《數(shù)學(xué)通報》問題2688的探究與推廣

福建省漳州市廈門大學(xué)附屬實(shí)驗中學(xué)(363123) 章海輝 張奇鳳

1 引言

《數(shù)學(xué)通報》2022年第61 卷第10 期提出了一個有關(guān)雙曲線定點(diǎn)的問題2688 為:

問題已知雙曲線Γ:過Γ上的點(diǎn)作兩條斜率分別為k1,k2的直線,分別與Γ 交于P,Q兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)T),若k1+k2=2k1k2,求證:直線PQ過定點(diǎn).

本文從點(diǎn)T的位置、曲線的類型和斜率和與積的關(guān)系出發(fā),給出了問題的推廣與證明.

2 主要結(jié)論和證明

定理1已知橢圓Γ:過Γ 上的點(diǎn)T(x0,y0)作兩條斜率分別為k1,k2的直線,分別與Γ 交于P,Q兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)T),若k1,k2滿足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),則直線PQ的斜率為定值或直線PQ過定點(diǎn)

證明(1)當(dāng)直線PQ的斜率存在時,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為y=kx+m,將直線PQ的方程代入橢圓方程,整理得(k2a2+b2)x2+2ka2mx+a2m2?a2b2=0,所以從而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

因式分解得

若m?y0+kx0=0,即m=y0?kx0時,直線PQ的方程為y=kx+m=k(x?x0)+y0,此時直線PQ過定點(diǎn)T(x0,y0),舍去.

若(sb2?ta2)m+2rka2y0?ta2y0?tka2x0?sb2y0?skb2x0?2rb2x0=0,

①sb2?ta2=0 時,此時直線PQ的斜率為定值;

②sb2?ta20 時,有

直線PQ的方程為

此時直線PQ過定點(diǎn)

(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,設(shè)P(x1,y1),Q(x1,?y1),則有由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

綜上,結(jié)論成立.

定理2已知雙曲線過Γ 上的點(diǎn)T(x0,y0)作兩條斜率分別為k1,k2的直線,分別與Γ 交于P,Q兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)T),若k1,k2滿足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),則直線PQ的斜率為定值或直線PQ過定點(diǎn)

證明(1)當(dāng)直線PQ的斜率存在時,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為y=kx+m,將直線PQ的方程代入雙曲線方程,整理得(k2a2?b2)x2+2ka2mx+a2m2+a2b2=0,所以從而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

因式分解得

若m?y0+kx0=0,即m=y0?kx0時,直線PQ的方程為y=kx+m=k(x?x0)+y0,此時直線PQ過定點(diǎn)T(x0,y0),舍去.

若(sb2+ta2)m+ta2y0+tka2x0?sb2y0?skb2x0?2rb2x0?2rka2y0=0,

①sb2+ta2=0 時,此時直線PQ的斜率為定值;

②sb2+ta20 時,有

則直線PQ的方程為

此時直線PQ過定點(diǎn)

(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,則有設(shè)P(x1,y1),Q(x1,?y1),則有.由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

綜上,結(jié)論成立.

注記令r=1,s=?2,t=0,就是數(shù)學(xué)通報中問題2688 的證明.

定理3已知拋物線Γ:y2=2px(p >0),過Γ 上的點(diǎn)T(x0,y0)作兩條斜率分別為k1,k2的直線,分別與Γ 交于P,Q兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)T),若k1,k2滿足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),則直線PQ的斜率為定值或直線PQ過定點(diǎn).

證明(1)當(dāng)直線PQ的斜率存在時,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為y=kx+m,易知k ?=0,將直線PQ的方程代入拋物線方程得k2x2+(2km?2p)x+m2=0.所以.從而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,得

因式分解得

若m?y0+kx0=0,即m=y0?kx0時,直線PQ的方程為y=kx+m=k(x?x0)+y0,此時直線PQ過定點(diǎn)T(x0,y0),舍去.

若?tm+2spk+2rky0+2rp?ty0?tkx0=0 時,

②t ?=0 時,有則直線PQ的方程為

此時直線PQ過點(diǎn).

(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,則有設(shè)P(x1,y1),Q(x1,?y1),則有由r ·(k1+k2)+s · k1k2=t,整理得化簡得(x1?x0)(tx1?tx0+2sp+2ry0)=0,解得x1=x0(舍去),或此時直線PQ過定點(diǎn)綜上,結(jié)論成立.

注記在定理1-3 中,當(dāng)s=0 時,兩直線斜率之和為定值的情形,特別地,當(dāng)s=0,t ?=0 時,就是文[2]中的結(jié)論1,3,4;當(dāng)r=0 時,兩直線斜率之積為定值的情形,特別地,當(dāng)r=0,t ?=0 時,就是文[2]中的變式1,2,3;當(dāng)r ?=0,s=t時,為兩直線所成的夾角為定值的情形.