基于理性精神的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究
——以“利用空間向量求夾角”為例

華子謙 (江蘇省太倉高級中學(xué) 215411)

1 問題的提出

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,尤其是在講授公式、定理的規(guī)律課中,教師往往注重學(xué)生對公式的應(yīng)用,為此自己板書定理的推導(dǎo)過程,再訓(xùn)練學(xué)生熟練解題,而常常忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育．理性精神能夠給學(xué)生探尋真知的動(dòng)力、認(rèn)識(shí)世界的信念,培養(yǎng)他們求真務(wù)實(shí)的態(tài)度[1]．

因此,高中數(shù)學(xué)的課堂需要改變教師在課堂中一講到底的局面,充分讓學(xué)生去探究,領(lǐng)悟新知識(shí)并內(nèi)化于心．每節(jié)課至少要選取一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)板塊,在精心預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上,交給學(xué)生自主學(xué)習(xí),通過合作探究、交流展示、大膽質(zhì)疑等方式生成新的知識(shí),追尋事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系．

2 理性精神視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)思考

對于學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育,本文結(jié)合“利用空間向量研究夾角問題”課例,從以下三個(gè)方面進(jìn)行思考與設(shè)計(jì)．

2.1 選點(diǎn)預(yù)設(shè),追尋理性精神的晨曦

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內(nèi)容及其教育價(jià)值是什么?在歷年的全國卷中,空間角的求法與計(jì)算是?？純?nèi)容,空間向量的作用是通過建立空間直角坐標(biāo)系來研究立體幾何問題,它是一種有效的工具．事實(shí)上,運(yùn)用綜合幾何方法完全可以解決相關(guān)問題,并且有些問題也不能借助空間向量來求解,如2020年全國二卷理科數(shù)學(xué)解答題第20題,所以教學(xué)目標(biāo)不能僅僅體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)上,還要體現(xiàn)在思維發(fā)展和科學(xué)探究精神與方法的培養(yǎng)上,教師應(yīng)把怎樣研究問題放在核心地位．從教學(xué)過程中我們可以看出,重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)知識(shí)的方法,這才是本節(jié)課真正的教學(xué)意義．

基于以上認(rèn)識(shí),在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中,只將探究線線角作為示例,板演異面直線之間的夾角,梳理探究過程中需要注意的點(diǎn),如角的位置及范圍、直線的夾角與向量夾角之間的關(guān)系、結(jié)論的統(tǒng)一,讓學(xué)生在課堂中感受并領(lǐng)悟其探究的過程,使線面角及面面角的探索有理可依、有據(jù)可循,并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試完成線面角及面面角的探索．

2.2 溫故知新,追逐理性精神的曙光

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內(nèi)容與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么?我們知道,空間向量的運(yùn)用是在“平面向量及其應(yīng)用”和“立體幾何初步”的基礎(chǔ)之上進(jìn)行教學(xué)的,向量的坐標(biāo)化使解決平面幾何的距離(長度)和角度問題更為有效．類比平面向量解決平面幾何度量角的問題的方法,使用空間向量可以更方便地研究立體幾何長度和角度等度量問題.基于這樣的認(rèn)識(shí),空間向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)就清晰了,向量方法的發(fā)現(xiàn)根源就明了了．

因此,本節(jié)課先復(fù)習(xí)引入,深化知識(shí),幫助學(xué)生找到源頭,讓學(xué)生感受到既然利用平面向量數(shù)量積找到向量夾角就可以解決平面幾何度量角度的問題,那么立體幾何有關(guān)度量角度的問題也可以利用空間向量進(jìn)行解決,這正是弗賴登塔爾所指出的“數(shù)學(xué)化”再認(rèn)識(shí)．

2.3 類比探究,沐浴理性精神的春光

幫助學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量的教學(xué)策略可采取四步走的方法:一是啟發(fā),通過復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)可以利用向量來研究平行與垂直關(guān)系,由此提出問題;二是示范,以空間向量求線線角問題為例,展示問題探究的方法與過程;三是運(yùn)用,讓學(xué)生自己解決問題;四是升華,進(jìn)行課后思考,用這個(gè)方法能發(fā)現(xiàn)更多的問題嗎?現(xiàn)實(shí)生活中有空間向量的應(yīng)用嗎?

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 復(fù)習(xí)回顧向量有關(guān)知識(shí)(預(yù)備知識(shí))

師:在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前我們一起來回顧一下我們已經(jīng)學(xué)過的向量夾角有關(guān)的公式．

生:學(xué)過的有關(guān)向量夾角的公式包括兩向量數(shù)量積的定義、兩向量夾角公式和夾角公式的坐標(biāo)表示．

3.2 新課講授

師:接下來我們提出一個(gè)設(shè)想,能否利用方向向量與法向量來研究空間向量的夾角問題呢?我們來做一番探究．

設(shè)計(jì)意圖用思維導(dǎo)圖方式,加深學(xué)生對知識(shí)的理解,為接下來利用方向向量與法向量來研究空間向量夾角問題做鋪墊．

·小試牛刀:線線角

定義:過空間任意一點(diǎn)O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′,那么直線a′與b′所成的銳角或直角,叫作異面直線a與b所成的角(圖1)．

圖1

問題1當(dāng)a與b的夾角不大于90°時(shí)(圖2),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關(guān)系是什么?

圖2

生:θ=〈a,b〉時(shí),得cos〈a,b〉=cosθ．

師:當(dāng)兩個(gè)向量的夾角不是銳角的時(shí)候,我們又能得到什么結(jié)論呢?

問題2a與b的夾角大于90°時(shí)(圖3),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關(guān)系又是什么?

圖3

生:θ與〈a,b〉互補(bǔ)時(shí),即θ=π-〈a,b〉,得 cosθ=cos(π-〈a,b〉)=-cos〈a,b〉．

師:那這里有正有負(fù),我們能否將結(jié)果統(tǒng)一起來?

設(shè)計(jì)意圖通過教師展示線線角推導(dǎo)過程,讓學(xué)生感受理性之美,提高其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ谔骄窟^程中,教師要首先強(qiáng)調(diào)直線所成角θ的范圍;其次直線上方向向量的選擇會(huì)影響向量夾角〈a,b〉與直線夾角θ之間的關(guān)系;最后根據(jù)直線夾角的范圍確定cosθ與cos〈a,b〉的聯(lián)系．

師:請同學(xué)們根據(jù)剛剛線線角的推導(dǎo)過程,完成線面角與面面角的推導(dǎo)．

·趁熱打鐵:線面角、面面角

圖4 圖5

師:那么法向量一定朝上嗎?如果法向量反向,那這個(gè)時(shí)候又會(huì)對結(jié)論有什么影響呢?

師:那么我們能總結(jié)一下線面角與線線角之間的異同點(diǎn)嗎?

生:線線角與線面角的推理過程類似,都是作出法向量與方向向量,尋找法向量與方向向量之間的夾角,都有兩種情況,并且線線角與線面角最后都要加上絕對值．不同的地方在于線線角是用余弦來表示,而線面角是用正弦來表示．

生眾(總結(jié)):據(jù)圖分析可得

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生展示線面角推導(dǎo)過程,在數(shù)學(xué)實(shí)踐中探索,進(jìn)一步提高他們的直觀想象與邏輯推理能力,接受理性精神的熏陶,加強(qiáng)理性精神的培養(yǎng)．在探究過程中,教師要首先預(yù)設(shè)出學(xué)生可能存在的問題:(1)直線與平面所成角的范圍不清晰;(2)受線線角cosθ影響形成思維慣性導(dǎo)致sinθ不敢用;(3)結(jié)論無絕對值．

知識(shí)點(diǎn)3 二面角(范圍θ∈[0,π])

師:那我們繼續(xù)沿用課堂開始所提到的想法及類比思想來研究如何用空間向量求二面角．

生:首先將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量,由圖6得θ與〈n1,n2〉相等,由此得θ=〈n1,n2〉,故cos〈n1,n2〉=cosθ．

圖6 圖7

師:還有沒有其他情況?你能繼續(xù)完成推導(dǎo)嗎?

師:那這個(gè)時(shí)候面面角還能像線線角和線面角一樣加上絕對值嗎?

生:不可以,因?yàn)楝F(xiàn)在夾角范圍變成了0°到180°,余弦值有正有負(fù),所以不可以加絕對值．

師:那我們一起來觀察一下圖象特點(diǎn),如何判斷什么時(shí)候取正數(shù)呢?

師生(共同歸納):當(dāng)法向量的方向一進(jìn)一出時(shí),二面角等于法向量夾角;同進(jìn)同出時(shí),二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生完成面面角的推導(dǎo),教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較線線角、線面角、面面角之間的異同點(diǎn),不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律,嘗試總結(jié)規(guī)律．這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力,同時(shí)滋養(yǎng)了其求真務(wù)實(shí)、追求真理的理性精神．

4 教學(xué)反思

4.1 豐富教學(xué)手段,培育學(xué)生理性精神

立體幾何需要學(xué)生具備空間想象能力,因此在課堂中有必要引入像幾何畫板等數(shù)學(xué)教學(xué)工具,使學(xué)生在該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中有更形象化、全面化的理解,以便提升他們的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率．使其在形成新的學(xué)習(xí)方式中慢慢養(yǎng)成學(xué)習(xí)習(xí)慣,培育創(chuàng)新為主的探索精神．

4.2 鼓勵(lì)質(zhì)疑,提升理性批判精神

在課堂教學(xué)中,教師要給學(xué)生提供機(jī)會(huì)來展示自己,鼓勵(lì)他們提出自己的困惑,營造寬松的教學(xué)氛圍,豐富他們的學(xué)習(xí)方式,這樣一方面能夠幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣并更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí),另一方面能夠讓學(xué)生形成批判性的理性精神．

4.3 重視思維過程,用類比推導(dǎo)使學(xué)生形成理性精神

數(shù)學(xué)公式都是由數(shù)學(xué)家以直覺為基礎(chǔ),并在此基礎(chǔ)之上大膽猜想并推理證明而來,因此教師在教學(xué)過程中可以先提出解題的中心思想,讓學(xué)生親身感受推理的過程,領(lǐng)會(huì)課堂中所需要的數(shù)學(xué)思想方法并“再創(chuàng)造”．在本節(jié)課中,教師只展示線線角的過程,讓學(xué)生觀察解題過程,類比推導(dǎo)線面角及面面角的公式,讓他們有充分的空間進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,從中發(fā)現(xiàn)問題,如夾角范圍問題、夾角何時(shí)用正弦何時(shí)用余弦、為什么要引入絕對值,等等,在獨(dú)立思考的過程中對問題進(jìn)行猜測和大膽的假設(shè),最后檢驗(yàn)所得的結(jié)果,以形成基本的數(shù)學(xué)認(rèn)知,樹立嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度,形成理性精神,為日后的數(shù)學(xué)探究奠定良好的基礎(chǔ)．

學(xué)生的理性精神需要在這樣一個(gè)追求真理的氛圍中慢慢滲透．通過不唯書、不唯師、只唯實(shí)的大膽探究,去感知、領(lǐng)悟新知,養(yǎng)成獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及理性精神．