一道自主招生試題引發(fā)的探究

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

一、題目呈現(xiàn)與解答

題目(2016年北京大學(xué)博雅計(jì)劃第7 題)的值為( ).

解答

因?yàn)門20,從而.所以

故選D.

本題主要是利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行解答,難度不大.令人感興趣的是:試題能不能推廣? 即的值是什么? 是否還有其它類似的連乘三角求值式子?

筆者經(jīng)過一番探究,得到一系列優(yōu)美的連乘三角恒等式,特意成文,與大家分享.

二、一個(gè)引理

引理.

證明記,n ∈N?,其中i 為虛數(shù)單位,則方程xn?1=0 有n個(gè)互不相等的根ω,ω2,···,ωn(ωn=1).所以

xn?1=(x?1)(x?ω)(x?ω2)···(x?ωn?1),

又因?yàn)?/p>

從而可得

1+x+x2+···+xn?1=(x?ω)(x?ω2)···(x?ωn?1),

令x=1,則(1?ω)(1?ω2)···(1?ωn?1)=n.取模,得|1?ω|·|1?ω2|···|1?ωn?1|=n.

當(dāng)1 ≤k≤n?1,且k ∈N?時(shí),可得,即有.從而

故

三、部分連乘的三角恒等式及證明

證明記,則

由引理,得

證明由引理,可得

兩式相除,得

證明記,則

由引理,得

證明由(3),得

證明記,得

即

由(2),可得

證明由(5),得

評(píng)注顯然,當(dāng)n=5 時(shí),,這正是原題的情形了.

證明由(5),得

證明由(1),得

證明由,得

證明由引理,可得,由(6),有.兩式相除,得

證明由,得

證明由,得

利用上述方法及恒等式,還可得到更多相關(guān)的三角恒等式,有興趣的讀者不妨繼續(xù)探究.