回歸平面幾何視角，妙用角平分線定理

林栩

摘要：作為平面幾何中的一個重要定理，三角形的角平分線定理在判斷圖形結(jié)構(gòu)特征與構(gòu)建線段比例關(guān)系等方面具有重要的作用.結(jié)合高中數(shù)學(xué)中解三角形、平面向量、平面解析幾何等模塊中的問題，借助三角形角平分線定理的應(yīng)用，總結(jié)解題研究與技巧方法，全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三角形；角平分線；平面幾何；解三角形；平面向量

在高中數(shù)學(xué)中，涉及解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)模塊的問題，往往都離不開平面幾何的相關(guān)知識及其應(yīng)用.在實(shí)際解決此類問題時，往往回歸平面幾何的圖形特征與本質(zhì)，通過平面幾何的直觀視角，借助對應(yīng)的基礎(chǔ)知識與技巧方法等來處理與應(yīng)用.特別地，根據(jù)題設(shè)條件與圖形直觀特征，利用三角形的角平分線定理以及一些相關(guān)的知識來構(gòu)建關(guān)系式，是破解此類問題中比較常用的一種基本思維方法.

1 在解三角形中的應(yīng)用

通過三角形的相關(guān)幾何性質(zhì)以及對應(yīng)的角平分線等條件，借助三角形的角平分線定理來構(gòu)建對應(yīng)邊長之間的關(guān)系式，并綜合解三角形中的正弦（或余弦）定理等來轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)或方程、不等式、三角函數(shù)等知識來綜合與應(yīng)用.

例1 （2023屆河南省鄭州市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其中sin C=3sin A，B=60°，b=7，若B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，則BD=___________.

分析：根據(jù)三角形的角平分線定理構(gòu)建對應(yīng)線段的比例關(guān)系，進(jìn)而確定對應(yīng)的邊長，并進(jìn)一步利用余弦定理來確定線段BD的長度，利用平面幾何的性質(zhì)對所求結(jié)果加以辨析并作出正確的判斷.

解析：如圖1，由BD是∠ABC的角平分線，B=60°，可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°.

由sin C=3sin A，結(jié)合正弦定理可得c=3a.

利用角平分線定理，可得ABBC=ADCD=ca=3.

又b=7，所以在△ABC中，由余弦定理，可得b2=a2+c2－2accos B=a2+c2－ac，即7a2=7，解得a=1.

于是c=3a=3，AD=34b=374.

在△ABD中，由余弦定理，可得AD2=BD2+c2－2BD·ccos 30°，即16BD2－483BD+81=0，

解得BD=334或BD=934.

在△ABC中，由正弦定理，可得asin A=bsin B=732，解得sin A=2114<12=sin∠ABD，

根據(jù)三角形中大角對大邊的性質(zhì)，知BD

故填答案：334.

點(diǎn)評：在實(shí)際解三角形問題中，經(jīng)常回歸平面幾何中的三角形本質(zhì)，通過三角形的角平分線定理來構(gòu)建相關(guān)線段的比例關(guān)系或?qū)?yīng)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用平面幾何知識、解三角形中的正弦定理或余弦定理等，綜合加以變形與應(yīng)用，從而得以正確分析，合理數(shù)形結(jié)合，巧妙數(shù)學(xué)運(yùn)算［1］.

2 在平面向量中的應(yīng)用

通過平面向量中的“數(shù)”來轉(zhuǎn)化“形”的特征問題，或數(shù)形結(jié)合，借助“形”的幾何特征利用三角形的角平分線定理來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式；或借助“數(shù)”的代數(shù)屬性利用三角形的角平分線定理的逆向思維等來確定幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征等.這些都是平面向量問題中比較常用的技巧方法與綜合應(yīng)用.

例2 〔2022屆浙江省寧波市第二學(xué)期高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試卷〕已知平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，|a－c|=|b－c|=3，c=λa+μb（λ>0，μ>0）.當(dāng)λ+μ=4時，|c|=（? ）.

A.582

B.622

C.662

D.702

分析：根據(jù)題目條件中平面向量的幾何意義，利用平面圖形的幾何性質(zhì)與直觀性，通過輔助線的構(gòu)建，結(jié)合三角形的角平分線定理、余弦定理等，合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)而分析、計算出對應(yīng)線段的長度.

解析：作OA=a，OB=b，OC=c，由題意|a－c|=|CA|=3，|b－c|=|CB|=3.

設(shè)直線OC與直線AB交于點(diǎn)E，

由c=λa+μb（λ>0，μ>0），知點(diǎn)E在線段AB上（不含端點(diǎn)）.

又λ+μ=4，結(jié)合“等和線”性質(zhì)，可知OC=4OE，即|OE||EC|=13.

又|AO||AC|=13，由三角形的角平分線定理，知AB是∠OAC的角平分線，即∠OAB=∠CAB=∠ABC，所以O(shè)A∥BC.

如圖2所示，作平行四邊形OACD，則|CD|=|OA|=1，|OD|=|AC|=3，可得|BD|=2=|OB|，所以△OBD是等腰三角形.

在等腰三角形OBD中，根據(jù)余弦定理，可得cos∠ODB=34，則cos∠ODC=－cos∠ODB=－34.

在△OCD中，利用余弦定理，可得OC2=OD2+CD2－2|OD|·|CD|·cos∠ODC=292.

所以|c|=|OC|=292=582.故選擇答案：A.

點(diǎn)評：回歸平面向量“形”的特征，從平面幾何的圖形直觀視角切入，借助三角形角平分線定理的逆向思維來確定對應(yīng)的角平分線，從而回歸平面幾何直觀來分析與處理問題.在解決具體的平面向量問題時，經(jīng)常從“數(shù)”中確定“形”，由“形”來直觀處理.

3 在平面解析幾何中的應(yīng)用

通過平面解析幾何中涉及角平分線的題設(shè)條件的直接應(yīng)用或角平分線性質(zhì)的內(nèi)涵挖掘，借助三角形的角平分線定理確定并構(gòu)建相應(yīng)線段的比例關(guān)系，為進(jìn)一步利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程來解決問題提供條件，并綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式以及平面向量等相關(guān)知識來合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用［2］.

例3 〔2023屆陜西省咸陽市高考模擬檢測（一）數(shù)學(xué)試卷（咸陽一模）〕直線l過雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OA·AF=0，3AF=FB，則雙曲線C的離心率為（? ）.

A.2

B.3

C.52

D.62

分析：通過對題設(shè)條件的合理挖掘與巧妙轉(zhuǎn)化，在直角三角形內(nèi)，引入雙曲線漸近線的傾斜角與斜率，結(jié)合漸近線的幾何性質(zhì)，利用三角形的角平分線定理來合理構(gòu)建對應(yīng)線段的比例關(guān)系，再借助向量關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與三角函數(shù)中的相關(guān)公式，即可求解雙曲線的離心率.

解析：如圖3，由OA·AF=0，知OA⊥AF，即∠OAB=π2.

在Rt△OAB中，設(shè)∠AOF=θ，則∠AOF=∠BOF=θ，且tan θ=ba.

利用三角形的角平分線定理與三角函數(shù)的定義，可得|OA||OB|=|AF||FB|=13=cos 2θ.

結(jié)合三角函數(shù)的萬能公式cos 2θ=1－tan2θ1+tan2θ，可得1－tan2θ1+tan2θ=13，解得tan2θ=12=b2a2.

所以雙曲線C的離心率e=ca=1+b2a2=62.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評：回歸平面解析幾何中曲線自身所具有的平面幾何本質(zhì)與內(nèi)涵，通過平面幾何的直觀與數(shù)形結(jié)合思維，挖掘其中角平分線的實(shí)質(zhì)與條件，進(jìn)而利用三角形的角平分線定理來構(gòu)建對應(yīng)線段的比例關(guān)系，往往為問題的解決開拓一個全新的局面，也是問題切入的一個主要視角.這里的角平分線性質(zhì)有時會直接給出，有時要結(jié)合平面解析幾何中圖形的實(shí)質(zhì)來挖掘與應(yīng)用.

回歸平面幾何的思維視角與圖形直觀，借助三角形的角平分線定理來處理與解決一些相應(yīng)的高中數(shù)學(xué)問題，是初中平面幾何知識的深入應(yīng)用，處理問題直觀有效，更多體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、連續(xù)性與延展性，更好地展示數(shù)學(xué)思想方法與思維方式，拓展并提升數(shù)學(xué)能力，全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］林淑金.立足教材 靈活拓展——《角平分線的性質(zhì)定理》教學(xué)研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2021（35）：18-20.

［2］鄭建斌.由教學(xué)“角平分線定理的逆定理”引發(fā)的問題探究［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2016（Z2）：127-128.