單元整體教學(xué)中大概念“錨點(diǎn)”價值的分析與應(yīng)用
——以“長方形和正方形的面積計(jì)算”課時為例

蘇州大學(xué)附屬吳江學(xué)校 （215006） 顧 健

淮陰師范學(xué)院 （223300） 任建波

按照整體論的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)應(yīng)該被視為一個具有內(nèi)在生成性的自然整體，這意味著學(xué)習(xí)應(yīng)該是以整體的方式進(jìn)行，而不是分而習(xí)之。大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生開展“整體的方式”學(xué)習(xí)提供了可能。開展大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)，首先需要對單元進(jìn)行整體教學(xué)分析，既包括解讀教材、提煉大概念，又包括研究學(xué)生、分析學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)大概念的中心性、可持久性、網(wǎng)絡(luò)狀和可遷移性等特征，將大概念的“錨點(diǎn)”價值充分彰顯，并滲透和應(yīng)用到學(xué)習(xí)活動的聯(lián)結(jié)、過渡和建構(gòu)之中。本文以蘇教版教材三年級下冊第六單元“長方形和正方形的面積計(jì)算”一課為例，在分析單元整體教學(xué)中大概念“錨點(diǎn)”價值的基礎(chǔ)上，對課時教學(xué)進(jìn)行實(shí)踐探索。

一、單元整體教學(xué)分析

1.解讀教材、提煉大概念

本單元是平面圖形面積計(jì)算的起步，從一維的度量轉(zhuǎn)到二維的度量，起著承上啟下的作用。從知識脈絡(luò)上看（如圖1），知識點(diǎn)在教材上呈線性排列，將面積單位的教學(xué)分為兩段，中間穿插面積計(jì)算，這是因?yàn)槊娣e單位之間的進(jìn)率很難從面積單位本身得出，借助正方形面積更容易理解。教材的編排關(guān)注了單元結(jié)構(gòu)，但是前后知識和方法的關(guān)聯(lián)略顯不足，比如，長度、角、體積的度量本質(zhì)都是單位個數(shù)的累積，如果不將其置于更大的視野中，學(xué)生難以形成“度量”的上位概念并搭建整體遷移的支架。

圖1 教材內(nèi)容分析

基于以上分析，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對相關(guān)內(nèi)容的要求，可提煉出本單元的大概念：面積是“數(shù)”單位面積的個數(shù)，圖形面積具有可加性。在前后知識的相融互通中理解面積，增強(qiáng)幾何直觀和推理意識等。

2.研究學(xué)生、分析學(xué)習(xí)起點(diǎn)

選取本校三年級5個班學(xué)生（共196名）進(jìn)行前測，測試內(nèi)容和相關(guān)結(jié)果如下。

前測題1.觀察下面的生活現(xiàn)象（如圖2、圖3），用筆涂一涂、畫一畫或?qū)懸粚?，表示它們的不同?/p>

圖2 粉刷墻面

圖3 柵欄圍地

表1 前測題1的測試結(jié)果

【分析】從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，能識別“面積”的學(xué)生占比高達(dá)65.3%，這主要有兩個原因：一是生活中有接觸，如“我的手掌比你的大”“我家電視機(jī)屏幕比教室里一體機(jī)的小”，學(xué)生的表達(dá)體現(xiàn)了對“面積”的初步感知；二是教材中的滲透，如一年級下冊“認(rèn)識圖形”單元習(xí)題“在正方形、長方形、三角形和圓里分別涂不同的顏色”已經(jīng)孕伏“面積”的意義。

前測題2.圖4 中的小正方形表示1 平方厘米，①②長方形的面積分別是多少？

表2 前測題2的測試結(jié)果

圖4

【分析】統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，學(xué)生借助單位面積用“全覆蓋”方式求①號長方形的面積的正確率達(dá)82.65%，而利用“沿邊擺放”方法求②號長方形的面積的正確率只有51.53%，說明學(xué)生自主探究有一定的困難。進(jìn)一步分析，有82.14%都采用了劃分單位面積的方法，說明教師要關(guān)注這一年齡階段學(xué)生直觀想象和推理能力的培養(yǎng)。

前測題3.你會計(jì)算圖5 中長方形的面積嗎？請列式并說明理由。

表3 前測題3的測試結(jié)果

圖5

【分析】從數(shù)據(jù)上看，一旦沒有“單位面積”輔助思考，學(xué)生的計(jì)算正確率驟然下降，只有65.81%，其中，計(jì)算正確的學(xué)生中有48.06%對長方形進(jìn)行了劃分。雖然前測題2 已有暗示，但是學(xué)生并不能建立單位面積的個數(shù)與長、寬數(shù)值之間的聯(lián)系。這說明教學(xué)中要重視長方形面積計(jì)算的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟長度、周長、面積等度量方法的內(nèi)在一致性。

不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生已經(jīng)知道了長方形的面積計(jì)算方法，但是對“面積大小和計(jì)算”的認(rèn)識仍然浮于表面，難以遷移和感受度量方法的一致性。教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用面積單位度量長方形的過程，關(guān)聯(lián)線段的“測量屬性”，進(jìn)而推導(dǎo)出長方形和正方形的面積計(jì)算公式，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)角、圓的面積、長方體的體積做鋪墊。

二、教學(xué)活動實(shí)踐

［片段1］關(guān)聯(lián)舊知，激疑啟思

師：還記得怎樣測量線段的長度嗎？（出示圖6）請說一說測量的過程。

圖6

生1：用1 厘米的線段去量，4 個1 厘米就是4厘米。

師：線段長幾個1 厘米就是幾厘米。如果想知道圖7中圖形的面積大小，首先要知道什么？

圖7

生2：知道一個小正方形的面積是多少。

師：如果一個小正方的面積是1平方厘米，圖7中圖形的面積分別是多少？

生3：分別是1 平方厘米、3 平方厘米、5 平方厘米。

師：你是怎么想的？

生3：每個圖形中有多少個面積是1 平方厘米的小正方形，面積就是多少平方厘米。

［設(shè)計(jì)意圖］通過對測量線段長度方法的回顧，使得學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)自然遷移到面積測量之中，學(xué)生初步建立“單位測量屬性”的知識錨點(diǎn)。在判斷圖7②、③圖形面積時，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，雖然形狀不同，但是都與小正方形的個數(shù)有關(guān)，由此感知面積的可度量屬性。

［片段2］實(shí)驗(yàn)操作，探究規(guī)律

師：利用1 平方厘米的透明方格紙，拼出一個長方形，并記錄在學(xué)習(xí)單上（見表4）。

表4 學(xué)習(xí)記錄單

師：觀察表格，說一說你的發(fā)現(xiàn)。

生1：我擺的長方形有4 排，每排有5 個，一共有20個1平方厘米的小正方形，這個長方形的面積是20平方厘米。

生2：我發(fā)現(xiàn)長方形的面積與小正方形的個數(shù)相同。

師（出示圖8）：根據(jù)同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)，可以用這樣的方式表示它們的關(guān)系。

圖8

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)習(xí)單給出了思考和觀察的路徑，讓探索有方向。學(xué)生在操作中感受到長方形的面積與小正方形（單位面積）個數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)單為聚焦面積概念的本質(zhì)提供了豐富的表象；通過觀察、說理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了每排個數(shù)與長之間的聯(lián)系、排數(shù)與寬之間的聯(lián)系；通過推理，學(xué)生驗(yàn)證了長方形的面積與單位面積個數(shù)之間的關(guān)系。雖然從前測的結(jié)果來看，“算”更接近學(xué)生的思維實(shí)際，但是很多學(xué)生對面積的理解還是停留在了數(shù)值上的相等。

［片段3］抽象推理，得出模型

師（出示長為4 厘米，寬為3 厘米的長方形圖片，圖略）：根據(jù)剛才的結(jié)論，測量出這個長方形的面積至少需要多少個面積為1 平方厘米的小正方形？

生1：不用鋪滿，只需要沿著它的長擺4 個，沿著它的寬擺3個，一共需要6個小正方形，長方形的面積是4×3=12（平方厘米）。

生2：如果不怕麻煩，只需要一個小正方形，一邊鋪一邊畫線，同樣能算出長方形的面積是12 平方厘米。

師：如果沒有小正方形，怎么能知道這個長方形的面積？

生3：可以用尺子量一量，長是4 厘米，寬是3厘米，4×3=12（平方厘米）。也就是每行可以畫出4個1厘米的小正方形，一共有3排。

師（出示圖9）：回顧剛才的學(xué)習(xí)過程，從最初的鋪滿，到鋪一部分，到邊鋪邊畫，最后直接量出長和寬，計(jì)算出長方形的面積，我們推導(dǎo)出的長方形的面積計(jì)算方法是什么？

圖9

生4：長方形的面積=長×寬。

師：如果長方形的長用字母a表示，寬用字母b表示，長方形的面積計(jì)算可以用字母表示為S=a×b。

［設(shè)計(jì)意圖］這一環(huán)節(jié)把密鋪和測量聯(lián)系在一起，學(xué)生在“操作—想象—符號表征”的過程中能夠提高數(shù)學(xué)思維力。在進(jìn)行“部分鋪”的操作中，學(xué)生感知了長方形的面積與長、寬相關(guān)；在“邊鋪邊畫”的想象中，學(xué)生明確了二維圖形的面積需要兩個一維線段長度的數(shù)值進(jìn)行刻畫；在總結(jié)計(jì)算公式可用符號表征的推理中，學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”到“一般”，體會符號表征的簡潔性。在整個過程中，學(xué)生理解了面積的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)了從操作的“實(shí)踐表征”向“空間想象”的邁進(jìn)。

［片段4］運(yùn)用模型，體會一致

師（出示圖10）：只能用邊長為1厘米的正方形測量長方形或正方形的面積嗎？能不能用給定的正方形量一量長方形的面積？

圖10

生1：邊長為1 厘米的正方形面積是1 平方厘米，所以圖形①的面積是4×3=12（平方厘米），圖形②的面積是8×4=32（平方厘米）；邊長為2厘米的正方形面積是4 平方厘米，測量圖形②的面積時一共擺8 個，所以圖形②面積是4×8=32（平方厘米），但是測量圖形①時，不能正好擺滿。

師（出示圖11）：測量圖形的面積和測量線段的長度之間有什么相同的地方嗎？

圖11

生2：測量線段是看有幾個長度單位；測量面積是看有幾個面積單位。

師（出示圖12）：在以后的學(xué)習(xí)中，測量物體的體積還會用到這樣的方法。

圖12

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生通過比較，發(fā)現(xiàn)用邊長為2 厘米的正方形測量圖形②更方便，但是測量圖形①卻有困難。用邊長為1 厘米的正方形既能測量圖形①也能測量圖形②，在對比中從度量角度理解了像1 厘米、1 分米，以及1 平方厘米、1 平方分米這些數(shù)學(xué)中規(guī)定的常用長度和面積單位有其合理性，是選擇的結(jié)果。

三、教后反思

一般來說，兒童建構(gòu)“面積測量”這個“概念”需要經(jīng)歷三個階段：首先，6 歲左右的兒童可以在具體操作活動中建構(gòu)面積守恒的觀念；其次，10 歲左右的兒童可以通過操作活動“發(fā)明”測量各種規(guī)則平面圖形面積的方法；最后，12 歲左右的兒童可以用純粹形式化的代數(shù)推理得出各種平面圖形的面積公式。

為了更精確地了解三年級學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，通過前測了解學(xué)生對“面積”相關(guān)知識的掌握現(xiàn)狀，如混淆周長和面積的概念、會計(jì)算方法卻道不明理由等。在此基礎(chǔ)上，教師從學(xué)生的“已知”“已會”出發(fā)，重整教學(xué)資源，使學(xué)生在回顧測量長度的經(jīng)驗(yàn)的過程中初步感悟“單位測量屬性”；在操作活動中體悟數(shù)值相等背后是“單位面積個數(shù)”與“長方形面積”的對應(yīng)關(guān)系；在推理思辨中領(lǐng)悟如何用“一維線段”刻畫“二維面積”；在拓展運(yùn)用中以整體視角深刻理解線、面、體的“錨點(diǎn)”——單位的可累積性?！皩W(xué)”是“需求側(cè)”，表明在哪里；“教”是“供給側(cè)”，指向去哪里。只要立足學(xué)情調(diào)研、資源調(diào)配，抓住大概念的“錨點(diǎn)”，就能讓教學(xué)預(yù)期“可及”，也能實(shí)現(xiàn)“學(xué)”與“教”的“共振”。