數(shù)學(xué)史視角下的四點(diǎn)共圓問題探究

張可新

摘要：四點(diǎn)共圓問題同時出現(xiàn)在初、高中幾何中，有著悠久的歷史淵源和豐富的解題技巧.考查該問題的歷史脈絡(luò)和證明技法，不僅有益于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，更能鍛煉學(xué)生的理性思維.本文運(yùn)用文獻(xiàn)研究法、文本分析法，比較國內(nèi)外幾何教材的異同，致力于數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；初中數(shù)學(xué)；四點(diǎn)共圓

近十年來，國內(nèi)學(xué)者在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的研究領(lǐng)域內(nèi)取得了豐碩的成果.其中，最受數(shù)學(xué)教育者關(guān)注的兩大主題是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價值和數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)踐.作為數(shù)學(xué)史在教育中的研究準(zhǔn)則，汪曉勤教授在《HPM研究的內(nèi)容與方法》一文中所提到的“數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究”理論指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教師在浩如煙海的數(shù)學(xué)史中選取有益于數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史材料.［1］數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究理論包括兩種方法，分別是“對數(shù)學(xué)史上經(jīng)典著作的研究”和“對早期數(shù)學(xué)教科書的研究”［2］，本文基于“對數(shù)學(xué)史上經(jīng)典著作的研究”，通過梳理四點(diǎn)共圓問題的發(fā)展歷史，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供史料，體現(xiàn)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的實(shí)踐價值.

1四點(diǎn)共圓問題的解題方法

在初中，判斷四點(diǎn)共圓問題多傾向于運(yùn)用純粹的幾何方法，以下5種方法為純粹的幾何方法的常見證明思路.

1.1定義法

根據(jù)圓的定義——“平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓”證明四點(diǎn)共圓.運(yùn)用圓的定義證明四點(diǎn)共圓的方法又有很多，具體可以參考《關(guān)于聯(lián)圓四邊形的充分必要性質(zhì)》一文［3］.本文只介紹國內(nèi)常見的兩種方法：在四點(diǎn)組成的四邊形中，“如果四條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，那么這四個點(diǎn)共圓”或者“如果三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，那么這四個點(diǎn)共圓”.

1.2對角互補(bǔ)法

判斷四點(diǎn)組成的四邊形的對角是否互補(bǔ)，進(jìn)而判斷四點(diǎn)是否共圓.具有同一原理的還有“具有公共邊的兩個三角形，若在公共邊同側(cè)則對應(yīng)角相等，若在公共邊異側(cè)則對應(yīng)角互補(bǔ)”和“四點(diǎn)組成的圖形是矩形和等腰梯形等對角之和為180°的特殊四邊形”等證明方法.

1.3圓冪定理

圓冪定理為相交弦定理、切割線定理和割線定理的統(tǒng)稱.以相交弦定理為例，設(shè)四點(diǎn)組成的四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點(diǎn)為P，如果AP·PC=BP·PD，那么四點(diǎn)共圓.

1.4托勒密定理

設(shè)四點(diǎn)組成的四邊形ABCD的對角線為AC和BD，如果四邊形的對角線和邊滿足：AB·DC+AD·BC=AC·BD，那么四點(diǎn)共圓.

1.5婆羅摩笈多公式

2四點(diǎn)共圓問題的歷史脈絡(luò)

2.1對角互補(bǔ)法與《幾何原本》

四點(diǎn)共圓問題的起源可以追溯到古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的名著《幾何原本》中.這本書的第三卷第22個命題（簡稱：命題22）寫到 “內(nèi)接于圓的四邊形，其對角的和等于兩直角之和”［4］.歐幾里得對該命題的描述如下：如圖1，設(shè)ABCD是同一個圓上的四點(diǎn)，四邊形ABCD是該圓的內(nèi)接四邊形，該四邊形的對角之和等于180度.他的證明思路如下：分別連接AC和BD，可知在任何三角形中，三個角之和等于180度.所以，在△ABC中∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°.又因?yàn)橥∷鶎?yīng)的圓周角相等，所以∠CAB=∠BDC，∠ACB=∠ADB.因此，∠ADC=∠BAC+∠ACB.所以∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.同理可得，∠BAD+∠DCB=180°.

歐幾里得的證明給解決四點(diǎn)共圓問題帶來了啟發(fā)，在初中階段證明四點(diǎn)是否共圓的常見方法就是證明“對角互為補(bǔ)角的四邊形內(nèi)接于圓”，這種方法和命題22互為逆定理［5］.和對角互補(bǔ)法的證明原理相同，“具有公共邊的兩個三角形，若在公共邊同側(cè)則對應(yīng)角相等，若在公共邊異側(cè)則對應(yīng)角互補(bǔ)”等方法也綜合了“同弦的圓周角相等或互補(bǔ)”和“反證法”來證明四點(diǎn)共圓.可見，有關(guān)于四點(diǎn)共圓的數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到了引導(dǎo)作用.

在歐幾里得的影響下，四點(diǎn)共圓問題的歷史發(fā)展脈絡(luò)延展到了聯(lián)圓四邊形（Cyclic quadrilateral）的研究中.聯(lián)圓四邊形，又稱為圓的內(nèi)接四邊形，是四個頂點(diǎn)都在同一個圓上的幾何圖形.在聯(lián)圓四邊形的研究中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)聯(lián)圓四邊形的一些性質(zhì)和“四邊形是聯(lián)圓四邊形”互為充分必要條件，如前文所介紹的對角互補(bǔ)法、相交弦定理和婆羅摩笈多公式以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中不常見的西姆松定理都是數(shù)學(xué)家在研究聯(lián)圓四邊形性質(zhì)（如角度關(guān)系、長度關(guān)系、面積關(guān)系后）的過程中發(fā)現(xiàn)的還可以用于解決其他問題，如四點(diǎn)共圓問題的方法.

而有別于在聯(lián)圓四邊形的框架內(nèi)研究四點(diǎn)共圓，一些數(shù)學(xué)家是因?yàn)槠渌麕缀螁栴}或者生產(chǎn)生活需要提出了一些理論，后人發(fā)現(xiàn)他們所研究的理論可以用于解決四點(diǎn)共圓問題，這其中就有第一個系統(tǒng)研究“圓冪理論”的瑞士幾何學(xué)家施泰納和記載“托勒密定理”的古希臘天文學(xué)家托勒密.

2.2圓冪定理與圓冪理論

與對角互補(bǔ)法的起源相同，相交弦定理最早也出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》中.在這本幾何著作的第三卷第35個命題（簡稱：命題35）中，歐幾里得提出了“如果在一個圓內(nèi)有兩條相交的弦，把其中一條分成兩線段使其構(gòu)成的矩形面積等于另一條分成兩線段構(gòu)成的矩形面積”［4］.

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《幾何實(shí)踐》中的第45個命題是這么解釋歐幾里得提出的命題35：“如果在一個圓內(nèi)有兩條相交的線，那么第一條線的第一部分與另一部分的乘積等于另一條線的第一部分與另一部分的乘積.如歐幾里得的《幾何原本》描述如下：如圖2，在圓ABCD中，兩條直線AC和BD相交于某個點(diǎn)E.AE和EC的乘積等于BE與ED的乘積.”［6］

歐幾里得和斐波那契所提出的命題正是如今所謂的相交弦定理.相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理.圓冪定理在解決極化恒等式、米勒問題和四點(diǎn)共圓問題中均有不俗的作用.［7］和相交弦定理一樣作為圓冪定理的形式之一的切割線定理被歐幾里得編為第36個命題（簡稱：命題36），出現(xiàn)在《幾何原本》的第三卷中：《幾何原本》第三卷

“如果圓外的一點(diǎn)向圓作兩條直線，其中一條與圓相切另一條過圓心，則由圓截得的整個線段與圓外定點(diǎn)到凸弧之間的線段構(gòu)成的矩形面積，等于切線所構(gòu)成的正方形面積.”如圖3，在第三卷的第36個命題中，歐幾里得提出AD·CD=BD2.雖然相交弦定理和割線定理出現(xiàn)在古希臘，然而系統(tǒng)的研究有關(guān)“冪”的理論的提出卻是由瑞士著名數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家雅各布·施泰納（Jakob Steiner）開始的.

1826年，施泰納在數(shù)學(xué)領(lǐng)域第一份純數(shù)學(xué)期刊《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)期刊》的創(chuàng)刊卷純粹數(shù)學(xué)的幾何章節(jié)發(fā)表了幾何學(xué)上的重要論文《若干幾何考察》（如圖4）.在這篇論文中，他致力于解決阿波羅尼奧問題、馬爾法蒂問題和古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯的《數(shù)學(xué)匯編》第四卷第15個定理的證明.從內(nèi)容上劃分，這篇論文主要分為四個部分，其中第一部分便是關(guān)于解決這些幾何問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).在這一部分中，他介紹了冪理論.延承歐幾里得的命題35和命題36，施泰納將兩條線段的乘積稱為點(diǎn)關(guān)于圓的冪.［8］而關(guān)于冪理論的引入，他是這樣做的［9］：

其次，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于圓的冪理論，按照點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，施泰納把點(diǎn)關(guān)于圓的冪分為外部冪（《若干幾何考察》圖編號9）和內(nèi)部冪（《若干幾何考察》圖編號10），對應(yīng)著在歐幾里得的命題35和命題36基礎(chǔ)上發(fā)展的“相交弦定理”和“切割線定理”.在圓冪定理的基礎(chǔ)上，施泰納將點(diǎn)到圓心的距離和點(diǎn)到圓的冪聯(lián)系起來.他提出“到圓心相等的點(diǎn)關(guān)于該圓的冪相等”，進(jìn)而他將圓周上的點(diǎn)關(guān)于圓的冪的大小定義為0.

2.3托勒密定理與弦表

與施泰納系統(tǒng)研究圓冪理論是為了解決其他幾何問題相同，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家托勒密運(yùn)用托勒密定理是為了制作 “弦表”（table of chords）.弦表被譽(yù)為《天文學(xué)大成》中最重要的工作之一，它反映了圓弧與其對應(yīng)弦的關(guān)系，是現(xiàn)代正弦函數(shù)的萌芽和發(fā)端.在《天文學(xué)大成》的第一卷第10章中，托勒密解釋了如何在一個圓中構(gòu)造一張弦表的詳細(xì)過程，并在第11章中給出了完整的弦表.托勒密的弦表是現(xiàn)存最早的弦表樣本，并且他關(guān)于弦表的構(gòu)造的解釋是我們知道的關(guān)于早期三角學(xué)的最早的文獻(xiàn).［12］

在美國數(shù)學(xué)史家圖默（G. J. Toomer）的翻譯著作《托勒密的天文學(xué)大成》中托勒密寫到：“我認(rèn)為第一個應(yīng)該確定的是黃道和赤道的兩極之間弧的大小.但是，在此之前，需要解釋確定弦的大小的方法.”［13］特勒密通過以下三步計(jì)算不同角度對應(yīng)的弦長，進(jìn)而構(gòu)建弦表：

首先，他根據(jù)《幾何原本》的第十三卷的命題10：“如果有一個內(nèi)接于圓的等邊五邊形，以其一邊為邊的正方形等于以內(nèi)接于同圓的正六邊形一邊為邊的正方形與以內(nèi)接同圓的正十邊形一邊為邊的正方形的和”計(jì)算出了在直徑為120單位長度下的弧度為36°和72°的弦長分別為37;4，55和70;32，3.

3結(jié)語

解決四點(diǎn)共圓問題的方法橫跨平面幾何的數(shù)個分支：除了聯(lián)圓四邊形研究下的對角互補(bǔ)法、圓冪理論下的圓冪定理、三角函數(shù)下的托勒密定理，還有共圓點(diǎn)問題的研究.在高中階段解析幾何的視角下，雖然四點(diǎn)共圓問題和退化二次曲線聯(lián)系在一起，但是證明的關(guān)鍵往往還是在初中階段所提供的方法.而在高等數(shù)學(xué)視角下，非退化二次曲線的四點(diǎn)共圓問題又可以和矩陣是否有解聯(lián)系起來.可見，學(xué)習(xí)和了解四點(diǎn)共圓解題方法的歷史，不僅加強(qiáng)了初中數(shù)學(xué)整體的內(nèi)部聯(lián)系，也使得學(xué)生可以沿著數(shù)學(xué)史這棵參天大樹向著更高等的數(shù)學(xué)進(jìn)發(fā).參考文獻(xiàn)：

［1］ 汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006（1）：1618.

［2］ 沈中宇.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的現(xiàn)狀、特征與展望——基于ICME14的分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021，463（12）：13.

［3］ Fraivert D， Sigler A， Stupel M. Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral［J］. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology， 2020， 51（6）： 913938.

［4］ 歐幾里得，著.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.幾何原本［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

［5］ 劉薰宇.初級中學(xué)課本平面幾何［M］.北京：人民教育出版社，1953.

［6］ Hughes Barnabas. Fibonaccis De practica geometrie［M］. New York， NY： Springer New York， 2008.

［7］ 朱成萬.圓冪定理與著名幾何問題的聯(lián)系及解題妙用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021，478（19）：4346.

［8］ Lorenat J. Synthetic and analytic geometries in the publications of Jakob Steiner and Julius Plücker （1827—1829）［J］. Archive for History of Exact Sciences， 2016， 70（4）： 413462.

［9］ Steiner J. Einige geometrischen Betrachtungen［J］. Journal für die reine und angewandte Mathematik， 1826， 1（2）： 161182.

［10］ Johnson R A. Advanced Euclidean Geometry （formerly Titled： Modern Geometry）［M］. Dover Publications， 1960.

［11］ 范瑞喜，鄧博文.平面幾何［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

［12］ 鄧可卉.托勒密《至大論》研究［D］.西北大學(xué)，2005.

［13］ Toomer G. J. Ptolemys almagest［M］. Princeton： Princeton University Press， 1998.

［14］ 王輝.托勒密體系之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)研究［D］.西北大學(xué)，2001.