析，從而架構(gòu)從具體解題方法到數(shù)學(xué)思想方法之間實質(zhì)聯(lián)系的橋梁與紐帶，從而達(dá)到化繁為簡、化抽象為具體的效果.

【關(guān)鍵詞】一般方法；正難則反；逆向思維；應(yīng)用

1 背景與意義

數(shù)學(xué)結(jié)論的教學(xué)具有當(dāng)下意義，數(shù)學(xué)方法按照抽象程度的不同可分為：具體解題方法、一般方法（邏輯與實驗方法）以及在此基礎(chǔ)上概括形成的數(shù)學(xué)思想方法這三個層次［1］.在實際教學(xué)中，師生重視具體解題方法的教學(xué)，而相對忽視一般方法的教學(xué).

數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)要依托一般方法論的理論基礎(chǔ)，應(yīng)立足于數(shù)學(xué)學(xué)科特點和學(xué)生的學(xué)情，重視一般方法的教學(xué)，既要跳出“解題術(shù)”的功利教學(xué)，又要避免空談數(shù)學(xué)思想的低效教學(xué)， 從而更有效地實現(xiàn)從具體解題方法到數(shù)學(xué)思想方法的過渡，

在此基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“數(shù)學(xué)是思維的體操”.數(shù)學(xué)依靠其抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性的特點，為思維訓(xùn)練提供了良好的現(xiàn)實原型與方法程序.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出了包括“邏輯推理”在內(nèi)的六大核心素養(yǎng)，而邏輯思維能力是各種思維能力的核心［2］.由此可見，數(shù)學(xué)對人的思維發(fā)展具有良好的訓(xùn)練功能和促進(jìn)效果.因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義不在于“解題術(shù)”的突破，而在于通過解題的訓(xùn)練提升學(xué)生的思維品質(zhì).而現(xiàn)階段具體解題方法和數(shù)學(xué)思想方法相脫軌，或者過于強(qiáng)調(diào)解題步驟的規(guī)范性，或者在學(xué)生知識儲備還沒達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的情況下空談思想，造成學(xué)生迷茫，并沒有真正達(dá)到思維訓(xùn)練的目的.

例如，在分析法的實際教學(xué)中，教師往往根據(jù)問題引入分析法這一具體解題方法，并強(qiáng)調(diào)方法的步驟規(guī)范，進(jìn)而上升至逆向思維層面.學(xué)生在學(xué)習(xí)新方法新思想時，往往還沒領(lǐng)悟到分析法的精髓，就被迫地與逆向思想相聯(lián)系，并且將具體解題步驟當(dāng)做學(xué)習(xí)重點，這造成了學(xué)生眼光的狹隘與思想的淺薄.

“正難則反”能很好地架起思想方法與具體解題方法的橋梁，起到過渡與聯(lián)系作用.隨著新時代對人才要求的提升，正難則反愈發(fā)受到廣大教育研究者的重視.

現(xiàn)階段的研究對正難則反的內(nèi)涵界定相對模糊.秦雄偉在《逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究》一文中，將正難則反定義為逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略中的應(yīng)用之一，并與反例法教學(xué)策略、補(bǔ)集法教學(xué)策略、執(zhí)果索因教學(xué)策略并列［3］.劉曉翠在《數(shù)學(xué)解題中的正難則反思想及其教學(xué)實踐研究》一文中將正難則反定義為一種思想，并將逆推分析法、反證法、構(gòu)造反例以及從反面思考，定義為正難則反思想解題的具體方法［4］.更多學(xué)者將正難則反定義為解題策略并著重介紹其在解題當(dāng)中應(yīng)用的某幾種形式.下面，我們就對幾位專家學(xué)者和教師的具體研究進(jìn)行對比分析：

教師講解是從方法升華到思想，學(xué)生應(yīng)用是借助思想來搜尋解題方法，在學(xué)生學(xué)習(xí)深度沒有達(dá)到升華至思想的程度時，需要一個比思想抽象程度更低，比具體解題方法更加概括的概念來實現(xiàn)方法的暫時歸類儲存與后期的銜接過渡.因此，本文立足于逆向思維和悖向思維的培養(yǎng)，重新界定“正難則反”為一種一般方法，并給出其在函數(shù)、幾何證明、概率、三角函數(shù)、不等式等方面的應(yīng)用實例分析.2 “正難則反”一般方法的內(nèi)涵解析

逆向思維即“反其道而行之”，指沿固有思路的反向思考問題，反向推導(dǎo)本應(yīng)證明或求解的結(jié)論，使其返回到已知的定理、定義或概念的思維過程［5］.數(shù)學(xué)方法中的逆推分析法、逆向運算法等，均為逆向思維在數(shù)學(xué)方法中的具體應(yīng)用.

悖向思維不同于一般的逆向思維，其立足于認(rèn)知沖突，從原來認(rèn)識的反面出發(fā)，尋找新的發(fā)展可能.相對于內(nèi)容上的“反”，悖向思維更加強(qiáng)調(diào)對立雙方間的和諧性，從而消除思維與邏輯的混亂，促進(jìn)消極混亂到積極明了的轉(zhuǎn)化［6］.數(shù)學(xué)方法中的反證法、反例法、對立事件法等，均是悖向思維在數(shù)學(xué)方法中的具體應(yīng)用.

“正難則反”是一般的方法，屬于邏輯與實驗方法的范疇.其基本含義是，如果正向或從正面思考和分析問題比較困難，那么就可以反向出發(fā)或嘗試從問題反面出發(fā)分析和解決問題［4］.這種遇難則反的方法，同時囊括了逆向思維和悖向思維的中心思想，是逆向思維和悖向思維指導(dǎo)下的一般的數(shù)學(xué)方法，下屬概念中可以容括逆推分析法、逆向運算法、反證法、反例法等具體數(shù)學(xué)方法.“正難則反”相對于思維層面，其抽象程度更低，又比具體方法更具有概括性.沈文選教授曾指出“離開了數(shù)學(xué)解題方法原理的數(shù)學(xué)思維，只能是雜亂無章的胡思亂想”［7］.正難則反既能高度體現(xiàn)逆向思維的過程性和方向性，又能對悖向思維有“引流”作用，有其獨特方法論意義.正難則反作為一般的數(shù)學(xué)方法，其地位如圖2所示：

3 “正難則反”一般方法的應(yīng)用實例分析

3.1 “正難則反”一般方法在函數(shù)中的應(yīng)用

例1 已知函數(shù)f（x）=ax2+xlnx（a∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x+3y=0垂直.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）求證：當(dāng)n>m>0時，lnn－lnm>m/n－n/m.

分析 對于本題第一問，可以由f（x）=ax2+xlnx（a∈R），求出f（x）的導(dǎo)數(shù).

f′（x）=2ax+lnx+1，又因為切線與直線x+3y=0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1.

對于本題的第二問，題目給出的是一種陌生形式的不等式，難以將其與已知知識聯(lián)系起來.此時，不妨“反過來”思考，先對要證明的不等式進(jìn)行逆推分析，尋找使之成立的充分條件，合理變形為熟悉形式，再通過整體代換、構(gòu)造函數(shù)等常規(guī)方法證明原式的正確性. 要證lnn－lnm>m/n－n/m，即證lnn/m>m/n－n/m，只需證lnn/m－m/n+n/m>0.此時，不等式的左邊已被逆推為具有規(guī)律性的式子，提示著解題者應(yīng)采用整體代換法和構(gòu)造函數(shù)法.

令n/m=x，由已知n>m>0，得n/m>1，即x>1，根據(jù)題設(shè)提示構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx－1/x+x（x>1），則其導(dǎo)函數(shù)g′（x）=1/x+1/x2+1.

因為x∈（1，+∞），所以g′（x）=1/x+1/x2+1>0，故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以gn/m>g（1）=0，即lnn/m－m/n+n/m>0成立，所以當(dāng)n>m>0時，lnn－lnm>m/n－n/m.

評注 本題所用的方法是正難則反中的分析法.這種分析法實則為逆推證明，從思維方向上來看，它的論證思考順序從結(jié)論出發(fā)，尋求它的論據(jù)，直至歸結(jié)到題設(shè)，是直接證明“由因?qū)Ч钡姆聪?，在邏輯上表現(xiàn)為“執(zhí)果索因”.

這種分析法雖在思考方向上迂回間接，但是在思維活動中，相對于綜合法的發(fā)散性，更具有直接的方向性，所以效率往往更高［8］. 另外，從本題來看，正難則反的主要作用體現(xiàn)在提示思路，解題者能經(jīng)過逆推分析，使陌生結(jié)論向已知知識轉(zhuǎn)化，從而使無序的思維更加清晰明了，達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.

教師要教會中學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題正向難以入手后，能想到反向，并掌握一定的分析法書寫規(guī)范與邏輯銜接方法.

3.2 “正難則反”一般方法在幾何證明中的應(yīng)用

例2 如圖3，在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中點.求證：AD<1/2BC.

分析 題設(shè)中有兩個條件：p1——在△ABC中，∠CAB>90°，p2——在△ABC中，D是BC的中點，結(jié)論為q——在△ABC中AD<1/2BC.針對這道題的兩個前提條件，我們可以采取“（p1∧p2）→q（p2∧q）→p1”的論證形式，將結(jié)論加以否定作為條件使用，使得推出一個與題設(shè)矛盾的命題，從而證明原命題的正確性. 假設(shè)AD≥1/2BC.下面，可以分為兩種情況：

①若AD=1/2BC，則△ABC為直角三角形，即∠CAB=90°，與題設(shè)矛盾，舍去.

②若AD>1/2BC，因為D是BC的中點，即DC=BD=1/2BC，所以AD>BD，由三角形大邊對大角的性質(zhì)，在△ADB中∠B>∠DAB.

同理∠C>∠CAD，所以∠B+∠C>∠DAB+∠CAD=∠CAB，又因為∠CAB+∠B+∠C=180°，所以2∠CAB<180°即∠CAB<90°，與題設(shè)矛盾.

綜上所述，AD<1/2BC.

評注 本題所用的是正難則反中的反證法.反證法是間接證明的一種，當(dāng)直接證明命題比較困難時，我們從反面出發(fā)，將結(jié)論否定進(jìn)行論證，直至推出矛盾，從而確立原命題的真實性.當(dāng)問題的條件較少，或者問題反面比較具體、情況較少時，常常采用反證法［9］.

本題正難則反的主要作用在于擴(kuò)充題設(shè)條件，利用邏輯沖突的方法，從結(jié)論的對立面出發(fā)，將思路“引流”到分類討論上來，是悖向思維與逆向思維的一次完美融合.

教師需要引導(dǎo)中學(xué)生學(xué)會做出反設(shè)，當(dāng)正面提示較少時，勇于轉(zhuǎn)換思維，從反面入手，把求證作條件，把已知變未知，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì). 3.3 “正難則反”一般方法在概率中的應(yīng)用

例3 現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠四色卡片共16張，且每種顏色各四張，從中任取三張卡片，要求它們不能是同一顏色，且紅色卡片至多一張的概率是？

分析 本題若從正面思考，則需綜合考慮“有無紅色”和“有無重復(fù)顏色卡片”兩個問題，共分4種情況討論如圖4所示.

而若從反面入手，只需考慮“三張卡片都是同一顏色”和“有兩張紅色卡片”兩種情況：

①任取三張卡片都是同一顏色的取法共C14×C34種；

②任取三張中有兩張紅色卡片的取法共C24×C112種；

評注 兩個對立事件互為反面事件，兩者的概率和恒為1.本題充分運用了悖向思維，從事件的反面入手，使問題的復(fù)雜性降低，簡化思維量與分類情況.正難則反是快速解決本題的關(guān)鍵，也是提高本題正確率的關(guān)鍵所在.

在概率問題中合理運用正難則反的方法，既可將復(fù)雜問題簡單化，避免情況過多造成的討論遺漏，也可以讓學(xué)生感受到反過來想問題的簡單性與巧妙性. 4 結(jié)論與反思

現(xiàn)代社會重視對思維的鍛煉，但是學(xué)生在思想轉(zhuǎn)化為具體方法的運用過程中還有一定的困難.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)基于前人對于方法論的研究以及日常的數(shù)學(xué)教學(xué)情況，重視“正難則反”作為一般方法的應(yīng)用與教學(xué).借助“正難則反”這種一般的方法，可以架構(gòu)從具體解題方法到數(shù)學(xué)思想之間實質(zhì)聯(lián)系的橋梁與紐帶，使得學(xué)生可以更有效、更便捷地實現(xiàn)從具體方法到數(shù)學(xué)思想的過渡，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，減少直接運用思維思考的抽象性與復(fù)雜性，從而達(dá)到化繁為簡、化抽象為具體的效果.同時還可以有效地鍛煉思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

當(dāng)然，對于“正難則反”一般方法的具體實踐的研究還有待加強(qiáng).例如，在“正難則反”的實際應(yīng)用教學(xué)中，怎么使得學(xué)生正確地理解與運用一般方法，既保證運用的計劃性又保障靈活性，特別是，“正難則反”這種“以退為進(jìn)”的策略，對于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)的有效性以及學(xué)生思維發(fā)展程度的評判，都需要建立定性與定量的標(biāo)準(zhǔn).因此，從這個意義上說，之后的研究方向主要集中在立足于學(xué)生學(xué)情實際，深入探討數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)價值，從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，

從實踐中進(jìn)一步探索一般數(shù)學(xué)方法與學(xué)生思維及其發(fā)展的深層次關(guān)系及其評價，這需要對以往的數(shù)學(xué)方法教學(xué)體系進(jìn)行重組，并深入教學(xué)一線進(jìn)行實踐與分析.

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作者簡介 傅海倫 （1970—），男， 教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

周方群（1998—）女，山東師范大學(xué)教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

基金項目 2021年度山東省社會科學(xué)普及應(yīng)用研究項目“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化傳播與拓展讀本”（2021-SKZZ-24）；2022年山東省優(yōu)質(zhì)專業(yè)學(xué)位教學(xué)案例庫建設(shè)（SDYAL2022067）;

山東師范大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)成果培育項目“專業(yè)認(rèn)證下的數(shù)學(xué)實踐教學(xué)創(chuàng)新體系建設(shè)研究”（2019PY05）.