從“零向量的方向”談對數(shù)學(xué)規(guī)定的認(rèn)識

周 寧 (福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) 350319)

1 問題的提出

日前,在觀摩一節(jié)“平面向量的概念”的授課時筆者注意到,授課教師在引出零向量的概念后提出問題“零向量的方向是怎樣的”,學(xué)生的回答有“不確定”“任意的”,教師的解釋是“零向量的幾何表示是一個點(diǎn),那么任意方向都可以作為零向量的方向”,并補(bǔ)充“這是規(guī)定”.而筆者注意到2019年人教A版選擇性必修一教材中并沒有提出這個規(guī)定,教師的補(bǔ)充合適嗎?筆者查閱2019年其他版本的教材后發(fā)現(xiàn),其中關(guān)于零向量方向及與任意向量的平行、垂直的規(guī)定與否是有所不同的(表1),規(guī)定與否會不會對學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生影響呢?

表1 各版本教材關(guān)于零向量的規(guī)定情況

2010年福建高考文科數(shù)學(xué)第18題曾經(jīng)就引起討論(當(dāng)年福建大多數(shù)地區(qū)使用2007年人教A版教材,教材中既無規(guī)定零向量的方向是任意的,也無規(guī)定零向量與任意向量垂直):文[1]就以2007年人教版必修4教材關(guān)于零向量的若干敘述為依據(jù)認(rèn)為“零向量與非零向量不能垂直”,文[2]以“零向量的方向是任意的”為依據(jù)及從概念的內(nèi)涵及外延的角度認(rèn)為“零向量與任意向量垂直”是毋庸置疑的.筆者贊成文[2]的觀點(diǎn),但認(rèn)為問題引起爭議的根源在于如何理解數(shù)學(xué)中的規(guī)定.那么“零向量的方向是任意的”“零向量與任意向量垂直”有無規(guī)定的必要?現(xiàn)分享筆者的思考,請各位同仁批評指正.

2 對數(shù)學(xué)規(guī)定的認(rèn)識

為了認(rèn)識數(shù)學(xué)中的規(guī)定,下面以2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材(以下簡稱教材)中的規(guī)定為例進(jìn)行說明,見表2.

表2 2019年人教版教材相關(guān)規(guī)定

從表2中我們可以看出,教材中的規(guī)定有兩類:一是為了研究的方便與統(tǒng)一以及對數(shù)學(xué)單位的規(guī)定,如第2,3,12,13條,這種類型的規(guī)定是“人為規(guī)定”;二是對數(shù)學(xué)中零元及其關(guān)系、運(yùn)算的規(guī)定,如第1,4,5,6,8,14條,這種類型的規(guī)定雖然是“我們規(guī)定”,但實(shí)際上是“數(shù)學(xué)規(guī)定”.零向量的有關(guān)規(guī)定顯然是數(shù)學(xué)規(guī)定.

(1)數(shù)學(xué)規(guī)定的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)規(guī)定不是定義.定義是揭示數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的邏輯方法,而規(guī)定是對概念外延的特殊情形的釋義,是對定義的補(bǔ)充.從這個意義上看,表2中第7,9,10,11條應(yīng)是定義,而不是規(guī)定.筆者認(rèn)為教材編者將規(guī)定與定義不加區(qū)分,有所不妥.

(2)數(shù)學(xué)規(guī)定的特性

二是科學(xué)性.數(shù)學(xué)規(guī)定的內(nèi)容必須與數(shù)學(xué)體系中原有的定義、定理和公理相容,必須符合數(shù)學(xué)的邏輯和運(yùn)算體系,能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)體系的兼容與融洽.例如,我們規(guī)定“空集是任意集合的子集”,為什么不規(guī)定“空集不是任意集合的子集”?這是因?yàn)榭占c任意集合的關(guān)系必然要滿足集合的關(guān)系與運(yùn)算.由交集的定義可以得到性質(zhì)“A∩B?A”,顯然當(dāng)A∩B=?時,會得到“空集是任意集合的子集”.因此這里的“我們規(guī)定”實(shí)際上是“數(shù)學(xué)規(guī)定”,是由于數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)的和諧性、完整性以及運(yùn)算法則封閉性的需要,必然要這樣規(guī)定.

3 對問題的解惑

基于以上對數(shù)學(xué)規(guī)定的認(rèn)識,筆者認(rèn)為,對于“零向量的方向是任意的”“零向量與任意向量垂直”的規(guī)定并無必要.因?yàn)椤傲阆蛄颗c任意向量平行”就已經(jīng)蘊(yùn)含上述兩個規(guī)定:能夠作出任意非零向量就說明零向量的方向是任意的;對于非零向量a,也可以作出非零向量b,使得b⊥a,而0∥b,故0⊥a,也就是零向量與任意向量垂直.有人從規(guī)定“零向量與任一向量的數(shù)量積為0”來說明零向量與任意向量垂直.這種說理不合適,因?yàn)榻滩闹行再|(zhì)“a·b=0?a⊥b”中a,b都是非零向量.

有人對零向量與任意向量既平行又垂直難以接受.要明白,數(shù)學(xué)不是以人的意志來發(fā)展的,而是依靠它自身的邏輯體系.正如羅巴切夫斯基利用反常理的“過直線之外的一點(diǎn)至少有兩條直線和已知直線平行”建立了非歐幾何,只要符合數(shù)學(xué)規(guī)律,就是合理的.實(shí)際上,若將兩個非零向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義擴(kuò)大為任意兩個向量,那么從0·a=|0|·|a|·cos〈0,a〉=0我們也可以發(fā)現(xiàn)0與a的夾角可以是任意的.

4 結(jié)語

“零向量是否與任意向量垂直”的爭議暴露出部分教師忽視對教材中規(guī)定的教學(xué),沒有厘清“我們規(guī)定”實(shí)則有“人為規(guī)定”與“數(shù)學(xué)規(guī)定”之分,沒有解釋“數(shù)學(xué)規(guī)定”的本源,導(dǎo)致教與學(xué)都出現(xiàn)了偏差.數(shù)學(xué)是講理的.在教學(xué)中要呈現(xiàn)為什么要有這個規(guī)定、如果沒有這個規(guī)定會發(fā)生什么,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)規(guī)定的來龍去脈,明了數(shù)學(xué)規(guī)定的緣由,感知數(shù)學(xué)和諧的美,理解數(shù)學(xué)體系的自洽,提升對數(shù)學(xué)的認(rèn)知.