“做中學(xué)”視閾下問題鏈的設(shè)計與思考
——“數(shù)格點(diǎn) 算面積——發(fā)現(xiàn)皮克公式”教學(xué)設(shè)計與反思*

孫海鋒

(江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214401)

2023年3月20日,江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革重大項(xiàng)目——“做數(shù)學(xué):義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實(shí)踐”第五次項(xiàng)目研究推進(jìn)活動在江陰市開展.筆者在活動中開設(shè)了研究課“數(shù)格點(diǎn) 算面積——發(fā)現(xiàn)皮克公式”.課后研討由華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師鮑建生和江蘇省著名特級教師、正高級教師趙維坤點(diǎn)評.下面將個人經(jīng)驗(yàn)與思考整理成文,供讀者參考.

1 學(xué)情分析與目標(biāo)設(shè)定

授課班級的學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高,對數(shù)學(xué)有著濃厚的學(xué)習(xí)興趣,有一定的探究意識與探究能力,敢于主動表達(dá)自己的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)基本功扎實(shí),有較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理能力以及歸納能力.但受年齡、知識結(jié)構(gòu)等因素的制約,學(xué)生在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、表達(dá)的規(guī)范性、思維的深刻性等諸多方面還有待加強(qiáng).

本節(jié)課探討的話題在蘇科版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊教材“綜合實(shí)踐”部分“釘子板上的多邊形”中已做了研究.學(xué)生又經(jīng)歷了兩年多的成長,在思維能力、知識結(jié)構(gòu)等方面已有較大的進(jìn)步.筆者從學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、心理特征、認(rèn)知差異等維度進(jìn)行分析,最終將教學(xué)目標(biāo)確定為:①通過真實(shí)問題情境,讓學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的“三會”意識;②利用畫圖、列表等方法,經(jīng)歷分析數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律的過程,發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證皮克公式,體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,并發(fā)展符號意識.

2 實(shí)驗(yàn)工具的準(zhǔn)備與介紹

筆者給學(xué)生準(zhǔn)備了網(wǎng)格紙、釘板、橡皮筋若干.網(wǎng)格紙是學(xué)生熟悉的一種探究工具,給學(xué)生的實(shí)驗(yàn)開展提供了便利,但也有不能重復(fù)使用的缺點(diǎn).用橡皮筋在釘板上圍格點(diǎn)多邊形,既能直觀呈現(xiàn)圖形,又能動態(tài)調(diào)整圖形,從而將抽象思維顯性化.這兩類工具提供給學(xué)生,讓學(xué)生自由選擇,感受實(shí)驗(yàn)工具的必要性及工具選擇的便利性.

3 教學(xué)過程與設(shè)計意圖

做中學(xué),即以“做”為支架,學(xué)生運(yùn)用相關(guān)實(shí)驗(yàn)工具,通過實(shí)際操作、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論,理解數(shù)學(xué)知識的思維活動[1].筆者以現(xiàn)實(shí)問題為情境、問題鏈為驅(qū)動、學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)與小組合作為組織形式、發(fā)展學(xué)生高階思維為目標(biāo)設(shè)計了這節(jié)課.

3.1 創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問題

問題1如圖1,一片排列整齊的水杉樹林中,水杉之間行距和列距相同,其中一大片水杉生長在水域中.如何估測這一片水域的面積?

圖1 圖2

生1:如果把每棵水杉都看成一個點(diǎn),那么水域部分的面積可近似看成網(wǎng)格中多邊形的面積,只要用“割補(bǔ)法”求出這個多邊形的面積即可.

師:他將水杉所在行、列分別看成直線,將每一棵水杉看成是一個點(diǎn),行距和列距都視為單位1,從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題“如何求網(wǎng)格中多邊形面積”.這就是數(shù)學(xué)的觀察,他的回答非常精彩.同學(xué)們,如圖2,行列所在直線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn),若多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則將該多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.如果延續(xù)剛才這位同學(xué)的思考,有便捷的方法求格點(diǎn)多邊形的面積嗎?

生2:網(wǎng)格中可觀察的量只有格點(diǎn)數(shù),我們是否可以通過數(shù)格點(diǎn)來計算這個多邊形的面積呢?

師:在這個問題中,通過兩位同學(xué)的分析,發(fā)現(xiàn)了很有意思的數(shù)學(xué)問題.

設(shè)計意圖(1)引導(dǎo)學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題,考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力,教師用規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)作示范,提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時,向?qū)W生介紹基本的數(shù)學(xué)術(shù)語,明晰研究對象,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述的良好習(xí)慣.(2)對提出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步分析,從找尋最優(yōu)策略的角度,將問題進(jìn)一步聚焦,發(fā)現(xiàn)與本節(jié)課研究目標(biāo)相關(guān)的問題.

3.2 初步嘗試,提出問題

問題2請畫一個格點(diǎn)多邊形,使得多邊形內(nèi)部有4個格點(diǎn),邊上有5個格點(diǎn),并計算出這個多邊形的面積.

師:該問題中需要大家完成幾個具體任務(wù)?

生3:兩個,先畫出符合條件的格點(diǎn)多邊形,再求出該格點(diǎn)多邊形的面積.

(學(xué)生獨(dú)立操作并計算;如圖3,學(xué)生展示自己畫的圖形,并說出所畫格點(diǎn)多邊形的面積.)

圖3 圖4

師:有沒有哪位畫出了符合條件且面積不等于5.5的格點(diǎn)多邊形?

生4:我畫出的格點(diǎn)多邊形面積是6.(圖4)

師:請你展示一下格點(diǎn)多邊形,說說計算過程.(生4回答略)

師:你們認(rèn)同嗎?

生(眾):不同意,他畫的圖形是正確的,但面積計算錯誤.

師:請大家小組合作、共同探尋,能否發(fā)現(xiàn)符合條件且面積不等于5.5的格點(diǎn)多邊形呢?

……

生5:老師,我們組將內(nèi)部4個格點(diǎn)分為一行4個格點(diǎn)、兩行且每行2個格點(diǎn)、兩行且第一行 1個格點(diǎn)第二行3個格點(diǎn)等情形,畫出符合條件的格點(diǎn)多邊形并計算其面積,發(fā)現(xiàn)所畫格點(diǎn)多邊形的面積都等于5.5.

師:為便于大家研究格點(diǎn)多邊形,我為同學(xué)們準(zhǔn)備了兩種工具——方格紙若干、釘板與皮筋.你們小組選用哪種實(shí)驗(yàn)工具?為什么會選擇這種工具呢?

生5:我們小組選用的工具是釘板與皮筋.在操作過程中我們發(fā)現(xiàn),在方格紙中操作,若畫出的格點(diǎn)多邊形不符合條件,則重新修正很麻煩.但若用釘板與皮筋,修正起來就非常方便.

師:工欲善其事,必先利其器,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同樣如此.在該環(huán)節(jié)的整個探究活動中大家有何發(fā)現(xiàn)?

生6:可能內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)都確定,格點(diǎn)多邊形的面積就確定了.

師(問生4):根據(jù)你原先的計算,能得出這樣的猜想嗎?

生4:不可能,錯誤的計算會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的猜測產(chǎn)生很大的困擾.

師:是的,準(zhǔn)確的運(yùn)算是獲得正確實(shí)驗(yàn)結(jié)果的前提.

設(shè)計意圖(1)通過給定內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)畫圖并計算格點(diǎn)多邊形的面積,發(fā)現(xiàn)面積是一定值,從而引導(dǎo)學(xué)生提出本節(jié)課的核心任務(wù),即是否可以通過數(shù)格點(diǎn)得到格點(diǎn)多邊形的面積,同時激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望;(2)通過幾個關(guān)鍵性細(xì)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生主動感受良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要性,譬如審題時須厘清條件與要求、運(yùn)算須準(zhǔn)確等;(3)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,選擇合適的數(shù)學(xué)工具能更好地幫助我們進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.

3.3 合作探究,分析問題

問題3小組討論,代表展示:設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)方案,探究格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)以及多邊形面積之間的關(guān)系.

小組1:任意畫格點(diǎn)多邊形,數(shù)出內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù),并計算該多邊形的面積.多列舉一些數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系.

小組2:小組1的方案實(shí)施難度較大,因?yàn)槿我馊齻€變量,即便有很多組數(shù)據(jù),也很難發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系.不如先讓其中一個量不變,以內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為例,發(fā)現(xiàn)面積與邊上格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系.然后再改變內(nèi)部格點(diǎn)數(shù),探尋三者之間的關(guān)系.

小組3:小組2的操作方案是可行的,但通過問題2的探究,猜想三者之間有某種關(guān)系.不妨設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為N、邊上格點(diǎn)數(shù)為L,那么可以設(shè)S=aN+bL+c.取三組值代入該關(guān)系式,得到一個三元一次方程組,解該方程組得到a,b,c的值,從而求出S的面積.

師:目前有三種方案,請各小組再次討論,評價三種方案的可行性及優(yōu)越性.

生7:將第一、第二種方案比較,明顯第二種方案更好.第三種方案好像行不通,為什么S與N、L之間一定是這樣的關(guān)系呢?為什么不是S=aN2+bL2+c這一關(guān)系式或者其他關(guān)系式呢?

師:小組3能給出答復(fù)嗎?

小組3:確實(shí)考慮欠佳,認(rèn)同小組2的方案.

師:目前第二個方案有了基本方向,可否設(shè)計一個完整、細(xì)致可行的操作流程呢?

小組2:我們可以選擇確定N不變,由于格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)最少可以為0,根據(jù)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,我們不妨從N=0時開始探究,從而設(shè)計了如下方案.

第一步:探索N為0時,格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系.

(1)多畫幾個N為0的格點(diǎn)多邊形,填表:

圖形序號SL①②③…

(2)當(dāng)N為0時,如何用含有L的代數(shù)式表示S?

第二步:探索N為1時,格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系(表格省略).

第三步:探索N為2時,格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系(表格省略).

第四步:根據(jù)前面的探究,猜想格點(diǎn)多邊形的面積、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)三者之間的關(guān)系.

第五步:任意取N≥3的格點(diǎn)多邊形,驗(yàn)證三者之間關(guān)系是否滿足前面的猜想.

師:小組2的方案中,研究三個量之間的關(guān)系,先確定其中一個量不變,研究另兩個量之間的關(guān)系,稱為控制變量法.將該實(shí)驗(yàn)分為5個步驟進(jìn)行,下面請大家根據(jù)該方案開展探究活動.

設(shè)計意圖(1)小組合作商討、制定研究方案,由成員分享本小組設(shè)計方案,讓全體學(xué)生甄別、評價,使學(xué)生的思維在寬松、自主的氛圍中逐步深入,從而形成大家認(rèn)可的研究方案;(2)在本環(huán)節(jié)中向?qū)W生介紹控制變量法,其本質(zhì)與從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法一致,即將復(fù)雜問題簡單化后進(jìn)行研究;(3)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號語言的優(yōu)越性,促進(jìn)學(xué)生對字母表示數(shù)的深度理解.

3.4 動手實(shí)驗(yàn),解決問題

本環(huán)節(jié)由學(xué)生根據(jù)上述方案動手實(shí)驗(yàn),從而發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)多邊形面積與邊上格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系,教師向大家介紹皮克公式的歷史,滲透數(shù)學(xué)文化.

3.5 回顧反思,凝練升華

問題4回顧本節(jié)課的探究過程,談?wù)勀愕氖斋@.(教師最后歸納總結(jié),形成如圖5的基本框架.)

圖5 基本框架

4 教學(xué)反思

“做中學(xué)”即學(xué)習(xí)者在具身操作的過程中,大腦對事物的認(rèn)知在逐漸深入,結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),對體驗(yàn)到的信息進(jìn)行再加工,從而建構(gòu)新的知識體系.“做中學(xué)”視閾下的問題鏈則承擔(dān)驅(qū)動有序“做”、深入“學(xué)”的功能,促進(jìn)認(rèn)知深維建構(gòu).

4.1 真實(shí)情境為問題鏈的起點(diǎn)

史寧中教授提出,數(shù)學(xué)教學(xué)中一方面需保持“雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核,另一方面又能創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,讓學(xué)生感悟基本思想,積累基本活動經(jīng)驗(yàn),形成發(fā)展學(xué)科的核心素養(yǎng)[2].與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的真實(shí)的問題情境有較強(qiáng)的代入感,引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)地走入情境,尋找解決問題的策略及問題的答案,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲,這是引起學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)探究的前提,讓自發(fā)的“做”變?yōu)閷W(xué)生的精神需求.尤其是,當(dāng)問題情境讓學(xué)生感受其解決的必要性及社會價值時,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)責(zé)任,促使他們形成高度的責(zé)任意識與社會擔(dān)當(dāng),確保他們在“做”的過程中不輕易因受挫而放棄,從而讓“做”在連續(xù)的活動中持續(xù)向深度探究.

4.2 驅(qū)動活動為問題鏈的任務(wù)

本課例用4個主問題驅(qū)動教學(xué)活動的開展:問題1以生活情境為背景,引導(dǎo)學(xué)生提出問題;問題2通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到一個基本研究方向,即“如果格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)確定,則可能格點(diǎn)多邊形的面積就確定”;問題3設(shè)計并操作實(shí)驗(yàn),尋找格點(diǎn)多邊形的面積與內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系,并驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的關(guān)系;問題4對整節(jié)課進(jìn)行總結(jié)與回顧.4個問題形成問題鏈,每個問題承擔(dān)各自功能,形成如圖6的課堂流程.整個問題鏈驅(qū)動數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展,從而讓學(xué)生在有序的“做”中探究、學(xué)習(xí).

4.3 思維進(jìn)階為問題鏈的內(nèi)核

“做中學(xué)”的“做”是活動方式,“學(xué)”是目的,通過具身體驗(yàn)讓學(xué)生充分體驗(yàn),從活動經(jīng)歷中抽象出具體經(jīng)驗(yàn),為后繼活動的開展埋下伏筆.學(xué)生在“做”的過程中,從具象的操作到抽象的分析與綜合、活動評價等,思維從低階走向高階,從而實(shí)現(xiàn)通過“做中學(xué)”達(dá)到啟智增慧的育人目標(biāo).

本課例中,學(xué)生嘗試解決問題1時能發(fā)現(xiàn)新問題;借助問題2的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提出問題;問題3在充分分析問題的基礎(chǔ)上,設(shè)計數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決問題;問題4引導(dǎo)學(xué)生在回顧總結(jié)的過程中,歸納出重要思想與方法.在問題鏈搭建的支架中,思維進(jìn)階式發(fā)展,學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以落實(shí).

5 結(jié)束語

“做中學(xué)”視閾下積極發(fā)揮問題鏈的功能,“用問題鏈驅(qū)動學(xué)習(xí)活動接續(xù),推動學(xué)生經(jīng)驗(yàn)條理化;借問題鏈推進(jìn)探究過程深入,促使思維路徑階序化”[3],從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.