體會本質(zhì),以不變應(yīng)萬變
——理解裂項求和的基本方法

天津市南開中學(300100) 張廣民

裂項求和是學生們非常熟悉的一種數(shù)列求和的基本方法,但是很多學生都是以記住了一些能夠裂項的數(shù)列的結(jié)論,在解題的過程中套用這樣的結(jié)論.但是遇到一些新的情景,就會出現(xiàn)問題.而實際上,裂項求和有著及其重要和豐富的內(nèi)涵,對于理解數(shù)列的變化規(guī)律也有著重要的作用.本文通過對這個問題背景的探索,幫助學生理解裂項求和的本質(zhì),從根源理解裂項求和,淡化特殊技巧和結(jié)論.

在裂項求和的教學過程中,教師往往會強調(diào)一個常見的模型:若{an}是等差數(shù)列,且公差d ?=0,則形如的數(shù)列求和可用裂項這種方法,具體做法為

雖然這個數(shù)列的結(jié)構(gòu)與常見的模型不太一樣,但是仍然也可以用裂項相消來進行求和.所以從教學角度來說,并不能讓學生形成只有{bn}這種結(jié)構(gòu)才可以裂項的想法,而是能夠主動的根據(jù)數(shù)列結(jié)構(gòu)來進行裂項相消.

比較常見的,能夠用裂項相消來求和的數(shù)列大部分是一個“分式型”的數(shù)列,分式的分母能夠進行因式分解,而裂項的目的在于“相消”,所以關(guān)鍵在于作為這個分式的分子能否用分母因式分解后的因式用求差的方式來表示分子,比如

這是學生判斷這個數(shù)列能否“裂項相消”的主要特征,而掌握了這個特征,就使得學生可以主動地運用裂項來處理求和問題.比如2018年高考天津卷理科第18 題:

題目設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Sn(n ∈N?),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

(I)求{an}和{bn}的通項公式;

(II)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn(n ∈N?),

(i)求Tn;

此題的前幾問不再贅述,我們只看最后一問,經(jīng)過前幾問我們得到an=2n?1,bn=n,Tn=2n+1?n?2,則當然這一問我們可以從要證明等式的右邊來推斷出左邊如何裂項,但是如果主動的運用裂項來處理這個數(shù)列,我們可以發(fā)現(xiàn)分母是兩個因式乘積的結(jié)構(gòu),而分子還有2 的指數(shù)冪的結(jié)構(gòu),所以考慮用分母的因式結(jié)合2 的冪的結(jié)構(gòu)來構(gòu)成求差的形式,從而

從而達到了證明目的.

上述方法對于裂項來說可以說是一種“大方向”上的處理手段.具體操作需要根據(jù)題目條件進行“湊”一下,從而找到結(jié)果.但是對于學生而言,這種主動的找到裂項的方法更多是一種技巧性的使用,對于學生技巧的運用似乎要求更高,就像天津這道高考題,如果沒有右邊結(jié)論的提示,能不能有一種理論上的可以找到裂項的方法,而不僅僅是只知道“大方向”,然后采用“湊”的方式來找到具體如何裂項呢?

一、差分數(shù)列

定義對于數(shù)列{an},記?an=an+1?an,我們稱數(shù)列{?an}為{an}的(一階)差分數(shù)列.

比如:數(shù)列1,3,5,7,···的差分數(shù)列為2,2,2,···;數(shù)列1,2,4,8,16,32,···的差分數(shù)列仍為1,2,4,8,16,···;數(shù)列1,2,3,5,8,13,21,···的差分數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,··· .實際上,差分數(shù)列體現(xiàn)出數(shù)列的遞增(減)的幅度,即每一項與前一項的差值.這個想法也是研究一個數(shù)列變化規(guī)律的基本想法.從另一個角度來看,這也正好體現(xiàn)出數(shù)列{an}的變化率,類似于函數(shù)的平均變化率數(shù)列是一個自變量取值為正整數(shù)的函數(shù),因此數(shù)列的變化率會類似于函數(shù)的導數(shù).只不過因為數(shù)列項數(shù)變化是離散的,而導數(shù)中的增量會趨向于零.我們可以看出,一個等差數(shù)列的差分數(shù)列是一個常數(shù)列,一個等比數(shù)列(公比不為1)的差分數(shù)列還是一個等比數(shù)列,恰對應(yīng)著一次函數(shù)的導數(shù)是一個常數(shù),指數(shù)型函數(shù)的導數(shù)仍然是指數(shù)型.前面的第三個例子(斐波那契數(shù)列),可以看出它的差分數(shù)列還是它自身,因此我們可以猜想它的通項也應(yīng)該是一個指數(shù)型的.實際上,斐波那契數(shù)列的通項為它實際是兩個等比數(shù)列的和.

二、裂項求和與定積分

從差分數(shù)列的概念可以看出,an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+···+(an?an?1),即為an=a1+?a1+?a2+···+?an?1.也就是說,an是由a1和其差分數(shù)列{?an}的前n?1 項之和構(gòu)成,從幾何的角度,可以理解為an是在a1的基礎(chǔ)上加上后面所有相鄰項的增量.實際上,我們在研究等差數(shù)列通項公式的時候,就是應(yīng)用的這個方法.由于等差數(shù)列的差分數(shù)列是以公差d為項的常數(shù)列,故an=a1+d+d+···+d=a1+(n?1)d.

對于數(shù)列求和,恰是把上面的過程反之.即,我們要研究一個數(shù)列{an}的前n項和Sn,那么我們應(yīng)該把{an}看成是某一個數(shù)列{bn}的差分數(shù)列,即要滿足an=bn+1?bn.這樣的話,就有bn+1=b1+a1+a2+···+an,從而有Sn=a1+a2+···+an=bn+1?b1.因此,我們只需要找到滿足要求的bn即可.這個過程就是裂項求和的基本思想.

比如,若an=kn+b,可取這時再如,若an=qn?1(其中q ?=1),可取這時.

與函數(shù)的積分做一個對比,若an對應(yīng)一個函數(shù)f(x),則bn對應(yīng)于f(x)的一個原函數(shù)F(x),于是上面的關(guān)系對應(yīng)∫但是要注意,對于定積分,它是將f(x)中變量x進行無窮小的分割,但是對于數(shù)列其自變量取值總是離散的.因此,這個對應(yīng)關(guān)系只是結(jié)構(gòu)上的關(guān)系,數(shù)值上還是不同的.

三、如何尋找一個差分數(shù)列的原數(shù)列

這個想法正是由函數(shù)積分的關(guān)系得到.比如,當an=kn+b時,對應(yīng)函數(shù)為f(x)=kx+b,其原函數(shù)為其中c ∈R.由于前面提到的,數(shù)列離散的特點,因此但是其單調(diào)變化的模式應(yīng)該與F(x)是一致的,因此我們可以考慮bn=αn2+βn+γ,甚至注意到離散關(guān)系不會影響二次項的系數(shù),而常數(shù)項γ在利用時總會被消去,故直接取即可.利用bn+1?bn=an可以解得即可求得.

類似的,當an=qn?1時,其對應(yīng)函數(shù)為f(x)=qx?1,原函數(shù)為與前面同樣的原因,我們可以設(shè)bn=αqn,利用待定系數(shù)法求得故由此可得.

再來看看我們熟知的等差乘以等比的數(shù)列求和.

已知數(shù)列{an}是首項為a1,公差為d等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為b1,公比為q的等比數(shù)列,cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

傳統(tǒng)的方法是錯位相減法,這里我們嘗試尋找一下以{cn}為差分數(shù)列的原數(shù)列.容易得到cn=(dn+a1?d)·b1qn?1,不妨記其為cn=k(n+s)qn,其中其對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=k(x+s)qx.我們?nèi)菀椎玫胶瘮?shù)g(x)=(x+s)ex的原函數(shù)是G(x)=(x+s?1)ex+c,類似的,可以求出f(x)的原函數(shù)為實際上,我們沒有必要求得F(x),只要知道F(x)的構(gòu)成形式,就可以設(shè)出其原數(shù)列tn.因此由G(x)的形式,我們設(shè)tn=(αn+β)qn,由tn+1?tn=[(αq?α)n+(α+β)q?β]qn=cn=k(n+s)qn,進而得到帶入即可求得.在具體問題的求解過程中,我們只需要掌握這個方法即可.比如:

例題1已知數(shù)列{an}滿足an=(4n+1)3n?1,求其前n項和Sn.

分析設(shè)bn滿足an=bn+1?bn,由前面知,可設(shè)bn=(αn+β)3n?1.再由bn+1?bn=(4n+1)3n?1,可得即.

解由3n?1,記則an=bn+1?bn,故有

通過這樣的方法,我們就回避了錯位相減法,直接裂項求得結(jié)果.一般的,an=(An+B)qn?1的原數(shù)列形式為bn=(αn+β)qn?1,故{an}的前n項和為Sn=bn+1?b1=(αn+α+β)qn?(α+β),其中α和β可以通過待定系數(shù)法確定.

我們再看個例子.

例題2求Sn=1×n+2×(n?1)+3×(n?2)+···+n×1.

分析其對應(yīng)通項為ak=k(n?k+1)=?k2+(n+1)k,其中k=1,2,···,n.注意到它是一個關(guān)于k的二次式,二次項系數(shù)為?1,故可設(shè)其原數(shù)列為bk=由bk+1?bk=ak,可以解得.

解設(shè)則有ak=k(n?k+1)=?k2+(n+1)k=bk+1?bk.又因為

故可得

當然,這里提到的觀點是裂項處理的本質(zhì).在具體的問題中,如果不知道如何裂項的話可以使用這個方法嘗試.在實際的操作過程中,往往還是根據(jù)已知數(shù)列通項的特征進行嘗試,處理起來可能會更加方便.

例題3(2020年高考天津卷第19 題)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4?a3),b5=4(b4?b3).

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式;

(Ⅱ)記{an}的前n項和為Sn,求證:(n ∈N?);

(Ⅲ)對任意的正整數(shù)n,設(shè)

求數(shù)列{cn}的前2n項和.

本題前兩問比較簡單,這里不再贅述,可得an=n,bn=2n?1.進而可得

對于c2k?1的求和,很明顯可以看出要將其裂項為的形式,經(jīng)整理可得故有對c2k求和,我們可以將c2k裂項為其中k ∈N?.

四、小結(jié)

實際上,任何一個數(shù)列{an}都有以其為差分數(shù)列的原數(shù)列.至少其前n項和Sn即滿足an=Sn?Sn?1(n ∈N?且n≥2),因此,bn=Sn?1(n≥2),b1=0 就是{an}的一個原數(shù)列.所以,從理論上來講,裂項求和是可以解決我們遇見的所有的求和問題.但是,其難點就是找到這個數(shù)列的原數(shù)列,本質(zhì)上就是要找到其前n項和的形式.我們將數(shù)列求和與函數(shù)的定積分類比,通過函數(shù)的原函數(shù)形式判斷數(shù)列原數(shù)列的形式,然后用待定系數(shù)法確定之.