一個(gè)離散型隨機(jī)變量問(wèn)題的剖析與啟示

曹 輝 程守山 劉天程

(江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 213031) (江蘇省常州市正行中學(xué) 213000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“數(shù)學(xué)建?！绷袨榱蠛诵乃仞B(yǎng)之一,在必修課程、選擇性必修課程和選修課程中均對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)作出了具體要求,在核心素養(yǎng)的水平劃分中列出了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三個(gè)水平層級(jí)的詳細(xì)指標(biāo)[1]．隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁,它使我們可以借助有關(guān)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì),通過(guò)建立不同的概率模型解決有關(guān)隨機(jī)現(xiàn)象的問(wèn)題．

教科書(shū)通過(guò)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)或?qū)ｎ}(如“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”“建立數(shù)據(jù)模型進(jìn)行數(shù)字特征分析和統(tǒng)計(jì)”等),為學(xué)生形成積極主動(dòng)和多樣的學(xué)習(xí)方式提供了有利的條件,有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,養(yǎng)成獨(dú)立思考和積極探索的習(xí)慣．

1 問(wèn)題及背景

2023年蘇錫常鎮(zhèn)一模第20題:

某小區(qū)有居民2 000人,想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者,為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn),假設(shè)攜帶病毒的居民占a%,若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2 000次．為減輕化驗(yàn)工作量,隨機(jī)按n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn),若混合血樣呈陰性,則這n個(gè)人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽(yáng)性,說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性,就需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次．假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立．

(1)若a=0.2,n=20,試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù);

(2)若a=0.9,每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元,n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)n+9元,求n為何值時(shí),每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最?。?注:當(dāng)p<0.01時(shí),(1-p)n≈1-np)

本題的重點(diǎn)是如何選擇隨機(jī)變量來(lái)刻畫(huà)檢測(cè)方法的優(yōu)劣,難點(diǎn)是學(xué)生在確定隨機(jī)變量的選擇后,如何建立概率模型解決問(wèn)題．因此,在教學(xué)中應(yīng)可通過(guò)“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動(dòng),讓學(xué)生參與到這個(gè)探究過(guò)程中來(lái),感悟數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián),提高分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

上述問(wèn)題源于蘇教版選擇性必修第二冊(cè)第8章“8.2.2 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征”中的例2[2]:

在一個(gè)人數(shù)很多的地區(qū)普查某種疾病,由以往經(jīng)驗(yàn)知道,該地區(qū)居民得此病的概率為0.1%．現(xiàn)有1 000人去驗(yàn)血,給出下面兩種化驗(yàn)方法．

方法1:對(duì)1 000人逐一進(jìn)行化驗(yàn)．

方法2:將1 000人分為100組,每組10人．對(duì)于每個(gè)組,先將10人的血各取出部分,并混合在一起進(jìn)行一次化驗(yàn),如果結(jié)果呈陰性,那么可以斷定這10人均無(wú)此疾病;如果結(jié)果呈陽(yáng)性,那么再逐一化驗(yàn)．

試問(wèn):哪種方法較好?

可以看出,蘇錫常鎮(zhèn)一模第20題與教科書(shū) 例2大同小異．例2在待定標(biāo)準(zhǔn)時(shí),難度要大一些．選擇怎樣的隨機(jī)變量來(lái)刻畫(huà)檢測(cè)方法的優(yōu)劣是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．因此,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)加深對(duì)教材題目的理解和領(lǐng)悟,同時(shí)也要求我們加強(qiáng)對(duì)教材例題和課后習(xí)題的研究,在教學(xué)中滲透建模思想,提高學(xué)生的建模能力．

2 多視角探究

由于例2的開(kāi)放性,學(xué)生在探究的過(guò)程中給出了自己的觀點(diǎn):

生1:方法1好,理由是如果該疾病有傳染性,那么方法2有擴(kuò)散的風(fēng)險(xiǎn)．

生2:方法1好,理由是從患者個(gè)體來(lái)講,采用方法1每人只需抽血1次,而采用方法2每人至少抽血1次．

生3:方法2好,理由是從醫(yī)院化驗(yàn)的次數(shù)來(lái)講,方法2應(yīng)該優(yōu)于方法1,具體理由不清楚．

著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說(shuō):“數(shù)學(xué)是對(duì)模式的探究”．教材是從分組后每組化驗(yàn)的次數(shù)來(lái)建立最佳模型,運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索,使問(wèn)題得到解決．?dāng)?shù)學(xué)模型的建立有多種方法,怎樣選擇一個(gè)最佳模型,這是一個(gè)難點(diǎn),也是嘗試和探索的過(guò)程．學(xué)生的探究過(guò)程,也是關(guān)鍵能力培養(yǎng)的過(guò)程．為了使問(wèn)題指向更加明確,我們從化驗(yàn)次數(shù)的角度來(lái)刻畫(huà)檢測(cè)方法的優(yōu)劣,下面從三個(gè)視角嘗試建立模型．

視角1對(duì)于方法2,課本上采用分組后每組的化驗(yàn)次數(shù)X作為隨機(jī)變量,X的可能取值為1和11,而且這些人的化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的,所以分組后每組的化驗(yàn)次數(shù)X的概率分布如下:

X111P(1-0.001)101-(1-0.001)10

因?yàn)槊拷M化驗(yàn)次數(shù)X的均值為E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以100組的化驗(yàn)次數(shù)的均值為100×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}≈110．方法1的化驗(yàn)次數(shù)為1 000,因此方法2遠(yuǎn)好于方法1．

Y1101110P(1-0.001)101-(1-0.001)10

誤區(qū)1 簡(jiǎn)單認(rèn)為隨機(jī)變量Z的取值是100和1 100．從100組陰性和陽(yáng)性的角度進(jìn)行分類(lèi),即根據(jù)100組陰性,99組陰性1組陽(yáng)性,98組陰性2組陽(yáng)性,…,100組陽(yáng)性,來(lái)確定隨機(jī)變量Z的取值．也可以歸納為100+10k,k=0,1,…,100,其中k代表k組陽(yáng)性．

誤區(qū)2 將每人感染的概率和每組感染的概率混為一談,造成了部分學(xué)生認(rèn)為1組感染的概率是0.001．

3 反思與啟示

教材是專(zhuān)家和學(xué)者潛心研究并結(jié)合多數(shù)學(xué)生認(rèn)知水平編寫(xiě)出來(lái)的,是集體智慧的結(jié)晶．不過(guò),它不可能將編者的思考過(guò)程完全用文字反映出來(lái),這就需要教師不斷引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、挖掘、提煉,力爭(zhēng)獲得其背后所蘊(yùn)含的知識(shí)外延,這恰是命題教師編擬題目的源泉．

無(wú)論是哪一階段的建模環(huán)節(jié),學(xué)生都需要具備較強(qiáng)的抽象能力作為支撐.但建模能力的培養(yǎng)并不能一蹴而就,需要學(xué)生在教師的精心指導(dǎo)和幫助下拾級(jí)而上．在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)有意識(shí)地精選典例,引導(dǎo)學(xué)生積極開(kāi)展討論和探索,強(qiáng)化建模思維訓(xùn)練,達(dá)成師生、生生相互學(xué)習(xí)、共同成長(zhǎng)的目標(biāo)．學(xué)生在參與數(shù)學(xué)建模和探究的過(guò)程中,不斷地?cái)U(kuò)充個(gè)人認(rèn)知,提升數(shù)學(xué)建模和探究能力．