以課堂教學(xué)評價視角談“橢圓離心率”概念的引入*

顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學(xué) 214074)

1 問題提出

離心率是刻畫橢圓形狀的重要量,在引入此概念前,學(xué)生頭腦中對不同的橢圓形狀已有直觀認(rèn)識,但定性的感知要上升為定量的描述,這既是他們直觀想象水平與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的生長點[1],也是“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”中的教學(xué)難點.那么,離心率到底應(yīng)該如何引入?對于大量的相關(guān)教學(xué)設(shè)計該如何借鑒?為了回答這一問題,筆者從課堂教學(xué)評價視角出發(fā),基于實際課堂案例,從教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)行為兩個維度對教學(xué)過程進(jìn)行評價.一方面,利用觀察量表對相應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行賦分,量化教學(xué)結(jié)果;另一方面,充分關(guān)注教師能動性、學(xué)生態(tài)度變化等質(zhì)性因素,既“有章可循”,又不“受制于形”.最后,基于評價分析,筆者形成自己的教學(xué)設(shè)計并進(jìn)一步實踐與反思.

2 “橢圓的離心率”教學(xué)中存在的問題

筆者以本主題的學(xué)校常態(tài)課、公開課、視頻課(評優(yōu)課、示范課)以及期刊論文中相關(guān)教學(xué)實錄(設(shè)計)為素材,收集了18節(jié)課例.利用文[2]提供的數(shù)學(xué)深度教學(xué)課堂評價表(表1)進(jìn)行課堂觀察與過程性評價.需要指出的是,以下討論不再呈現(xiàn)具體賦分,而是基于賦分結(jié)果與課后訪談,聚焦于“橢圓離心率如何引入”的教學(xué)處理中存在的主要(共性)問題.

表1 數(shù)學(xué)深度教學(xué)課堂評價表

人教A版教材中關(guān)于橢圓離心率的引入如圖1所示.

圖1

2.1 直接引進(jìn)a,c進(jìn)行刻畫,忽視概念的探究性

2.2 不能立足于學(xué)生視角,忽視定義的合理性

2.3 過分強調(diào)離心率的背景意義,忽視認(rèn)知的階段性

基于以上評價分析,離心率概念的引入教學(xué)應(yīng)起于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),從直觀到微觀,從具體到抽象,通過有效的問題串啟發(fā)學(xué)生的認(rèn)知,逐步探尋量化橢圓扁圓程度的可能性與合適性.同時,教學(xué)需考慮到信息技術(shù)使用的必要性,突出師生間的多元互動,使學(xué)生較為深刻地理解離心率這一概念本質(zhì).筆者結(jié)合分析并重構(gòu)教學(xué),以下展示具體過程.

3 教學(xué)重構(gòu)的實錄

師:我們只需輸入方程就可以生成圖象了,大家要不隨便說個方程來試試!

師:現(xiàn)在有兩個橢圓圖象,從形狀上看,它們有沒有什么差異?

生(眾):一個扁些,一個圓些,紅色橢圓更圓.

設(shè)計意圖通過GGB作圖激發(fā)學(xué)生直觀想象,自然地發(fā)現(xiàn)橢圓間扁圓程度的區(qū)別,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的探究意識.

師:那你們能不能說一個比紅色橢圓還要圓的橢圓?

師:果然更圓了!生2你是怎么想到這個方程的?

生2:因為要讓橢圓變圓,(在長軸不變的情況下)就要讓短軸長變大,也就是b要變大.

師:大家都點頭同意生2!那是不是只能通過變化b來改變扁圓程度?

生(眾):不是!

師:那你(生3)還有什么別的辦法?

生3:也可以讓a變小,這樣長軸越短,橢圓就顯得越圓!

師:很好!那是不是a與b只能變化一個?

生(眾):兩個可以同時變.

師:那a與b同時變,橢圓的扁圓程度就一定會發(fā)生變化嗎?

生4:不一定!a與b等比例同時變化時橢圓形狀應(yīng)該不變!

生5:λ在變,橢圓的a2,b2在(等比例)變化,不過橢圓形狀沒有改變,只是放大或縮小了!

師:很好,那根據(jù)實驗,如果我們用一個量來刻畫橢圓的圓扁程度,你們會想到什么?

生(眾):也可以!

設(shè)計意圖立足學(xué)生視角,通過遞進(jìn)式的問答讓學(xué)生從直觀性上逐步分析引起橢圓形狀變化的基本量,培養(yǎng)學(xué)生利用控制變量法研究問題的思維策略.在探究活動中,學(xué)生能夠主動學(xué)習(xí),獲得經(jīng)驗,充分體會概念建立過程中對合理性的追求,提升他們分析問題的能力.

師:為什么它在變大時會趨于1?

生(眾):因為b

師:很好!還記得在橢圓的第一節(jié)課里,我們已經(jīng)知道只要給一根繩子,就可以畫出橢圓.請大家就利用桌上不同長度的繩子,類比剛剛的研究思路,小組合作探究,能否發(fā)現(xiàn)橢圓的扁圓程度還與什么量有關(guān)?

設(shè)計意圖學(xué)生經(jīng)歷由直觀想象到數(shù)學(xué)抽象的第一階段,初步獲得了研究問題的方法,于是在第二階段放手讓學(xué)生實踐,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.通過第二階段的探究活動,學(xué)生能從不同角度審視數(shù)學(xué)概念,加深對概念內(nèi)涵的理解.

生3:我們發(fā)現(xiàn)一根繩子的兩端如果越靠近,畫出來的橢圓越圓,如果越遠(yuǎn)離,橢圓越扁.說明a一定的情況下,改變c也可以改變扁圓程度.

師:很好,也就是兩個焦點越靠近中心(c越小),橢圓越圓;兩個焦點越遠(yuǎn)離中心(c越大),橢圓越扁.

生6:我們發(fā)現(xiàn)在繩子兩端距離確定的情況下,繩子越長,橢圓越圓;繩子越短,橢圓越扁.也就是c確定時,a越大、橢圓越圓,a越小、橢圓越扁.(教師用GGB進(jìn)行演示驗證)

師:兩組同學(xué)都用了控制變量法,那有研究同時變化的嗎?

生7:我們與前兩組同學(xué)得到了一樣的結(jié)果,而且猜想a與c等比例同時變化時,橢圓的形狀不變.但用繩子做不出效果,應(yīng)該可以用GGB做出來!不過我們小組進(jìn)行了代數(shù)推理.

師:怎么推理的?

生7:因為b2=a2-c2,所以a,c按相同比例變化時,b也按該比例變化,按照剛剛的探究,此時橢圓的扁圓程度是不變的.

師:大家的表情說明都很認(rèn)可生7的分析!這意味著我們還可以用什么量來刻畫呀?

師:那就有了類似的問題,它怎么變可以使橢圓更圓,怎么變可以使橢圓更扁呢?

設(shè)計意圖一方面,教學(xué)中需尊重學(xué)生的思維習(xí)慣,不拘泥知識的呈現(xiàn)順序,讓學(xué)生自主分析、歸納和總結(jié)實驗結(jié)果;另一方面,教師需合理掌控課堂進(jìn)程,使學(xué)生觀點能匯合到概念主旨,形成認(rèn)知刺激甚至沖突,進(jìn)一步認(rèn)識到橢圓扁圓程度的刻畫既不唯一又相互統(tǒng)一.

生(眾):偏離中心的程度.

師:那你們覺得用什么量刻畫更好?

4 教學(xué)反思

最后,關(guān)于概念課的教學(xué)設(shè)計筆者還有一點思考:在課堂教學(xué)評價中,信息技術(shù)是否使用越多越好?課堂是不是越活躍越好?筆者認(rèn)為,如果技術(shù)的使用不能有助于學(xué)生把握概念的本質(zhì),課堂表面的熱鬧也沒有真正喚起學(xué)生的認(rèn)知沖突,那么這樣的設(shè)計是理應(yīng)改進(jìn)的.如筆者在離心率概念引入的設(shè)計上原本是想全面基于信息技術(shù)平臺,突出過程可視化,激發(fā)學(xué)生興趣,但這在一定程度上弱化了學(xué)生理性思維的生成,于是在設(shè)計上作出調(diào)整,著力讓信息技術(shù)的使用在關(guān)鍵處彰顯價值.在實際教學(xué)中,筆者既引導(dǎo)學(xué)生思考,也放手讓學(xué)生探究,整個過程學(xué)生的反應(yīng)先緩后快,先冷后熱再歸于平靜,課堂雖沒有持續(xù)的熱鬧但卻能明顯感受到學(xué)生思維的碰撞.這些“恰如其分”也是有助于構(gòu)建良好課堂生態(tài)的.