解題教學(xué)“探究”的四重境界
——以一道習(xí)題講評為例*

田秀權(quán)

(江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

1 問題提出

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分,對于高三復(fù)習(xí)課更可謂是主旋律.波利亞指出[1]:教會學(xué)生解題是教會學(xué)生思考、培養(yǎng)學(xué)生獨立探索的一條有效途徑.遺憾的是,解題教學(xué)的現(xiàn)狀與此目標存在一定的差距,很多教師在這方面的意識和能力都存在不足,直接影響了學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和思維能力的提升.

如何有效開展解題教學(xué)?筆者認為“探究”是關(guān)鍵.讓解題教學(xué)在追求“解法成因”“問題本質(zhì)”“規(guī)律方法”和“思維訓(xùn)練”的探究中,促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,實現(xiàn)解題具體操作與解題策略之間的融合.本文以高三二輪復(fù)習(xí)中一道作業(yè)習(xí)題的教學(xué)為例,談?wù)劷忸}教學(xué)“探究”的四重境界.

2 解題探究

(1)求C的方程;

圖1

境界1探“選”方法,明確解題方向

題中涉及的幾何元素多、幾何關(guān)系復(fù)雜.由于分析問題的能力不足和運算能力的欠缺,大多數(shù)學(xué)生辨不清“方向”,陷于運算的“泥潭”,最終無功而返.因此解題教學(xué)中,尤其是二輪復(fù)習(xí)階段,應(yīng)探究、選擇方法,以簡馭繁,以明確解題方向,實現(xiàn)解題的“精準制導(dǎo)”.

部分學(xué)生提出由因?qū)Ч?選擇變量中的關(guān)鍵因素(k參或點參)進行推理運算;部分學(xué)生提出由果溯因,猜想、探究目標成立的充分條件.這些“可能的”解題方向,優(yōu)劣點是什么?可行性如何?可通過繪制思維導(dǎo)圖的方式模擬解題過程,助力學(xué)生預(yù)判和選擇(如圖2～4).

圖2 導(dǎo)圖1

導(dǎo)圖1是“k參”,設(shè)而不求,導(dǎo)圖2是“點參”,設(shè)而求之,是解析幾何的兩個基本思路,但易想難算(作業(yè)中,學(xué)生基本上都“折戟”于此);導(dǎo)圖3由果溯因,基于學(xué)生的理性分析和解題經(jīng)驗(要使直線DE過定點,直線AD,AE應(yīng)該有一定的限制條件),猜測kAD和kAE存在確定的數(shù)量關(guān)系(難點),基于此猜想的后續(xù)運算則得到大大的簡化(可行性更強).因此,解題教學(xué)需要在“模擬導(dǎo)航”的探究中明確“方向”(目標結(jié)論)、預(yù)估“風(fēng)險”(思維受阻點或運算受阻點),最終選擇最佳“路徑”(解法).

圖3 導(dǎo)圖2

圖4 導(dǎo)圖3

教學(xué)思考從思維角度,學(xué)生對諸多方法的“選擇”能力的培養(yǎng),可以幫助他們在更高層面的思維架構(gòu)中思考問題,提升思維的預(yù)見性,優(yōu)化思維的品質(zhì).從應(yīng)試角度,這種“選擇”能力可以幫助他們避免因盲目嘗試而帶來的時間消耗或選擇錯誤而造成“徒勞無功”.

境界2探“密”難點,破譯“通關(guān)密碼”

如果說境界1是探究并確定解題方向,那么境界2就是在探究中“解密”問題難點,破譯問題解決的“通關(guān)密碼”.

導(dǎo)圖3中探究分成2個大的邏輯段.邏輯段1:在直線與圓的背景中(圖5)探究kAM(即kAD)和kAN(即kAE)的關(guān)系;邏輯段2:在直線與雙曲線的背景中(圖6)證明直線DE過定點;難點是kAD和kAE究竟有沒有確定的數(shù)量關(guān)系、有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

圖5 圖6

探究1極限探“定”

圖7

探究2動中探“定”

圖8

驗證(因篇幅限制,僅呈現(xiàn)一種方法)

邏輯段2的證明(因篇幅限制,僅呈現(xiàn)一種方法)

教學(xué)思考著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:“善于‘退’,足夠的‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅!”“特殊化”“極限化”等思想方法是解題探究“退”的有效途徑.由特殊到一般,以退為進,啟發(fā)“數(shù)學(xué)猜想”,助推“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”.

境界3探“源”本質(zhì),感悟思想方法

解題探究若僅僅滿足于“一個問題”而不追求“一類問題”,那這樣的探究是淺層次的,又何談“觸類旁通、格物致知”?對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)也必定是缺失的.就好比登山止步于半山腰,自然無法領(lǐng)略頂峰的無限風(fēng)光、無法體會登頂?shù)暮狼槿f丈!

比如導(dǎo)圖3邏輯段2中,斜率乘積為定值、直線過定點,是必然還是偶然?能否把命題一般化?逆命題是否正確?帶著這些思考,可以探究出以下命題.(可先通過數(shù)學(xué)軟件GeoGebra展示,讓學(xué)生直觀感知,再分小組探究)

把定值t特殊化,得到以下命題.這些命題既與學(xué)生已有認知融合呼應(yīng)、前后聯(lián)系(如命題3.1,作為雙曲線的性質(zhì)研究過但又略有不同),又發(fā)展、豐富學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)(如命題3.2、3.3),最終實現(xiàn)對知識的意義建構(gòu).

教學(xué)思考數(shù)學(xué)家波利亞說:“好問題類似于采蘑菇,采到一個后還應(yīng)四處看看,也許還有更多.”[1]解題探究中,通過挖掘問題的內(nèi)涵價值、拓展問題的外延范圍,在發(fā)現(xiàn)“蘑菇群”的同時也實現(xiàn)了問題的追本溯源,讓學(xué)生感悟問題的本質(zhì)和思想方法,收獲探究的“驚喜”,激發(fā)探究興趣.

境界4探“誘”聯(lián)想,促進知識、方法的遷移

心理學(xué)上,將已有知識經(jīng)驗對新知識的構(gòu)建影響叫作“遷移”.教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認為,所有的有意義的學(xué)習(xí)一定會包含遷移這個過程,因此他提出了“為遷移而教”的觀點.解題探究中,結(jié)合知識的聯(lián)系、表征的抽象等,誘導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生積極聯(lián)想,理性探究,促進知識、方法的遷移.

導(dǎo)圖3中邏輯段1,以圓為背景,也出現(xiàn)了“類似”命題3的性質(zhì),這是必然還是偶然?圓錐曲線是否都有類似性質(zhì)?

首先根據(jù)圓、橢圓、雙曲線方程結(jié)構(gòu)特征的相似性,以及運算原理的一致性,讓學(xué)生類比、猜想圓、橢圓的類似性質(zhì)(把命題3中定點坐標的a2,-b2置換成r2得圓的類似性質(zhì),把命題3中定點坐標的-b2置換成b2得橢圓的類似性質(zhì)),然后再推理驗證和探究拋物線的類似性質(zhì).得到以下命題(篇幅限制,命題4～6的一些子命題省略).

教學(xué)思考探究過程中,讓學(xué)生經(jīng)歷橫向聯(lián)系、觀察分析、表征轉(zhuǎn)化、模擬運算、類比猜想、推理論證的思維過程,一方面促進學(xué)生思維的發(fā)散和遷移,另一方面讓學(xué)生從新的視角感悟圓錐曲線的和諧美,最終實現(xiàn)解題意境“一覽眾山小”般的通透.

3 感悟

解題探究的四重境界(方法→難點→本質(zhì)→遷移)既是探究的方向,又是思維層次的四次飛躍:境界1側(cè)重思維的整體性、預(yù)見性,境界2側(cè)重于思維的邏輯性、靈活性,境界3側(cè)重于思維的深刻性,境界4側(cè)重于思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性.解題探究中,問題的解決并非唯一目的,讓解題策略在探究中自然獲取,解題境界在探究中自然提升,思維品質(zhì)在探究中自然優(yōu)化,這是我們努力的方向!