千淘萬(wàn)漉尋靈感 三斟三酌定文章
——一道模擬試題的命制歷程與思考

劉洪志 王 瑩

(江蘇省句容高級(jí)中學(xué) 212400) (江蘇省句容市第三中學(xué) 212400)

考試是對(duì)學(xué)生能力進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種重要方式,測(cè)試試題是從事教育測(cè)量的量尺,命制一道恰當(dāng)?shù)脑囶}是考量學(xué)生水平發(fā)揮的關(guān)鍵所在.高三學(xué)生要參加很多考試,高三教師要根據(jù)學(xué)情命制不同難度的試題,現(xiàn)將個(gè)人命制一道解析幾何問(wèn)題的過(guò)程與感悟記錄如下,與同行分享.

1 命題立意

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出的“一核、四層、四翼”為學(xué)科命題提供了準(zhǔn)則和標(biāo)尺,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)容及其不同水平的劃分為命題提供了目標(biāo)和依據(jù).其強(qiáng)調(diào)的“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)主干內(nèi)容、聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化技巧”[1]又為學(xué)科命題指明了方向和要求.

高考中解析幾何問(wèn)題一般是以考查直線(xiàn)與橢圓和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)為主,對(duì)圓和雙曲線(xiàn)鮮有涉及,為了預(yù)防學(xué)生的賭徒心態(tài),筆者命制了一道以雙曲線(xiàn)為背景的問(wèn)題,通過(guò)熟悉的背景考查共軛雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切、弦長(zhǎng)公式等相關(guān)知識(shí),突出綜合性、基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性.

2 命題過(guò)程

2.1 選定母題

2.2 探究母題

圖1

通過(guò)研究一般性,我們可以獲知切線(xiàn)與漸近線(xiàn)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為定值,且切點(diǎn)為交點(diǎn)連線(xiàn)段的中點(diǎn).

2.3 初出茅廬,稍顯稚嫩

(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

因?yàn)榈诙?wèn)需要確定T為線(xiàn)段中點(diǎn),故而降低第一問(wèn)難度,給第二問(wèn)的求解留下更充裕的時(shí)間.

解 (1)x2-y2=1.

此題取到最值的情況比較特殊,容易被猜到答案,而且綜合性較弱,缺少壓軸題的味道,需要做進(jìn)一步的思考.共軛雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn),這條切線(xiàn)與其共軛雙曲線(xiàn)相交能有什么樣的性質(zhì)呢?筆者保留了等軸雙曲線(xiàn),放棄切線(xiàn)與漸近線(xiàn)相交這一背景,讓這條切線(xiàn)與其共軛雙曲線(xiàn)相交,轉(zhuǎn)而研究以坐標(biāo)原點(diǎn)和交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積問(wèn)題,通過(guò)證明,發(fā)現(xiàn)這個(gè)面積是一個(gè)定值,命題的第二稿就此產(chǎn)生.

2.4 潛心修煉,再出江湖

(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)雙曲線(xiàn)C的共軛雙曲線(xiàn)為C′,點(diǎn)T為C上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T的雙曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l與C′交于A(yíng),B兩點(diǎn),求證:△AOB的面積為定值.

解 (1)雙曲線(xiàn)C的方程為x2-y2=1,雙曲線(xiàn)C′的方程為y2-x2=1.

圖2

綜上所述,△AOB的面積為定值.

在研究二稿的解答時(shí),筆者作出了雙曲線(xiàn)、共軛雙曲線(xiàn)還有它們共同的漸近線(xiàn),突然想到這里的切點(diǎn)能否也平分直線(xiàn)與共軛雙曲線(xiàn)形成的這條弦呢?于是先用等軸雙曲線(xiàn)進(jìn)行了特例檢驗(yàn)然后再通過(guò)GeoGebra進(jìn)行演示,發(fā)現(xiàn)這是個(gè)正確的命題,證明一般情況后發(fā)現(xiàn)猜想正確,也就是過(guò)雙曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)T作切線(xiàn),點(diǎn)T既是切線(xiàn)與漸近線(xiàn)交點(diǎn)的中點(diǎn),也是切線(xiàn)與其共軛雙曲線(xiàn)交點(diǎn)的中點(diǎn).帶著這樣的想法筆者保留直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切的背景,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了較大幅度的改編.

2.5 見(jiàn)賢思齊,日臻完善

(1)求雙曲線(xiàn)C′的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)M的C的切線(xiàn)與C′以及兩條漸近線(xiàn)自上而下依次交于點(diǎn)A,E,F,B,求證:AE=BF.

圖3

第三稿試題的表述更加簡(jiǎn)潔,解法更能突出解析幾何中變量選擇的多樣性,考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,將證明兩條線(xiàn)段相等轉(zhuǎn)化為證明中點(diǎn)重合,如果直接解決會(huì)陷入比較復(fù)雜的數(shù)式運(yùn)算,這種問(wèn)題能夠鍛煉學(xué)生思維的靈活性,起到較好的能力評(píng)價(jià)效果.

3 命題感想

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出,試題要以必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)為考查目標(biāo),全面體現(xiàn)考查的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,站在學(xué)科整體高度創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)知識(shí)習(xí)得、數(shù)學(xué)運(yùn)算演練、數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等熟悉的課程學(xué)習(xí)情境[2].要盡量以數(shù)學(xué)教材例習(xí)題為載體,以數(shù)學(xué)中核心概念、性質(zhì)、法則、定理、定義、公式為背景,引導(dǎo)學(xué)生重視必備知識(shí)的學(xué)習(xí).

原創(chuàng)問(wèn)題的痛點(diǎn)是無(wú)從下手,一般來(lái)說(shuō)教材、高考試題、模擬試題等等都是命題的靈感來(lái)源.T8聯(lián)考范圍較大,而且都是教育發(fā)達(dá)的省份和地區(qū),在一定程度上反映高考的趨勢(shì).關(guān)注T8聯(lián)考中的問(wèn)題是高三教師的必修課,我們不僅要做好每道題,而且要帶著自己的理解進(jìn)行深入的思考,發(fā)揮聯(lián)考試題對(duì)高中教學(xué)的導(dǎo)向作用.試題的命制不是一個(gè)簡(jiǎn)單的解題過(guò)程,而是將命題引向深入的研究過(guò)程.在命制過(guò)程中,三易其稿,這其中有簡(jiǎn)單的模仿、有徹底的推翻、有深入和繼承,每一次都是思維的發(fā)散與聚合的碰撞,極大地提升了命題人的數(shù)學(xué)功底,同時(shí)也提醒自己在平時(shí)的教育教學(xué)中要注意積累和思考,能用發(fā)現(xiàn)的眼睛尋找命題的靈感,用發(fā)展的眼光去看待問(wèn)題的研究方向,用發(fā)明的心態(tài)去專(zhuān)注命題工作.