從平均數(shù)視角看抽屜原理

王友偉

(江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

1 抽屜原理的由來(lái)

抽屜原理又叫鴿籠原理,是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷于19世紀(jì)初期首先發(fā)現(xiàn)的,亦稱狄利克雷原理．狄利克雷給出的定義是這樣的:“如果有5個(gè)鴿子籠,養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子,那么當(dāng)鴿子飛回籠中后,有一個(gè)籠子中至少裝有2只鴿子．”最早狄利克雷運(yùn)用抽屜原理去解決數(shù)論的問題．

2 從平均數(shù)視角再解競(jìng)賽題

中小學(xué)的各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書中對(duì)抽屜原理有各種不同形式的表述,有的書還細(xì)分為第Ⅰ型與第Ⅱ型抽屜原理．其實(shí)從平均數(shù)的角度可以把抽屜原理解釋得很清楚.平均數(shù)具有典型代表意義,可以把平均數(shù)作為一個(gè)數(shù)量標(biāo)志,用之于尋找具有某種數(shù)量特征的事物的存在性[1].簡(jiǎn)言之,抽屜原理的本質(zhì)就是最大數(shù)≥平均數(shù)≥最小數(shù)．

從平均數(shù)的角度可以巧妙地解決以下兩個(gè)題目．

當(dāng)t>1時(shí),tn,tn-1,…,t,1中tn最大,增加一個(gè)最大數(shù)后平均數(shù)變大,即

當(dāng)t=1時(shí),顯然A=B．

綜上,當(dāng)t>0時(shí),恒有A≤B,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立．

當(dāng)t=1時(shí),顯然A=B．

這兩題都是從平均數(shù)的角度對(duì)題目進(jìn)行了重新解讀,充分利用了“最大數(shù)≥平均數(shù)≥最小數(shù)”這一想法,大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算,使題目的結(jié)論有很強(qiáng)的直觀性．

3 抓住本質(zhì),歸納抽屜原理的核心表現(xiàn)形式

在不同的問題情境中,使用抽屜原理進(jìn)行存在性證明的一個(gè)難點(diǎn),就是如何構(gòu)造“抽屜”．即如何將研究對(duì)象的全體劃分為若干個(gè)子集,使得這些子集的并集是全集,并且兩兩交集為空集[2]．而在利用抽屜原理解題時(shí),我們更多地將關(guān)注點(diǎn)聚焦于構(gòu)造抽屜的方法[3]．例如,通過分割幾何圖形“構(gòu)造抽屜”、以討論對(duì)象的特殊性“構(gòu)造抽屜”“分組構(gòu)造抽屜”等．也可以從思維策略上將其分為:(1)“直接構(gòu)造抽屜”,如“生日問題”中的“抽屜”就是直接構(gòu)造的;(2)“剩余類”構(gòu)造“抽屜”,如把所有整數(shù)按照除以某個(gè)正整數(shù)m的余數(shù)分為m類,叫作m的剩余類[4]．

如果我們將目光只局限在構(gòu)造的方法上,那就會(huì)被眼前的問題一葉障目,忽略了抽屜原理的本質(zhì)．其實(shí)在離散的情形中,我們可以將抽屜原理的表現(xiàn)形式分為下列兩種．

第二種:若干個(gè)球任意放入n個(gè)抽屜．結(jié)論:要保證有一個(gè)抽屜的球數(shù)≥m+1,則總球數(shù)≥mn+1;要保證有一個(gè)抽屜的球數(shù)≤m,則總球 數(shù)≤(m+1)n-1．

4 運(yùn)用抽屜原理,巧解經(jīng)典題

下面筆者給出幾道用抽屜原理解決的經(jīng)典題目．

例2(1988年IMO預(yù)選題)一張?jiān)嚲砉灿?道選擇題,每道選擇題有3個(gè)選項(xiàng)A,B,C．一群學(xué)生參加考試,閱卷后發(fā)現(xiàn):任意3人都有一道題的選項(xiàng)各不相同．試問參加考試的學(xué)生最多有多少人?

題號(hào)學(xué)生編號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨1AAABBBCCC2ABCABCABC3ABCBCACAB4ABCCABBCA

綜上,所求的答案為9．

例3(1987年國(guó)家隊(duì)選拔賽)給定空間2n個(gè)點(diǎn)(n≥2),任意4個(gè)點(diǎn)不共面．求證:連接這些點(diǎn)的任意n2+1條邊,必存在兩個(gè)有公共邊的三角形．

同上,可得新的子圖:有2k個(gè)頂點(diǎn),有k2+1條邊,由歸納假設(shè),子圖中有兩個(gè)有公共邊的三角形．從而原圖中有兩個(gè)有公共邊的三角形．

解不妨設(shè)|A1|=k,由抽屜原理,只需證A1,A2,…,An中含A1中元素個(gè)數(shù)總和≥n,等價(jià)于平均≥1．

首先,例3運(yùn)用抽屜原理使歸納證明顯得非常的自然,例4將問題轉(zhuǎn)化為證明總體平均大于等于1,再轉(zhuǎn)化為每個(gè)局部平均大于等于1,解題過程中不再過多強(qiáng)調(diào)抽屜的構(gòu)造,而是將問題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化,解法比標(biāo)準(zhǔn)答案簡(jiǎn)潔很多．

此題有較強(qiáng)的幾何背景．一個(gè)人在周長(zhǎng)為1的圓周上繞圈行走,步長(zhǎng)為θ,起點(diǎn)為A,足跡依次為A1,A2,….?ε>0,?q∈Z+,使得Aq與A的距離小于ε．上面的證明是典型的應(yīng)用抽屜原理后其代數(shù)化的證明．

抽屜原理的競(jìng)賽題變化繁多,命題的形式也異常豐富,被很多“外衣”包裝后,學(xué)生很容易被困其中.只有理解了抽屜原理的本質(zhì),跳出構(gòu)造抽屜的形式化束縛,才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,讓抽屜原理難題迎刃而解．