建立函數(shù)模型教學(xué)中的一個(gè)誤區(qū)分析*

劉 嘉 (北京市朝陽外國(guó)語學(xué)校 100012)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是新一輪課程改革中提出的六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一,在2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容,并提出了具體的課時(shí)要求和教學(xué)要求．在此背景下,越來越多的教師開始在課堂上開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)．但筆者在參加一些教研活動(dòng)時(shí),發(fā)現(xiàn)部分教師對(duì)建立函數(shù)模型的教學(xué)認(rèn)識(shí)有一些誤區(qū);在指導(dǎo)一些學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí),發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在建立函數(shù)模型時(shí)也存在相同的誤區(qū)．

1 案例1:彈簧振子位移和時(shí)間關(guān)系的建模

某次教研活動(dòng),一位教師上了研究課“三角函數(shù)模型的應(yīng)用”．

1.1 課堂實(shí)錄片段

師:某彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中,時(shí)間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表1．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．

表1 彈簧振子位移與時(shí)間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)表

師:請(qǐng)同學(xué)們描繪出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,看看像什么函數(shù)的圖象?

生甲:我們組繪制的散點(diǎn)圖如圖1,觀察散點(diǎn)好像分布在一個(gè)三角函數(shù)圖象上,于是我們組用y=Asin(ωt+φ)進(jìn)行擬合,得到這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是y=20.25sin(10.51x-1.58)+0.12(圖2)．

圖1 振子的位移關(guān)于時(shí)間散點(diǎn)圖 圖2 三角函數(shù)模型擬合 圖3 二次函數(shù)模型擬合

生乙:我們組觀察散點(diǎn)好像分布在一個(gè)二次函數(shù)的圖象上,所以選擇用二次函數(shù)y=ax2+bx+c進(jìn)行擬合,得到的解析式是y=-451.39x2+270.83x-26.33(圖3)．

師:同學(xué)們討論一下,哪個(gè)模型更好呢?

生乙:我們覺得甲組同學(xué)的模型更好,因?yàn)樗麄兊纳Ⅻc(diǎn)基本都分布在函數(shù)圖象上,而我們組的散點(diǎn)跟函數(shù)圖象并不完全重合．

生丙:我們組進(jìn)一步繪制了兩種函數(shù)模型的殘差圖(圖4、圖5)．可以發(fā)現(xiàn),用三角函數(shù)模型擬合時(shí),殘差幾乎分布在x軸上,而用二次函數(shù)模型擬合時(shí),殘差分布在x軸兩側(cè)一個(gè)寬度約為12的帶狀區(qū)域內(nèi)．通過對(duì)比,我們認(rèn)為選用三角函數(shù)模型來描述這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系更好．

圖4 三角函數(shù)模型殘差圖 圖5 二次函數(shù)模型殘差圖

師:同學(xué)們的討論非常精彩,我們可以通過繪制殘差散點(diǎn)圖或計(jì)算殘差平方和來更精確地檢驗(yàn)?zāi)姆N模型更好．一般地,如果殘差平方和越小或者殘差散點(diǎn)圖分布的帶狀區(qū)域越窄,我們可以認(rèn)為這個(gè)模型越準(zhǔn)確．

1.2 點(diǎn)評(píng)

對(duì)于在“振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式”建模過程中,為什么選擇三角函數(shù)模型,教材上是這么說的:“振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn),由振子振動(dòng)的物理學(xué)原理可知,其位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(ωt+φ)來刻畫．”教材的處理思路是首先通過物理原理,確定需要用三角函數(shù)模型來刻畫振子位移隨時(shí)間變化的規(guī)律,然后再通過表1中的數(shù)據(jù),來確定模型中A,ω,φ等參數(shù)．筆者認(rèn)為教材的處理方式更合理．

2 案例2:燃?xì)庑o角度和燃?xì)庥昧筷P(guān)系的建模

2.1 課堂實(shí)錄片段

這是2021年部級(jí)精品課“數(shù)學(xué)建模:建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題”中的一個(gè)片段,該網(wǎng)課可在國(guó)家基礎(chǔ)教育精品課網(wǎng)站觀看．教師首先介紹實(shí)際背景,作為日常必需品之一的天然氣是清潔能源,很多家庭的一日三餐都要使用天然氣,但是我國(guó)天然氣大部分依靠進(jìn)口,時(shí)常出現(xiàn)供應(yīng)緊張的局面,節(jié)約用氣刻不容緩．緊接著提出要研究的問題:“如何使用燃?xì)庠钭钍?”之后教師引導(dǎo)學(xué)生分析影響燃?xì)庠钣脷饬康囊蛩赜心男?分析選定燃?xì)庑o旋轉(zhuǎn)的角度為自變量,燒開一壺水所需的燃?xì)饬繛橐蜃兞?通過研究二者的關(guān)系來探究如何操作能夠使燒開一壺水所需的燃?xì)饬孔钌伲?/p>

明確研究問題后,教師引導(dǎo)學(xué)生開始收集數(shù)據(jù),得到表2．

表2 燃?xì)庑o處于不同位置時(shí)燒開一壺水所用燃?xì)饬?/p>

之后,將表2中數(shù)據(jù)整理為散點(diǎn)圖(圖6),教師引導(dǎo)學(xué)生觀察,散點(diǎn)近似分布在一個(gè)二次函數(shù)的圖象上,因此可以考慮使用二次函數(shù)y=ax2+bx+c進(jìn)行擬合．選取三對(duì)數(shù)據(jù)(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入,解得y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503×10-1．

圖6 燃?xì)庑o角度與燃?xì)庥昧可Ⅻc(diǎn)圖

2.2 點(diǎn)評(píng)

本課是一節(jié)水平非常高的建模教學(xué)課,教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了選題、確定變量、搜集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、建立模型、模型評(píng)價(jià)、模型應(yīng)用等建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的全過程,所研究的問題“節(jié)約燃?xì)狻庇休^強(qiáng)的社會(huì)意義,并且也貼近學(xué)生生活．但是在建立模型的過程中,根據(jù)散點(diǎn)近似分布在一條拋物線上而選擇用二次函數(shù)進(jìn)行擬合略有不妥．如果僅僅從這5個(gè)散點(diǎn)的分布來選擇模型,那么用4次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合,能夠使得這5個(gè)散點(diǎn)都精確地分布在這個(gè)函數(shù)的圖象上．筆者還是建議采用類似于教材的處理方式,通過對(duì)燃?xì)庑o角度和燃?xì)庥昧績(jī)?nèi)在機(jī)理的分析來確定選用何種函數(shù)模型,之后再根據(jù)搜集到的5組數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)．

3 建立函數(shù)模型教學(xué)中的誤區(qū)分析

4 建立函數(shù)模型教學(xué)中的改進(jìn)策略

4.1 通過分析變量間內(nèi)在聯(lián)系,確定模型

4.2 直接給出變量間內(nèi)在聯(lián)系,確定模型

如果兩個(gè)變量間的內(nèi)在聯(lián)系難以借助學(xué)生已有知識(shí)進(jìn)行分析,那么教師在教學(xué)中,可以選擇直接給出模型,由學(xué)生根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)來確定模型中的參數(shù)．比如“案例1”中提及的人教A版教材對(duì)彈簧振子的位移和時(shí)間關(guān)系的處理,就是直接給出模型y=Asin(ωt+φ),然后由學(xué)生根據(jù)相應(yīng)數(shù)據(jù)確定A,ω,φ等參數(shù)的值．教材中還有許多類似的例子,又比如必修一第四章第五節(jié)例3中,研究人口增長(zhǎng)模型,亦是直接給出了馬爾薩斯提出的模型y=y0ert,然后給出我國(guó)1950—1959年的人口數(shù)據(jù),請(qǐng)學(xué)生確定模型中參數(shù)y0,r等．

4.3 定性分析變量間內(nèi)在聯(lián)系,確定模型

如果兩個(gè)變量間不存在明確的內(nèi)在聯(lián)系,或者雖有內(nèi)在聯(lián)系,但是難以分析,此時(shí)只能退而求其次,定性分析二者間關(guān)系,結(jié)合收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模．教材上亦有一些例子,比如人教A版必修一數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中,探究“茶水溫度隨時(shí)間的變化模型”,通過觀察散點(diǎn)的分布規(guī)律,發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)呈下降趨勢(shì)(圖7),那么這些散點(diǎn)近似分布在直線上還是拋物線上或者是其他什么曲線上呢?教材中通過定性分析,指出“茶水溫度降至室溫就不能再降”這一事實(shí),最終選擇用y=kax+25這一函數(shù)模型進(jìn)行擬合．又比如人教A版必修一第五章三角函數(shù)模型的應(yīng)用中探究“港口水深隨時(shí)間的變化模型”,通過觀察散點(diǎn)分布規(guī)律(圖8),結(jié)合“港口水深隨時(shí)間周期性變化”的特點(diǎn),選擇用y=Asin(ωt+φ)+h這一函數(shù)模型進(jìn)行擬合．

圖7 茶水溫度隨時(shí)間變化散點(diǎn)圖 圖8 港口水深隨時(shí)間變化散點(diǎn)圖

5 結(jié)論

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題一定要抓住事物的本質(zhì),盡可能地分析各變量間的內(nèi)在聯(lián)系,根據(jù)它們的內(nèi)部機(jī)理去選擇合理的模型．如果內(nèi)部機(jī)理不明,那么可以通過收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)分布規(guī)律結(jié)合對(duì)變量間相互影響的定性分析來選擇函數(shù)模型．盡量避免單純依據(jù)散點(diǎn)近似分布在何種曲線上就選擇何種模型,亦不能絕對(duì)地認(rèn)為殘差平方和越小,模型就越好．高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際背景、建模的目的等綜合因素,來選擇合理的模型,通過具體案例讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般過程,積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科 素養(yǎng)．