一道三角不等式問題的另解、變式、背景與推廣

廣州市第二中學(xué)(510530) 程漢波 深圳中學(xué)(518000) 朱華偉

數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域歷來重視總結(jié)反思的重要價值.如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中將解題過程分為四個步驟:弄清題意——擬定計劃——實行計劃——回顧總結(jié).羅增儒在其著作《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐》中認(rèn)為解題學(xué)習(xí)要經(jīng)歷四個階段:簡單模仿——變式練習(xí)——自發(fā)領(lǐng)悟——自覺分析.其實,這里的總結(jié)反思是多方面的,既有對問題解決過程的整體回顧,也有對解題技巧與數(shù)學(xué)思想的總結(jié),還有對問題另解、變式、背景與推廣等方面的探究與反思.具體地,當(dāng)一個有代表性的數(shù)學(xué)問題被解決之后,可盡可能地尋求問題另外的解法,做到一題多解;探索問題有價值的變式,做到一題多變;溯源問題背景有關(guān)的文獻(xiàn)資料,熟悉問題的淵源;研究問題推廣的形式,加深問題的理解.這也符合最新公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版,2020年修訂版)中所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的理念:“數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.”下面以1993年第6 屆愛爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克中一道三角不等式試題(以下問題1)為例,從尋求問題的另解、探索問題的變式、溯源問題的背景和研究問題的推廣四個方面給出筆者的探究過程與結(jié)果,供讀者參考.

問題1(1993年第6 屆愛爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)x ∈(0,π),證明:對任意n ∈N?,有.

1.尋求問題的另解

該三角不等式形式對稱、結(jié)論簡單、而背景深刻,但其證明卻并不輕松.目前眾多數(shù)學(xué)資料上廣為流傳的證法是這樣的(以下證法1):

證法1由三角函數(shù)積化和差公式知,

2 sinxsin(2k?1)x=cos(2k?2)x?cos 2kx,則

當(dāng)且僅當(dāng)cos 2kx=1(k=1,2,···,n)時,上式等號成立.但因x ∈(0,π),故cos 2x ?=1,于是有f(x)sinx >0,所以f(x)>0,問題1 得證.

評注證法1 利用積化和差公式將2 sinxsin(2k?1)x“裂項”為cos(2k?2)x?cos 2kx是關(guān)鍵的一步,雖然在之后的求和過程中不能夠“相消”,但是將所得項重新組合之后稍加放縮便可達(dá)到“裂項相消”的目的,從而得出2f(x)sinx恒為正數(shù).筆者經(jīng)歷一番探索后得到以下兩種不同的證法.

證法2記則f(x)=注意到三角函數(shù)列{bk}可求和,即由積化和差公式可得

評注證法2 利用阿貝爾變換將中可求和的三角函數(shù)列bk=sin(2k?1)x與單調(diào)遞減數(shù)列區(qū)別開來,各取所長.而且,恒有即f(x)經(jīng)阿貝爾變換后和式中每一項都為正,由此得出f(x)>0 恒成立.

證法3

令f′(x)=0,由x ∈(0,π)得,其中,k=1,2,···,2n?1.且當(dāng)x ∈(0,x1),(x2,x3),···,(x2n?2,x2n?1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(x1,x2),(x3,x4),···,(x2n?1,π)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

注意到f(0)=f(π)=0,于是要證明f(x)>0,只需證明f(x)的所有極小值(k=1,2,···,n?1)即可.又因為容易證得f(x)=f(π?x),即f(x)的圖象關(guān)于對稱,故只需要證明成立即可.

因為

以

評注從函數(shù)的角度看,要證明f(x)>0 恒成立,只需證明f(x)的最小值大于0,于是利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求最值再自然不過,然而,發(fā)現(xiàn)f(x)在(0,π)上的極值點(diǎn)很多,且極值的大小(或正負(fù))判斷起來也十分困難,利用積分法判斷極值的單調(diào)性(加強(qiáng)命題)實屬無奈之舉.也許有人會注意到f(x)>0 是與自然數(shù)n相關(guān)的命題,能否嘗試使用數(shù)學(xué)歸納法呢? 筆者也嘗試過,但未獲成功.

2.探索問題的變式

波利亞曾經(jīng)說過:“當(dāng)你找到第一個蘑菇后,要環(huán)顧四周,因為它們總是成堆生長的”.對問題進(jìn)行變式探究也是一種極有趣的探究活動,對教學(xué)也大有裨益.在問題1 的求和式中漏掉了形如的項,將其添加進(jìn)求和式中會得到怎樣的結(jié)果呢? 經(jīng)歷一番探究后得到以下問題2 及其證明.

問題2設(shè)x ∈(0,π),證明:對任意n ∈N?,有.

證明(1)當(dāng)n=1 時,有f1(x)=sinx>0 在x ∈(0,π)恒成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即fk(x)=sinx+對x ∈(0,π)恒成立.則當(dāng)n=k+1 時,

注意到fn(0)=fn(π)=0,且由fk+1(x)在區(qū)間(0,π)上的連續(xù)性可知,只需證明fk+1(x)在穩(wěn)定點(diǎn)處的函數(shù)值大于0 即可.利用歸納假設(shè)可知

所以,fk+1(x)>0 對x ∈(0,π)恒成立.綜合(1)(2)知問題2 得證.

評注查閱資料發(fā)現(xiàn),該不等式是著名的Fejer-Jackon不等式,1910年被Fejer 提出,1911年被Jackon 首先證明,之后陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了不少證法,但大多數(shù)要用到高等數(shù)學(xué)的知識與技巧.上面利用導(dǎo)數(shù)求出fn(x)的穩(wěn)定點(diǎn),但用數(shù)學(xué)歸納法避開單調(diào)性與最值的判斷與求解,而且恰巧由n=k到n=k+1 過渡時添加的“小尾巴”或均為正數(shù),頗為巧妙.值得一提的是,筆者嘗試過與問題1 中證法1、證法2、證法3 類似的方法,但都發(fā)現(xiàn)在某個地方遇到困難,遭遇失敗,有興趣的讀者可嘗試.

特別地,在問題2 中,令n=3 時,即可得到1949年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題:

當(dāng)x ∈(0,π)時,求證:.

其證明除了從一般化的問題2 結(jié)論直接推得以外,還可簡單地利用三角恒等變換證得,過程如下:當(dāng)x ∈(0,π)時,

在問題2 中,若將變量x替換為π?x ∈(0,π),則可得以下問題3:

問題3設(shè)x ∈(0,π),證明:對任意n ∈N?,有.

值得注意的是,問題3 的證明從問題2 的結(jié)果利用變量代換即可直接推得,無需再用數(shù)學(xué)歸納法重證一次,這也是轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

類似地,在問題1 中,將變量x替換為則可得以下問題4:

問題4設(shè)證明:對任意n ∈N?,有.

3.溯源問題的背景

波利亞還曾說過:“當(dāng)我們看到一個數(shù)學(xué)問題之后,要進(jìn)行有效的聯(lián)想,有時不妨去翻翻歷史,檢索一番,尤其要注意前人的經(jīng)驗.”從高觀點(diǎn)的視角來看,由傅里葉級數(shù)的理論可知:幾乎每個周期函數(shù)g(x)都可以表示成一系列正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之和的極限(傅里葉級數(shù)),即g(x)=.

問題1、2、3、4 都具有正弦函數(shù)與余弦函數(shù)部分和形式,其最小正周期為2π.因此,其極限形式(n →+∞時)應(yīng)為某個周期為2π的函數(shù)的傅里葉展開形式.

在(?π,0)∪(0,π)的傅里葉級數(shù)展開式中,a0=0,an=則

因此,問題1 其實就是論證g(x)的部分和函數(shù)上恒為正數(shù).如果我們在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出n=1,6,11,16 時f(x)的在(0,π)上的圖象,不難發(fā)現(xiàn),隨著n的增大,f(x)的圖象越來越接近于g(x)在(0,π)上的圖象.因此,由傅里葉收斂定理可知,

類似地,問題2 的背景是論證函數(shù)g(x)=在(?π,0)∪(0,π)上的傅里葉級數(shù)展開式的部分和函數(shù)f(x)=在(0,π)上恒為正數(shù).問題3 的背景是論證函數(shù)上的傅里葉級數(shù)展開式的部分和函數(shù)f(x)=上恒為正數(shù).問題4 的背景是論證函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式的部分和函數(shù)上恒為正數(shù).而這些結(jié)果通過傅里葉收斂定理是容易理解的.因此,問題1、2、3、4 的外在形式雖然是初等數(shù)學(xué)問題,但其內(nèi)在背景卻與傅里葉級數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識緊密聯(lián)系,別有一番趣味.

4.研究問題的推廣

波利亞還曾說過:“沒有一道題可以解決得十全十美,總存在值得我們探究的地方.”而且,他還將把一般化、特殊化和類比并列地稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.能否將問題進(jìn)行推廣呢? 一番探究,得到如下推廣問題5、6.

問題5已知a1≥a2≥···≥an>0,0

證明記bk=sin(2k?1)x,則同問題1 的證法2 得由阿貝爾變換公式得

因為00.所以,f(x)>0 恒成立,故問題5 得證.

問題6已知a1≥a2≥···≥an>0,0

證明注意到對上式兩端

同時在(x,π)積分,可得

所以,

特別地,在問題6 中,令ak=1,k=1,2,···,n,即可得到問題2.

在過去100 多年來中外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中,出現(xiàn)了大量形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、構(gòu)思新穎、解法巧妙、背景深刻且廣為流傳的經(jīng)典賽題.這些試題都是提升數(shù)學(xué)能力的極好素材,對經(jīng)典問題做一做(解答或證明),變一變(變式訓(xùn)練等),研一研(深入挖掘問題的本質(zhì)),拓一拓(對問題進(jìn)行改進(jìn)、加強(qiáng)、推廣等)的過程中.問題變得愈加豐滿和清晰,也愈加貼近問題的本質(zhì).這樣,我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時收獲了學(xué)習(xí)知識的方法、也收獲了愉悅充實的心情,這對于專業(yè)的成長是大有裨益的.