基于數(shù)學(xué)史的科學(xué)精神培養(yǎng)
——以二項(xiàng)式定理為例

鄭蓉蓉, 蔣逸卿, 唐恒鈞

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出,科學(xué)精神是學(xué)生必須具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力之一,具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點(diǎn).科學(xué)精神是一個(gè)學(xué)科超越性的概念,它指的并不是科學(xué)學(xué)科中的精神,而是各個(gè)學(xué)科中蘊(yùn)涵的求真求實(shí)、開(kāi)拓創(chuàng)新等優(yōu)秀精神品質(zhì).這些精神品質(zhì)正是米山國(guó)藏所提出“更高更好的教育”中的重要元素[1].

科學(xué)精神是能教育的,但它并不會(huì)從數(shù)學(xué)中自覺(jué)地轉(zhuǎn)移到學(xué)生身上,而需要通過(guò)教育過(guò)程中有意識(shí)地滲透與培養(yǎng)才能達(dá)成.現(xiàn)有研究認(rèn)為數(shù)學(xué)史融入教學(xué)是培養(yǎng)科學(xué)精神的重要手段之一[2].但對(duì)于什么樣的數(shù)學(xué)史才能培養(yǎng)科學(xué)精神,如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史教學(xué)才能更好地培育科學(xué)精神并未做出更多的探索.基于此,筆者將分析對(duì)科學(xué)精神培養(yǎng)有重要價(jià)值的數(shù)學(xué)史形態(tài),以二項(xiàng)式定理為例,討論培養(yǎng)科學(xué)精神的教學(xué)策略系統(tǒng).

1 培養(yǎng)科學(xué)精神的重要數(shù)學(xué)史形態(tài)

數(shù)學(xué)史具有不同的形態(tài),可以分為數(shù)學(xué)概念形成史、數(shù)學(xué)名人史、數(shù)學(xué)名題史、數(shù)學(xué)名著史、數(shù)學(xué)證明方法史以及其他歷史[3].那么究竟哪些數(shù)學(xué)史形態(tài)在培養(yǎng)科學(xué)精神上具有更強(qiáng)的適切性?

從科學(xué)精神的3個(gè)基本要點(diǎn)的主要表現(xiàn)(見(jiàn)表1)來(lái)看,每種數(shù)學(xué)史都或多或少能與基本要點(diǎn)產(chǎn)生交集,但數(shù)學(xué)概念形成史、數(shù)學(xué)證明方法史、數(shù)學(xué)名人史這3種數(shù)學(xué)史形態(tài)與科學(xué)精神培養(yǎng)的3個(gè)方面最為契合.

表1 科學(xué)精神基本要點(diǎn)與主要表現(xiàn)

第一,以逐漸完備的數(shù)學(xué)概念形成史培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.理性思維是基于證據(jù)和邏輯推理的一種思維方式[4],因此對(duì)學(xué)生理性思維的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)以證據(jù)意識(shí)和邏輯能力為著力點(diǎn),使學(xué)生具備尋找證據(jù)與審視證據(jù)的自覺(jué).教學(xué)中教師呈現(xiàn)的往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的最終結(jié)果,學(xué)生缺乏舉證辨?zhèn)?、分析推理的機(jī)會(huì),談何理性思維的培養(yǎng).弗賴登塔爾也強(qiáng)調(diào),數(shù)學(xué)教育不能從已經(jīng)是最終結(jié)果的那些完美的數(shù)學(xué)系統(tǒng)開(kāi)始.呈現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程,能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念形成的每一步都有據(jù)可依,經(jīng)歷立證又推翻的過(guò)程才使得概念逐漸完善.

第二,以多重視角的數(shù)學(xué)證明方法史啟發(fā)學(xué)生的批判質(zhì)疑.批判質(zhì)疑是科學(xué)精神的核心,指人面對(duì)既有認(rèn)識(shí)和規(guī)矩的一種態(tài)度,表現(xiàn)出凸顯問(wèn)題意識(shí)與批判質(zhì)疑態(tài)度的重要性,對(duì)經(jīng)驗(yàn)和權(quán)威能有自己的辯證思考而不是簡(jiǎn)單接受,因此應(yīng)當(dāng)從學(xué)生看待事物的視角入手培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑的習(xí)慣.歷史上數(shù)學(xué)家們樂(lè)于尋找不同方法,從不同角度證明同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論,這些方法對(duì)學(xué)生的思維都具有一定的啟發(fā)意義.在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家們提供的不同方法,其中有值得欣賞與品味的地方,也可能有需要批判與質(zhì)疑的地方,審視過(guò)程中能夠啟發(fā)學(xué)生的辯證思考,正視經(jīng)驗(yàn)與權(quán)威.如勾股定理至少有370余種證明方法,角度各異,想法新穎,值得細(xì)細(xì)品味.

第三,以尋求真理的數(shù)學(xué)名人史鼓勵(lì)學(xué)生勇于探究.勇于探究的關(guān)鍵在“勇”,沒(méi)有“勇”,即便學(xué)生有批判質(zhì)疑的愿望與能力,也無(wú)法挑戰(zhàn)主導(dǎo)性經(jīng)驗(yàn)與權(quán)威[5].因此,要為學(xué)生樹(shù)立良好的榜樣引領(lǐng),鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出看法,不畏困難、積極嘗試.數(shù)學(xué)史是人類不斷尋求真理的歷史,數(shù)學(xué)家們?cè)趯で笳胬淼穆吠局星案昂罄^,他們執(zhí)著追求的精神、刻苦鉆研的毅力、勇攀高峰的勇氣,起到了優(yōu)秀的榜樣示范作用,能夠作為教育素材以激發(fā)學(xué)生探索真理、直面困難的勇氣.如笛卡爾勇于對(duì)當(dāng)時(shí)權(quán)威的平面幾何提出質(zhì)疑,立志建立起使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一的新的幾何學(xué)——解析幾何,帶領(lǐng)歐洲進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期.

2 教學(xué)策略系統(tǒng)構(gòu)建

培養(yǎng)科學(xué)精神的數(shù)學(xué)史教學(xué)需要基于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史料的充分理解,聚焦科學(xué)精神的基本要點(diǎn),遵循歷史發(fā)展脈絡(luò),合乎數(shù)學(xué)邏輯與學(xué)生心理邏輯.在實(shí)踐層面,分析史料是基礎(chǔ)與前提,學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程就是歷史過(guò)程的簡(jiǎn)約化,基于HPM的學(xué)習(xí)過(guò)程涵蓋“提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)”這4個(gè)環(huán)節(jié).學(xué)習(xí)過(guò)程必須以原則為導(dǎo)向才能更好地培養(yǎng)科學(xué)精神,包括在活動(dòng)內(nèi)容中滲透精神內(nèi)核,在活動(dòng)過(guò)程中關(guān)注學(xué)生體驗(yàn),在活動(dòng)結(jié)果中注重精神凝練等.由此形成的教學(xué)策略系統(tǒng)如圖1所示.

圖1

2.1 以史料分析結(jié)果為依據(jù)尋找教學(xué)切入點(diǎn)

培養(yǎng)科學(xué)精神的數(shù)學(xué)史教學(xué)在設(shè)計(jì)與實(shí)施前必須先進(jìn)行史料分析,以史料分析結(jié)果為依據(jù)尋找教學(xué)的切入點(diǎn).

首先需要分析史料與科學(xué)精神基本要點(diǎn)的契合部分及契合程度.3種重要數(shù)學(xué)史形態(tài)中所蘊(yùn)涵的逐漸完備、多重視角、尋求真理的精神內(nèi)核是理性精神、批判質(zhì)疑、勇于探究的重要體現(xiàn).史料素材中體現(xiàn)精神內(nèi)核的多少和程度,與史料素材的教育價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值息息相關(guān).

史料的選擇既需回應(yīng)知識(shí)的訴求,也需蘊(yùn)涵科學(xué)精神.數(shù)學(xué)教學(xué)中既需要從史料中尋找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué);更需要充分發(fā)揮科學(xué)精神對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的啟發(fā)意義與感召作用,傳承科學(xué)精神.

選擇史料后,必須對(duì)史學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行教育形態(tài)的改造,才能更好地服務(wù)于教學(xué).將數(shù)學(xué)史料“問(wèn)題化”是把數(shù)學(xué)史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的有效路徑[6].通過(guò)啟發(fā)與引導(dǎo),引領(lǐng)學(xué)生走入問(wèn)題情境、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題.

2.2 基于HPM的學(xué)習(xí)過(guò)程

在史料分析的基礎(chǔ)上,形成以原則為導(dǎo)向的、基于HPM的學(xué)習(xí)過(guò)程.

提出問(wèn)題環(huán)節(jié)意在真實(shí)的問(wèn)題情境中引發(fā)學(xué)生真實(shí)的疑問(wèn),促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn).真實(shí)的疑問(wèn)是教學(xué)行進(jìn)的不竭動(dòng)力,這些疑問(wèn)可以源自歷史、生活或數(shù)學(xué)發(fā)展等.

分析問(wèn)題是提出問(wèn)題與解決問(wèn)題之間的過(guò)渡.高中階段學(xué)生的問(wèn)題解決能力有限,尚未完全形成解決問(wèn)題的一般思路,需要教師依據(jù)學(xué)生的思維水平為學(xué)生構(gòu)建學(xué)習(xí)支架,引導(dǎo)學(xué)生從何種角度、哪種方向思考與分析.

解決問(wèn)題環(huán)節(jié)能夠檢驗(yàn)學(xué)生是否習(xí)得解決問(wèn)題的一般思路,遷移內(nèi)化得到多種解決方法.教師可以適當(dāng)引進(jìn)古人的解決方法,引導(dǎo)學(xué)生欣賞與品鑒,從古人的解決思路中獲得體悟與啟發(fā).

總結(jié)提煉階段是教學(xué)的升華點(diǎn)所在.培養(yǎng)科學(xué)精神的數(shù)學(xué)史教學(xué)蘊(yùn)涵著豐富的思想與精神,學(xué)生經(jīng)歷了與數(shù)學(xué)發(fā)展歷史、與數(shù)學(xué)家們親密接觸的過(guò)程,獲得不一般的數(shù)學(xué)體驗(yàn),教師需要為學(xué)生提供表達(dá)自我的平臺(tái)與機(jī)會(huì),深化學(xué)生的所思所感.

2.3 科學(xué)精神引領(lǐng)的活動(dòng)組織原則

培養(yǎng)科學(xué)精神的HPM教學(xué)具有極強(qiáng)的導(dǎo)向性,導(dǎo)向的核心便是科學(xué)精神.

首先,在活動(dòng)內(nèi)容中滲透精神內(nèi)核,以潛移默化的方式影響學(xué)生.蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)史中的逐漸完備、多種視角、尋求真理的精神內(nèi)核是科學(xué)精神的高度凝練,附著在史料素材之上,滲透于活動(dòng)內(nèi)容之中,能夠?qū)W(xué)生的思想與思維產(chǎn)生潛移默化的影響.

其次,在活動(dòng)過(guò)程中關(guān)注學(xué)生體驗(yàn),帶動(dòng)積極的情感交互.數(shù)學(xué)體驗(yàn)是學(xué)生素養(yǎng)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié),優(yōu)質(zhì)的情感體驗(yàn)離不開(kāi)開(kāi)放的數(shù)學(xué)課堂氛圍與真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境.在此學(xué)習(xí)環(huán)境中能喚起學(xué)生真實(shí)的情感活動(dòng),對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響.

再次,在活動(dòng)結(jié)果中注重精神凝練,深化學(xué)生的所思所感.科學(xué)精神的培養(yǎng)是最終目的,但科學(xué)精神并不會(huì)從數(shù)學(xué)中自覺(jué)地轉(zhuǎn)移到學(xué)生身上,需要教師有意識(shí)地培養(yǎng)與滲透,注重總結(jié)與提煉.

3 培養(yǎng)科學(xué)精神的數(shù)學(xué)史教學(xué)實(shí)例

筆者以二項(xiàng)式定理為例,說(shuō)明如何依據(jù)教學(xué)策略系統(tǒng)設(shè)計(jì)教學(xué),實(shí)現(xiàn)科學(xué)精神的滲透培養(yǎng).

3.1 史料分析

3.1.1 契合點(diǎn)分析

綜觀二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷史[7],數(shù)學(xué)證明方法史占據(jù)重要地位,但逐漸完備、尋求真理的精神內(nèi)核依舊在史料中有所體現(xiàn).

1)多重視角的二項(xiàng)式定理證明方法.

1654年,帕斯卡借助排列組合的有關(guān)知識(shí),得到了二項(xiàng)式系數(shù)的一般公式,最早建立了一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理:

(1)

1742年,英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林用求導(dǎo)法同樣證明了二項(xiàng)式定理指數(shù)為正整數(shù)的情況,甚至更進(jìn)一步證明了一般有理數(shù)情形.首先設(shè)

(a+x)n=A0+A1x+A2x2+…+Anxn,

(2)

這便是二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù),代入式(2)即得二項(xiàng)式定理.

2)逐漸完備的二項(xiàng)式定理概念.

從1654年帕斯卡建立一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理以來(lái),數(shù)學(xué)家們一直致力于將(a+b)n(其中n∈N*)的項(xiàng)數(shù)與冪推廣到一般情形.1695年,萊布尼茨與伯努利首次對(duì)二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)推廣,得到多項(xiàng)式定理(a1+…+am)n(其中m,n∈N*)的一般表達(dá)式.1665年英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題之初就考慮有理數(shù)次冪的二項(xiàng)展開(kāi)式.18—19世紀(jì),蒙特摩爾、卡斯蒂隆、歐拉以及柯西對(duì)冪的推廣展開(kāi)持續(xù)研究與證明,最終將二項(xiàng)式定理的冪推廣至一般的復(fù)數(shù)情形.這一過(guò)程也揭示了數(shù)學(xué)研究的發(fā)展趨勢(shì)便是盡可能一般化.

3)尋求真理的數(shù)學(xué)家精神.

二項(xiàng)式定理從雛形發(fā)展到成熟,離不開(kāi)眾多數(shù)學(xué)家的努力與奮斗.數(shù)學(xué)家們并不滿足于單一的證明,又從不同視角提出多樣的方法,他們精益求精的研究態(tài)度值得我們學(xué)習(xí).同時(shí)數(shù)學(xué)家們?cè)诙?xiàng)式定理的推廣的過(guò)程中不懈奮斗、刻苦鉆研,為心中的真理矢志不渝,是我們心中優(yōu)秀的榜樣.

3.1.2 史料選擇

二項(xiàng)式定理教學(xué)需要思考的重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理為何引入以及如何引入.前者與二項(xiàng)式定理的起源有關(guān),后者與二項(xiàng)式定理的證明有密切聯(lián)系.

二項(xiàng)式定理起源于開(kāi)高次方根的需要,《九章算術(shù)》中呈現(xiàn)了與生產(chǎn)、生活息息相關(guān)的開(kāi)高次方根需要的問(wèn)題,以此激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心:古人在沒(méi)有電子設(shè)備的情況下是如何實(shí)現(xiàn)開(kāi)高次方根的?

探究二項(xiàng)式定理的一種比較自然的想法是觀察分析幾個(gè)具體的二項(xiàng)展開(kāi)式,從中歸納一般二項(xiàng)展開(kāi)式的規(guī)律.有些規(guī)律是比較容易發(fā)現(xiàn)的,比如項(xiàng)數(shù)、冪指數(shù)等,但系數(shù)的一般形式難以從中歸納得到.在教學(xué)中,可以沿著“從特殊到一般”的設(shè)計(jì)思路,除了使(a+b)n的冪n特殊化,還可將括號(hào)內(nèi)元素特殊化,這便是卡斯蒂隆的證明方法.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)帕斯卡證明方法.馬克勞林的求導(dǎo)法可拓展使用.

二項(xiàng)式定理的推廣是繼續(xù)一般化的過(guò)程,依然處于從特殊到一般的教學(xué)脈絡(luò)之中,對(duì)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題具有啟發(fā)意義.

綜上,二項(xiàng)式定理教學(xué)選擇《九章算術(shù)》的問(wèn)題引入,以卡斯蒂隆的證明探究為主,引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)帕斯卡的證明方法,呈現(xiàn)馬克勞林的證明方法的拓展,并以二項(xiàng)式定理的推廣歷史豐富課堂.

3.1.3 形態(tài)轉(zhuǎn)換

根據(jù)分析結(jié)果,將數(shù)學(xué)史料問(wèn)題化,實(shí)現(xiàn)教育形態(tài)改造(見(jiàn)表2).

3.2 基于HPM的學(xué)習(xí)過(guò)程

3.2.1 提出問(wèn)題

問(wèn)題情境《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展史中最重要的著作之一,全書(shū)采用問(wèn)題集的形式,收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題.其中記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題“今有積六萬(wàn)三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,問(wèn):為立方幾何?”翻譯成我們熟悉的單位便是“如今已知體積為74立方米,問(wèn):變成正立方體,它的邊長(zhǎng)是多少?”

教師活動(dòng)借助PPT為學(xué)生簡(jiǎn)單介紹古人估算三次方根的操作.

設(shè)計(jì)意圖以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題引入,使學(xué)生真切地感受到估算三次方根在古代的需要,真實(shí)地產(chǎn)生古人是如何估算的疑問(wèn).進(jìn)而引出估算高次方根的方法,使學(xué)生充分感受古人的智慧與數(shù)學(xué)的魅力,同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)(a+b)n展開(kāi)式的必要性做好鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖二項(xiàng)式定理起源于開(kāi)高次方根的需要,此問(wèn)題與二項(xiàng)式定理的起源不謀而合,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的必要性.

3.2.2 分析問(wèn)題

師:如何明確(a+b)n展開(kāi)式的情況?從特殊到一般,我們應(yīng)如何入手研究?

設(shè)計(jì)意圖在點(diǎn)明本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題的同時(shí),為學(xué)生提供了一個(gè)廣闊的、多角度的探索空間,教師給予學(xué)生適時(shí)的引導(dǎo),為學(xué)生提供思考方向.

師:觀察當(dāng)n=1,2,3時(shí)的展開(kāi)式情況,是否存在規(guī)律?

設(shè)計(jì)意圖利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)、冪指數(shù)的規(guī)律,由此確定展開(kāi)式中除系數(shù)外的一般情況,得到(a+b)n=A0anb0+A1an-1b1+…+Ana0bn,其中第k+1項(xiàng)的一般形式為Akan-kbk(其中k=0,1,2,…,n),因而將問(wèn)題的研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到確定系數(shù)的一般形式上.

師:我們把次數(shù)一般化,得到一些展開(kāi)式的規(guī)律.現(xiàn)在如果再將元素特殊化,將(a+b)n轉(zhuǎn)化為(a+b1)(a+b2)…(a+bn),計(jì)算當(dāng)n=1,2,3時(shí)的情況,有何發(fā)現(xiàn)?

設(shè)計(jì)意圖貫徹從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法研究問(wèn)題,卡斯蒂隆的方法能夠使學(xué)生對(duì)展開(kāi)式每一項(xiàng)的形成更加明確,也為歸納系數(shù)的一般形式奠定基礎(chǔ).

3.2.3 解決問(wèn)題

師:觀察展開(kāi)式,我們發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的結(jié)果都是從每個(gè)括號(hào)內(nèi)挑選一個(gè)數(shù)組合而成,如當(dāng)n=3時(shí),a3是選定每個(gè)括號(hào)內(nèi)的a相乘得到,ab2b3是選定第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的a和第二、三個(gè)括號(hào)內(nèi)的bi相乘得到.當(dāng)n=4時(shí),由一個(gè)a與3個(gè)bi相乘得到的項(xiàng)共有幾個(gè)?

師:從特殊到一般,在(a+b1)(a+b2)…(a+bn)的展開(kāi)式中,由n-k個(gè)a與k個(gè)bi相乘得到的項(xiàng)一共有幾個(gè)?

師:若現(xiàn)在令所有bi=b,你發(fā)現(xiàn)了什么?

師:現(xiàn)在你能寫(xiě)出(a+b)n的展開(kāi)式情況了嗎?

教師活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二項(xiàng)式定理,向?qū)W生介紹證明方法的發(fā)現(xiàn)者卡斯蒂隆.

設(shè)計(jì)意圖在采用卡斯蒂隆的方法得到二項(xiàng)式定理的過(guò)程中,始終貫徹從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生對(duì)“從特殊到一般”形成更深刻的理解與認(rèn)識(shí),從而提高今后學(xué)習(xí)中遷移運(yùn)用的可能性.

師:還有其他方法可以證明二項(xiàng)式定理嗎?

生4:可以直接對(duì)(a+b)n每個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)進(jìn)行排列組合.

設(shè)計(jì)意圖卡斯蒂隆與帕斯卡的方法一脈相承,都與排列組合有關(guān).因此,以卡斯蒂隆的方法為始,能夠?yàn)閷W(xué)生搭建聯(lián)想的橋梁,得到直接利用排列組合方法得到二項(xiàng)式定理的靈感.

師:英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林與以上兩位不同,是利用我們前面學(xué)習(xí)過(guò)的導(dǎo)數(shù)探尋系數(shù)的一般形式.

教師活動(dòng)PPT展示并講解馬克勞林的方法.

設(shè)計(jì)意圖引進(jìn)歷史上數(shù)學(xué)家證明的其他視角,供學(xué)生選擇與比較,啟發(fā)學(xué)生不能用狹隘的眼光思考問(wèn)題,而應(yīng)將問(wèn)題放到完整的知識(shí)體系當(dāng)中進(jìn)行思考.

3.2.4 總結(jié)提煉

師:現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理的3種證明方法,請(qǐng)大家回過(guò)頭來(lái)細(xì)細(xì)品味這3種方法,有何想法?是否存在不足之處?

設(shè)計(jì)意圖在品味過(guò)程中,有學(xué)生會(huì)認(rèn)為卡斯蒂隆的方法清晰地標(biāo)注了多項(xiàng)式來(lái)源,容易歸納系數(shù)的一般形式,較為基礎(chǔ);也有學(xué)生認(rèn)為馬克勞林的求導(dǎo)法更具普適價(jià)值,在不是正整數(shù)時(shí)也能夠進(jìn)行求導(dǎo).在吸收數(shù)學(xué)家們證明方法中價(jià)值點(diǎn)的同時(shí),學(xué)生也能夠正視這些以往被認(rèn)為是“權(quán)威”的方法,鍛煉自身辯證思考能力的同時(shí)也逐漸養(yǎng)成批判質(zhì)疑的習(xí)慣.

師:今天的課程中有一個(gè)高頻詞“從特殊到一般”反復(fù)出現(xiàn),大家認(rèn)為我們得到的二項(xiàng)式定理足夠一般化了嗎?

師生活動(dòng)學(xué)生積極討論,教師為學(xué)生介紹二項(xiàng)式定理的項(xiàng)與冪指數(shù)逐步推廣的歷史以及其中數(shù)學(xué)家們不懈奮斗的過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖將二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)浸潤(rùn)在數(shù)學(xué)史當(dāng)中,增添了數(shù)學(xué)的人文氣息,提升了學(xué)生的真實(shí)體驗(yàn)感.學(xué)生也能從數(shù)學(xué)家們?yōu)槎?xiàng)式定理的推廣不懈奮斗的故事中收獲勇于探究的動(dòng)力,在逐漸完備的歷史發(fā)展中感悟數(shù)學(xué)的一般性與嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)理性思維.

師:經(jīng)過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),大家有什么收獲?

師生活動(dòng)共同討論.

科學(xué)精神是學(xué)生面臨多變的時(shí)代環(huán)境所必須具備的基本素養(yǎng),如何培養(yǎng)科學(xué)精神也應(yīng)當(dāng)有明確的指向.科學(xué)精神的培養(yǎng)重在滲透,而數(shù)學(xué)史是滲透科學(xué)精神的重要載體,能夠?qū)⒖茖W(xué)精神落實(shí)到實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)史料上,更好地達(dá)到培養(yǎng)效果.本文提出培養(yǎng)科學(xué)精神的重要數(shù)學(xué)史形態(tài)與教學(xué)策略系統(tǒng),為一線教師的實(shí)踐提供了參考.但必須明確的是,科學(xué)精神的培養(yǎng)絕不是一朝一夕就能完成的,需要教師有意識(shí)地、不間斷地滲透到教學(xué)當(dāng)中,才能真正實(shí)現(xiàn)教育目的.