從波利亞的解題思想談數(shù)學(xué)解題教學(xué)
——以一道“折紙問題”為例

李志平, 陳益智, 王海青

(1.惠陽區(qū)第一中學(xué),廣東 惠州 516211;2.惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 惠州 516007)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,學(xué)業(yè)水平考試堅持素養(yǎng)立意、凸顯育人導(dǎo)向,要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)、關(guān)注通性通法,適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例．這意味著數(shù)學(xué)中考的考試命題將更加強調(diào)對思維過程和探究過程的考查,從注重考查記憶理解的結(jié)果到注重考查思維過程、探究過程的發(fā)展水平．考試命題改革必將促使教師教學(xué)理念和教學(xué)方式的改革,促使教師重新審視解題教學(xué)課的作用和方法策略,思考如何以典型問題為載體培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力．

“怎樣解題表”是著名數(shù)學(xué)教育家波利亞的著作《怎樣解題》中的核心內(nèi)容[1],它圍繞解題的4個步驟(理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案與回顧反思)闡釋如何運用啟發(fā)性問題尋找解題的突破口、揭示解題的思維活動過程,以指導(dǎo)教師有效地開展解題教學(xué)[2-4]．下面筆者以2021年廣東省數(shù)學(xué)中考“折紙問題”為例,探討如何運用波利亞的解題理論指導(dǎo)習(xí)題課的教學(xué),以提高教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、敏捷的數(shù)學(xué)思維．

例1如圖1,邊長為1的正方形ABCD中,點E為AD的中點．聯(lián)結(jié)BE,將△ABE沿BE折疊得到△FBE,BF交AC于點G,求CG的長．

圖1

(2021年廣東省數(shù)學(xué)中考試題第23題)

1 理解題目

啟發(fā)性問題已知數(shù)據(jù)是什么?未知量是什么?條件是什么?條件是否充分、多余或者矛盾?

1)已知數(shù)據(jù):由正方形ABCD的邊長為1可知

AB=BC=CD=DA=1,

∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,

2)條件:E為AD的中點,△ABE沿BE折疊得到△FBE,AC為對角線,BF與AC交于點G．易得

∠AEB=∠FEB, ∠ABE=∠FBE, ∠EAB=∠F．

3)未知量:CG的長．

4)所有的點都是定點,因此條件是充分的．

設(shè)計意圖以上啟發(fā)性問題具有普適性,可以在研究各種各樣的題目時提出類似問題,有助于學(xué)生充分梳理已知與未知的關(guān)系,更好地擬定解題方案.

2 擬訂方案

啟發(fā)性問題你能聯(lián)想到與之相關(guān)的題目嗎?能否從未知量出發(fā)倒著推出某些條件(分析法)?回到定義上去看是否還有條件沒有用上?你能重新敘述這道題目嗎?

整體思路求線段CG或者AG的長,常用的方法是通過解該邊所在的等腰三角形或直角三角形,構(gòu)建相應(yīng)的全等三角形或者相似三角形來達成．本題用到的相似三角形的基本圖形有以下幾種:

1)X型:如圖2(正X型),

圖2 圖3

如圖3(反X型),

2)一線三垂直模型:如圖4,直線BC上有3個直角,顯然△ABC∽△CDE.

圖4

3)射影模型:如圖5,直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似,即

圖5

△ACD∽△ABC∽△CBD.

常見的結(jié)論有:

AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,DC2=DA·DB.

4)十字模型:如圖6,在正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD上的點,H,G分別是邊AD,BC上的點,聯(lián)結(jié)EF,GH.過點H作HN⊥BC于點N,過點F作FM⊥AB于點M.若EF⊥GH,則△EFM≌△GHN.

圖6 圖7

簡證在Rt△EFM和Rt△GHN中,易證MF=NH=正方形邊長,∠GHN=∠EFM,故△EFM≌△GHN.

若四邊形ABCD是長方形,其他條件不變,如圖7,則△EFM∽△GHN.證法同四邊形ABCD是正方形,此處不再贅述.

以上思路是從幾何的角度分析問題尋找解題的路徑．另一種思路是幾何代數(shù)化,建立直角坐標系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生通過觀察未知量,聯(lián)想到自己熟悉的具有相同或相似未知量的題目,在熟悉的問題情境中展開對所求問題的探究,找到解題的突破口,從而獲得解題思路與方法.

3 執(zhí)行方案

根據(jù)前面的知識梳理與解題思路分析,至少可從3個方向入手找到解題的突破口進而解決問題,即求出∠FBC或∠FBA的三角函數(shù)值,或者利用正方形建立直角坐標系將之轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題來求解．分別對應(yīng)于下面3種解法:

圖8

FK=2x,HF=1-2x,KB=AH=2HF,

即

解得

于是

故

過點G作GS⊥BC于點S,設(shè)CS=GS=3k,則

BS=4k,

從而

BC=7k=1,

即

故

解法2如圖9,聯(lián)結(jié)AF,過點F作FP⊥AB于點P,過點G作GR⊥AB于點R．易知

圖9

從而

設(shè)GR=AR=4x,則

BR=3x,

于是

AB=7x=1,

即

故

解法3如圖10,以A為坐標原點、射線AB方向為x軸正方向、射線AD方向為y軸正方向建立平面直角坐標系．易得

圖10

lAC:y=x,

因為AF⊥BE,所以

lAF:y=2x.

設(shè)計意圖通過從不同的角度運用不同的知識與方法解決問題,加深對該問題及其解法的理解,深刻掌握相關(guān)知識點及其內(nèi)在聯(lián)系.

4 回顧反思

啟發(fā)性問題你能檢驗這個結(jié)果嗎?你能在別的題目中利用這個結(jié)果或方法嗎?你能將問題更加一般化嗎?

變式1(條件不變,改變問題)如圖11,求所有的線段、所有角度(銳角)的正切值和所有圖形的面積,如:

圖11

1)求BG,FG,tan∠BGA(提示:解△ABG或△BCG);

2)求tan∠EOA(提示:解△AEO或△BOC);

3)求tan∠FED(提示:聯(lián)結(jié)AF,解△AEF);

4)求四邊形EOGF的面積(提示:△BEF的面積減去△BOG的面積)．

變式2(交換條件與結(jié)論)如圖11,已知一條線段、一個角度(銳角)的正切值或一個圖形的面積,求任意線段的長度、任意角度(銳角)的正切值或任意圖形的面積,如:

變式3(將條件一般化)1)如圖12,若AB=2AD=2(或AB=kAD),其余條件不變,求CG(提示:參考解法1～3)．

圖12 圖13

2)如圖13,若AE=2DE(或AE=kDE),其余條件不變,求CG(提示:參考解法1～3)．

3)如圖14,在邊長為1的正方形ABCD中,點E,K分別在邊AD,AB上,且3DE=AE,AK=BK,聯(lián)結(jié)EK,將△AEK沿EK折疊得到△FEK,EF交AC于點N,求CN(提示:參考解法1～3;如圖15,在∠EFK處構(gòu)建一線三垂直模型,通過相似或三角函數(shù)求QD,解△CNQ,其中點Q是CD延長線與NE延長線的交點)．

圖14 圖15

4)如圖16,在邊長為1的正方形ABCD中,點E,K分別在邊AD,BC上,且DE=AE,3BK=CK,聯(lián)結(jié)EK,將四邊形ABKE沿EK折疊得到四邊形FTKE,FT交AC于點H,求CH(提示:參考解法1～3;如圖17,由十字模型易得△AIF∽△EJK,通過A型相似求AL,解△AHL)．

圖16 圖17

設(shè)計意圖通過回顧與反思,對問題進行變式拓展,由一題到一類問題,在舉一反三、層層遞進中鞏固知識、深化理解,進而形成靈活完善的知識思想體系,增強學(xué)生解決問題的能力.

5 小結(jié)

由上述具體的問題解決過程可以發(fā)現(xiàn),運用波利亞怎樣解題的4個步驟進行解題或者解題教學(xué),能清晰地反映解題的思維過程,有效指導(dǎo)學(xué)生一步步地深入思考.波利亞“怎樣解題表”提供了一個完整的數(shù)學(xué)解題思考過程(如圖18),每個步驟都有對應(yīng)的啟發(fā)性提問用語提示解題者進行思考與探究,對教師和學(xué)生都有很強的指導(dǎo)意義．其中,回顧反思是解題教學(xué)中極其重要的環(huán)節(jié)之一,是對問題進行深化、對相應(yīng)的思想方法進行升華的重要階段.通過回顧反思、變式引申,把對一個問題的解決上升到對一類問題及其思想方法的歸納整理,并強調(diào)通性通法的作用,這個過程有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

圖18