探析高考真題 明晰備考方向
——對2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷試題的評析與備考建議

劉海濤

(蕪湖市第一中學,安徽 蕪湖 241000)

2023年教育考試中心共命制了6套數(shù)學試卷(全國甲、乙卷的文、理試卷和新高考Ⅰ,Ⅱ卷),其中安徽、山西、遼寧、吉林、黑龍江、海南、重慶、云南等8省(市)使用了新高考Ⅱ卷.

高考結(jié)束,筆者與學生交流,均反映試卷總體平穩(wěn),比預(yù)期難度略低,考完也信心滿滿.《中國高考評價體系》指出,通過設(shè)置真實的問題情境,考查學生靈活運用所學知識分析、解決問題的能力,允許學生從多角度作答,使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低,引導學生的關(guān)注點從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”的轉(zhuǎn)變.

2023年的新高考Ⅱ卷注重能力和素養(yǎng)考查的同時,深化了對德育的考查.與2022年Ⅱ卷相比,難度相當,但結(jié)構(gòu)上更加新穎,更加注重對學生“四基”“四能”的考查,整卷兼具基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,試題類型分類如表1所示.下面筆者以新高考Ⅱ卷中的部分試題為例,深度探析高考真題,剖析新高考Ⅱ卷的命題特色,總結(jié)規(guī)律,明晰高考備考方向,給出備考建議.

表1 新高考Ⅱ卷試題類型分類

1 特色試題賞析

1.1 立足基礎(chǔ),考查通性通法

《中國高考評價體系》指出,高考圍繞學科主干內(nèi)容,加強對基本概念、基本思想的考查,杜絕偏難怪題和繁難試題,引導教學重視教材,夯實學生的學習基礎(chǔ),給學生提供深度學習和思考的空間.試卷注重基礎(chǔ)知識和基本方法的考查,試題的命制圍繞高中數(shù)學的基礎(chǔ)知識與基本概念展開,如第1,2,4,6,7,8,10,12,13,17,18等題,均為來源于教材例題、習題的改編,只要學生基礎(chǔ)扎實,考場上做這些題定能得心應(yīng)手.

( 2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷第13題)

解法1因為|a+b|=|2a-b|,

即

(a+b)2=(2a-b)2,

則

a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,

整理得

a2-2a·b=0.

(a-b)2=3,

則

a2-2a·b+b2=b2=3,

故

解法2設(shè)c=a-b,則

由題意可得 (c+2b)2=(2c+b)2,

則

c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b2+b2,

整理得

c2=b2,

即

1.2 注重綜合,考查知識的融會貫通

《中國高考評價體系》指出,素質(zhì)教育是內(nèi)涵豐富的全面發(fā)展教育.高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通,既包括同一層面、橫向的交匯融合,也包括不同層面之間、縱向的融會貫通.第9題以多選題的形式考查圓錐的內(nèi)容,4個選項設(shè)問逐次遞進,前面的選項為后面的選項提供條件,各選項分別考查圓錐的不同性質(zhì),互相聯(lián)系,重點突出,要求學生能夠?qū)⒘Ⅲw幾何的知識交匯融合.第22題將導數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來,通過對導函數(shù)的分析,考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)知識,需要學生能將導數(shù)、函數(shù)不等式等知識融會貫通.

例2已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則

( )

( 2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷第9題)

圖2

故選項D錯誤.

綜上可知,此題選A和C.

評注該題考查了圓錐的體積、側(cè)面積,二面角的平面角,三角形的面積等知識,是一道立體幾何綜合試題.該題屬于中等難度試題,解答的關(guān)鍵在于牢固掌握立體幾何的基礎(chǔ)知識、概念和基本方法,解題時綜合應(yīng)用即可.

1.3 關(guān)注應(yīng)用,考查素養(yǎng)與能力

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出,在學習數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的過程中,學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng).數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,與實際生活結(jié)合的數(shù)學試題一直是高考的一個熱點.第12題以信號傳輸為情境考查二項分布及其應(yīng)用,試題設(shè)計了兩種傳輸方式:單次傳輸和3次傳輸,依次研究各種傳輸方式得到正確信號的概率,考查了學生對新概念、新知識的理解和探究能力.第19題要求合理平衡漏診率和誤診率,制定檢測標準,試題情境既有現(xiàn)實意義,也能很好地體現(xiàn)數(shù)學學科的應(yīng)用價值.隨著“雙減”政策的落地實施,教學中教師應(yīng)注重情境化教學.

例3在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時,收到1的概率為α(其中0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(其中0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和3次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,3次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;3次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)

( )

A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2

B.采用3次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2

C.采用3次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)2

D.當0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用3次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

( 2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷第12題)

分析對于選項A,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積,它們相互獨立,從而所求概率為

(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2.

故選項A正確.

對于選項B,3次傳輸,若發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積.它們相互獨立,因此所求概率為

(1-β)β(1-β)=β(1-β)2.

故選項B正確;

對于選項C,3次傳輸,若發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1和1,1,1的事件和,它們互斥.由選項B知所求的概率為

故選項C錯誤.

對于選項D,由選項C知3次傳輸,若發(fā)送0,則譯碼為0的概率為P=(1-α)2(1+2α),單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P′=1-α.而0<α<0.5,因此

P-P′=(1-α)2(1+2α)-(1-α)

=α(1-α)(1-2α)>0,

即P>P′.故選項D正確.

綜上可知,此題選A,B,D.

評注該題考查了學生的數(shù)學閱讀能力,將現(xiàn)實情境抽象為數(shù)學問題,借助所學統(tǒng)計與概率學知識,根據(jù)題設(shè)條件介紹的兩種傳輸方式:單次傳輸與3次傳輸,依次研究各種傳輸方式得到正確信號的概率,有效考查了學生應(yīng)用所學分析、解決問題的能力.

1.4 強調(diào)創(chuàng)新,考查思維的靈活性

《中國高考評價體系》指出,素質(zhì)教育中的智育和以往教育理念中的智育,最大的不同在于其對創(chuàng)新性的強調(diào).通過命題創(chuàng)新,創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問方式,考查學生思維的靈活性與創(chuàng)造性.第11題雖考查極值點問題,卻不是求極值點或極值,而是將問題設(shè)置為函數(shù)有極值,逆向研究函數(shù)系數(shù)的關(guān)系,從而有效地考查學生思維的靈活性與創(chuàng)新性.第15題是一道開放性試題,有多個答案,充分考查了學生的創(chuàng)新思維能力.

( )

A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0

( 2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷第11題)

則

b2+8ac>0,ab>0,ac<0.

顯然a2bc<0,即bc<0,從而選項A錯誤,選項B,C,D正確.故此題選B,C,D.

評注解答該題的關(guān)鍵在于對極值點概念的理解,將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)f′(x)在定義域(0,+∞)上有兩個變號零點,進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等正根問題,利用根與系數(shù)關(guān)系及判別式符號解題.此題有效考查了學生的思維靈活性與創(chuàng)新性,需要學生不斷地轉(zhuǎn)化題意,直至問題“水落石出”“柳暗花明”.

2 高考備考建議

2.1 重視“四基”,發(fā)展數(shù)學關(guān)鍵能力

在高考備考中,師生應(yīng)重視鞏固基礎(chǔ)知識、落實基本技能、感悟基本思想方法、積累基本活動經(jīng)驗[1],如將教材中的基本概念、基礎(chǔ)知識等按照函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等模塊進行梳理,形成知識網(wǎng)絡(luò)體系;按照解題思想,根據(jù)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、整體思想、分類討論等將高考?？碱}型進行分類,總結(jié)常規(guī)題型的“通性通法”,注重教材知識的生成過程,善于運用“本原”法解題.這樣,我們才能切實有效地提高復(fù)習效率,發(fā)展數(shù)學關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

2.2 重視解題,更要重視解決問題

《中國高考評價體系》指出,高考要從“解題”向“解決問題”,從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變,這就要求我們在高考備考中,要關(guān)注時事,關(guān)心政治,注重數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng),能夠從真實的問題情境中抽象出數(shù)學模型,靈活運用所學數(shù)學知識分析、解決問題,避免“死記硬背”“生搬硬套”“機械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”,成為國家需要的、在能力和素養(yǎng)方面有較好發(fā)展的學生.

2.3 重視真題,關(guān)注高考試題變化

高考試題凝聚著命題者的心血與智慧,是經(jīng)過命題者反復(fù)考量與打磨才成型的,對高考的備考具有導向性與啟示性[2].在復(fù)習備考中,師生要重視對高考真題的收集、整理、歸類、溯源、拓展、推廣等,明確其考查的內(nèi)容、方向、要求,感受高考題的變化趨勢與基本態(tài)勢.關(guān)注教育與考試部門發(fā)表的有關(guān)考試的最新信息,掌握最新的考試動態(tài),研讀官方文件與指導性材料,以便科學、高效地備考.