對(duì)一道直線與圓相切試題的探究

北京市第十二中學(xué)(100071) 趙毅 劉剛

1.試題

題目(22 屆九師聯(lián)盟12月質(zhì)量檢測(cè)河北卷)已知橢圓C:的離心率為,它的短軸長(zhǎng)為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點(diǎn)M,N在x軸上,過(guò)橢圓C上一點(diǎn)作直線PM,PN分別交橢圓C于另一點(diǎn)S,T,若|PM|=|PN|,求證:?PST的外接圓與過(guò)點(diǎn)P的直線l:x+2y?4=0 相切.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓和橢圓的位置關(guān)系,考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題構(gòu)思巧妙,內(nèi)涵豐富,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn).第(1)問(wèn)求得橢圓C的方程為;第(2)問(wèn)根據(jù)已知條件得到直線PS,PT的斜率互為相反數(shù),而直線l:x+2y?4=0 是橢圓C在點(diǎn)P處的切線.將試題一般化,是否也有相應(yīng)的結(jié)論呢? 經(jīng)過(guò)探究,并類比雙曲線、拋物線,得到了下面一組性質(zhì).

2.推廣探究

性質(zhì)1已知點(diǎn)P在橢圓C:上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與橢圓C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)橢圓C在點(diǎn)P處的切線為l,若k1+k2=0,則?PST的外接圓與l相切.

證明設(shè)?PST的外接圓的圓心為Q,下面僅考慮直線PQ,l的斜率都存在的情形.設(shè)P(m,n),則PS的方程為y?n=k1(x?m),與橢圓C的方程聯(lián)立,得設(shè)S(x1,y1),PS的中點(diǎn)為E(x0,y0),則,所以線段PS的中垂線方程為

又k1+k2=0,將k1換為?k1,同理,得線段PT的中垂線方程為

性質(zhì)2已知點(diǎn)P在雙曲線C:0,b >0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與雙曲線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)雙曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若k1+k2=0,則?PST的外接圓與l相切.

性質(zhì)3已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與拋物線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)拋物線C在點(diǎn)P處的切線為l,若k1+k2=0,則?PST的外接圓與l相切.

證明設(shè)?PST的外接圓的圓心為Q,下面僅考慮直線PQ,l的斜率都存在的情形.設(shè)P(m,n),則PS的方程為y?n=k1(x?m),與拋物線C的方程y2=2px聯(lián)立,得k1y2?2py+ 2p(n?mk1)=0.設(shè)S(x1,y1),PS的中點(diǎn)為E(x0,y0),則所以線段PS的中垂線方程為

又k1+k2=0,將k1換為?k1,同理,得線段PT的中垂線方程為

3.逆向探究

性質(zhì)4已知點(diǎn)P在橢圓C:上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與橢圓C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)橢圓C在點(diǎn)P處的切線為l,若?PST的外接圓與l相切,則k1+k2=0.

證明設(shè)?PST的外接圓的圓心為Q,下面僅考慮直線PQ,l的斜率都存在的情形.設(shè)P(m,n),則PS的方程為y?n=k1(x?m),與橢圓C的方程聯(lián)立,得設(shè)S(x1,y1),PS的中點(diǎn)為E(x0,y0),則所以線段PS的中垂線方程為即

其中c2=a2?b2.同理,得線段PT的中垂線方程為

化簡(jiǎn),得mna2b2(k1+k2)2+(k1+k2)(n2a4k1k2+m2b4)=0,即(k1+k2)(na2k1+mb2)(na2k2+mb2)=0.因?yàn)橹本€PS,PT與l不重合,所以(na2k1+mb2)(na2k2+mb2)?=0,故k1+k2=0.

性質(zhì)5已知點(diǎn)P在雙曲線C:0,b >0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與雙曲線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)雙曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若?PST的外接圓與l相切,則k1+k2=0.

性質(zhì)6已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與拋物線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)拋物線C在點(diǎn)P處的切線為l,若?PST的外接圓與l相切,則k1+k2=0.

證明設(shè)?PST的外接圓的圓心為Q,下面僅考慮直線PQ,l的斜率都存在的情形.設(shè)P(m,n),則PS的方程為y?n=k1(x?m),與拋物線C的方程y2=2px聯(lián)立,得k1y2?2py?2p(k1m?n)=0.設(shè)S(x1,y1),PS的中點(diǎn)為E(x0,y0),則,所以線段PS的中垂線方程為,即

同理,得線段PT的中垂線方程為

聯(lián)立⑦⑧,得

化簡(jiǎn),得np(k1+k2)2=n2k1k2(k1+k2)+p2(k1+k2),即(k1+k2)(nk1?p)(nk2?p)=0.因?yàn)橹本€PS,PT與l不重合,所以(nk1?p)(nk2?p)?=0,故k1+k2=0.

將上述性質(zhì)進(jìn)行整合,得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì):

性質(zhì)7已知點(diǎn)P在圓錐曲線C上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與圓錐曲線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)圓錐曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,則?PST的外接圓與l相切的充分必要條件是k1+k2=0.