2023年全國新高考Ⅱ卷第21題的溯源與多角度探究

焦永垚

(蘭州市第六中學(xué),甘肅 蘭州 730060)

1 試題呈現(xiàn)

1)求C的方程.

2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于點(diǎn)M,N,且點(diǎn)M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)P在定直線上．

(2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

2 試題溯源

試題以雙曲線為背景,考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．筆者發(fā)現(xiàn),例1與以下幾道題同根同源:

1)求E的方程.

2)證明:直線CD過定點(diǎn)．

(2020年全國數(shù)學(xué)高考Ⅱ卷理科第20題)

不難發(fā)現(xiàn),例1與例2高度相似,不同點(diǎn)在于:1)兩道題分別以雙曲線和橢圓為背景;2)兩道題第2)小題的條件和結(jié)論互換,即例1為例2的逆向考查．

例3已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(其中m∈R)．

1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍.

2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(其中點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的點(diǎn)M,N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G．求證:點(diǎn)A,G,N共線．

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

筆者發(fā)現(xiàn),例1又是例3的另一種逆向考查.若將例1第2)小題改為“記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于點(diǎn)M,N,直線x=-1與直線MA1交于點(diǎn)P．求證:點(diǎn)A2,P,N共線”,則兩道試題的考查方式就完全一致了,同類考查方式還可在教材中找到原型:

例4設(shè)拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,求證:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

(新蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(選擇性必修第一冊)第115頁第11題)

此題中由于拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),故可把拋物線的另一個(gè)頂點(diǎn)看成“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”,這就是題目中的條件“BC∥x軸”的含義．

1)求橢圓C的方程.

(2020年福建省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽第12題)

不難發(fā)現(xiàn),例1與例5除了背景不同外,第2)小題的考查方法幾乎完全一致.可以證明,例5中的點(diǎn)T在一條定直線(即橢圓C的右準(zhǔn)線)上．

對于此類問題的解法,筆者在文獻(xiàn)[1]中進(jìn)行了詳細(xì)闡述,因此例1的解法本文不再贅述,下面對例1進(jìn)行一般化探究．

3 試題探究

3.1 縱向探究

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),若將試題中的雙曲線一般化,則點(diǎn)P仍在一條定直線上,于是有如下結(jié)論:

證明設(shè)直線MN的方程為x=ty+m,與雙曲線C的方程聯(lián)立,消去x,得

(b2t2-a2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0,

其中b2t2-a2≠0,且由Δ>0可得

b2t2-a2+m2>0．

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

評注在結(jié)論1中若取m=-4,a=2,則可得例1中的點(diǎn)P在定直線x=-1上．

由極點(diǎn)與極線的理論可知,結(jié)論1中的點(diǎn)P所在直線恰好為點(diǎn)T(m,0)所對應(yīng)的極線,此結(jié)論是巧合還是對一般的極點(diǎn)極線也成立呢?我們首先來看圓錐曲線極點(diǎn)與極線的定義:

定義1(幾何定義)設(shè)P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于4個(gè)點(diǎn)E,F,G,H,聯(lián)結(jié)EH,FG交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)EG,FH交于點(diǎn)M,則直線MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線．若P為圓錐曲線上的點(diǎn),則過點(diǎn)P的切線即為極線．

定義2(代數(shù)定義)已知圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是圓錐曲線Γ的一對極點(diǎn)和極線．

由極點(diǎn)與極線的幾何定義可快捷地得到結(jié)論1中點(diǎn)P所在的定直線:直線A1A2與MN交于點(diǎn)T(m,0),則由極點(diǎn)與極線的幾何定義可知點(diǎn)P必在點(diǎn)T(m,0)所對應(yīng)的極線上,再由極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義可知點(diǎn)T(m,0)所對應(yīng)的極線方程為

即

同樣地,由極點(diǎn)與極線的兩個(gè)定義,可以輕松得到如下結(jié)論:

3.2 橫向探究

我們還可將結(jié)論1和結(jié)論2類比推廣到橢圓和拋物線中:

若把拋物線的另一個(gè)頂點(diǎn)看成“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”,則有如下結(jié)論5:

結(jié)論5已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點(diǎn)T(m,0)(其中m≠0)為x軸上任意一點(diǎn),過點(diǎn)T的直線與拋物線C交于點(diǎn)M,N.若過點(diǎn)M且與x軸平行的直線與直線NO交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在定直線x=-m上．

結(jié)論6已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),過點(diǎn)T(m,n)(點(diǎn)T不在C上)的直線與拋物線C交于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)T的另一直線與C交于點(diǎn)A,B.若MA與NB交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在定直線ny=p(x+m)上．

3.3 逆向探究

受例2～4的啟發(fā),我們還可對上述結(jié)論進(jìn)行逆向推廣:

分析如圖1,由極點(diǎn)與極線的幾何定義可知直線MN與直線AB的交點(diǎn)在點(diǎn)P的極線上,只需證明點(diǎn)P的極線過點(diǎn)T(m,n).

圖1

設(shè)P(x0,y0),則點(diǎn)P的極線方程為

故點(diǎn)T(m,n)的坐標(biāo)滿足直線

即點(diǎn)P的極線過點(diǎn)T(m,n)．而點(diǎn)P在直線l上,從而點(diǎn)P的極線必共點(diǎn),且該點(diǎn)為直線l的極點(diǎn),此點(diǎn)即為直線MN恒過的定點(diǎn),故直線MN恒過點(diǎn)T(m,n)．

分析由極點(diǎn)與極線的幾何定義可知直線MA與直線BN的交點(diǎn)在點(diǎn)T的極線l上,從而直線MA、直線BN及直線l共點(diǎn),故點(diǎn)B,P,N共線．

結(jié)論11已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點(diǎn)P為點(diǎn)T(m,n)(點(diǎn)T不在C上)的極線l:ny=p(x+m)上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)T的直線與C交于點(diǎn)A,B,直線PA,PB與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,則直線MN恒過點(diǎn)T(m,n)．

結(jié)論12已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點(diǎn)T(m,n)(點(diǎn)T不在C上)關(guān)于拋物線C的極線為l:ny=p(x+m),過點(diǎn)T的直線與C交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)T的另一直線與C交于點(diǎn)M,N,直線MA交l于點(diǎn)P,則點(diǎn)B,P,N共線．

以上結(jié)論的證明過程略．

4 感悟反思

從歷年的高考試題可以看出,很多高考圓錐曲線試題的命制都以極點(diǎn)、極線理論為指導(dǎo)．雖然極點(diǎn)與極線的知識(shí)不屬于高考考查的內(nèi)容,但是了解極點(diǎn)與極線的相關(guān)知識(shí),能夠幫助學(xué)生快速明確解題方向,能夠培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力．在例1中,如果學(xué)生了解極點(diǎn)與極線的相關(guān)知識(shí),那么就很容易預(yù)見點(diǎn)P所在的定直線就是點(diǎn)(-4,0)所對應(yīng)的極線,即直線x=-1,這為學(xué)生指明了解題的方向．另外,許多高考試題都可以從教材例題、習(xí)題以及往年的高考題中找到原型,因此在備考復(fù)習(xí)中,我們要做好以下幾點(diǎn):1)回歸教材,立足于教材,對教材上的典型例題或習(xí)題加以概括、提高和延伸,以達(dá)到觸類旁通的效果;2)重視往年高考題的導(dǎo)向作用,在臨考前要讓學(xué)生做一些歷年高考中的經(jīng)典試題,對這些試題的解法、命題背景、一般規(guī)律等進(jìn)行總結(jié)歸納(如果學(xué)生考前對例2的解法、命題背景、一般規(guī)律等做過總結(jié)和歸納,那么在面對例1時(shí)相信不會(huì)有困難);3)在解題教學(xué)中,要用深度教學(xué)促進(jìn)深度學(xué)習(xí),力求達(dá)到“解一題,懂一法,會(huì)一類,通一片”的目標(biāo),要教會(huì)學(xué)生高位審視問題,深刻識(shí)別隱藏在題目背后的本質(zhì),這樣才能在考試中“臨危不亂”,才能做到“會(huì)當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”．