一道三角函數(shù)試題的多視角探析*

毋曉迪 鞠騰基 曾德?lián)P

(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 530006)

反思平時(shí)機(jī)械式的刷題,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)做高質(zhì)量的題目,同時(shí)悟透一道題目的來龍去脈,要比大量重復(fù)做題更有價(jià)值.另外用多種方法解決同一問題時(shí),可以從不同側(cè)面,多個(gè)角度分析、思考同一數(shù)學(xué)概念和規(guī)律,從而提高我們的解題能力.本文從不同視角對(duì)一道三角函數(shù)模擬試題進(jìn)行探究和解析,在感悟解答方法多樣的同時(shí),體會(huì)變換視角解題的奧秘.

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探究

思路1鎖定公式妙變形

分析 解決數(shù)學(xué)問題的過程,是思維不斷發(fā)散的過程,是思維巧妙轉(zhuǎn)化的過程.若在本問題解決中堅(jiān)守“角”的主體方向不動(dòng)搖,那么只能通過三角函數(shù)的和差化積以及倍角公式來變形,以期達(dá)到求解的目的,但運(yùn)算量較大.

思路2轉(zhuǎn)換路徑來破局

分析 《周易·系辭下》有言:“天下同歸而殊途,一致而百慮.”從知識(shí)主線來講,方程、函數(shù)、不等式本屬于同一主線內(nèi)容,三者相互聯(lián)系和滲透.本題可利用弦、切之間的關(guān)系,將所求式子進(jìn)行等價(jià)變換,然后通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)或不等式問題統(tǒng)領(lǐng)最值求解,具體解法如下.

思路3數(shù)形結(jié)合顯神威

分析 有時(shí)候,代數(shù)問題抽象晦澀,我們束手無策.若從幾何的角度出發(fā)分析問題,從“數(shù)”中窺探出“形”,那么問題的解決通常會(huì)事半功倍,尤其是構(gòu)造熟悉的幾何圖形,借助圖形的直觀性解決問題.例如本題求解時(shí)可以采取“遇切作高”、最短路徑、向量三角不等式以及構(gòu)造橢圓等思路來求解,具體解法如下.

圖1

圖2

圖3

評(píng)析由三角形中的一邊和該邊上的高是定值為突破口,以邊長(zhǎng)為焦距、高的大小為短半軸長(zhǎng)巧妙構(gòu)造橢圓.由橢圓的定義和畫法,根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,探索出CA+CB取得最小值的條件,問題便得以解決.

3 解后感悟

鑒于此,在解題過程中,想要打破現(xiàn)實(shí)中存在的低層次試題重復(fù)練習(xí)和高強(qiáng)度試題無效訓(xùn)練的桎梏,把練習(xí)的題量變“薄”,必須重視通性通法的積累,探析解題的本質(zhì)規(guī)律,淡化特殊解題技巧.此外,要養(yǎng)成解題后再反思的習(xí)慣,需要厘清并悟透試題中所蘊(yùn)含概念的內(nèi)涵,真正做到概念明了、知識(shí)清晰、方法熟識(shí)、應(yīng)用自如,通過解題完善內(nèi)化自身的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),對(duì)比出最優(yōu)的解題思路.