波利亞解題思想下GeoGebra輔助數(shù)學(xué)解題教學(xué)

寧紹鵬　羅李平

摘要：學(xué)生能在解題過(guò)程中，獲得數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及基本思想，并提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本文聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，嘗試在波利亞“怎樣解題表”的指引下，借助GeoGebra解決一道三角函數(shù)試題，以期為數(shù)學(xué)教師優(yōu)化解題教學(xué)以及將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)課堂提供實(shí)踐參考.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；GeoGebra；波利亞解題思想；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂重要的組成部分，同時(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題可為學(xué)生鞏固、深化數(shù)學(xué)內(nèi)容提供思維的材料.在解題教學(xué)中要聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想已學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)基本思想.只有具備了“四基”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得以發(fā)展［1］.學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成并不能一蹴而就，需要在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用過(guò)程中逐步養(yǎng)成.高中數(shù)學(xué)題目難度大，復(fù)雜度高，難于理解，且解答步驟較長(zhǎng).教師選擇典型性數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行講解，能夠減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，有利于學(xué)生舉一反三地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，避免陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”的困局.

談到解題教學(xué)，繞不開的便是數(shù)學(xué)教育家波利亞.波利亞將其解題思想提煉為“怎樣解題表”，為解題提供了具體的思路.該表不僅包含數(shù)學(xué)解題的一般規(guī)律，而且還蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中元認(rèn)知的“味道”，把數(shù)學(xué)解題的過(guò)程描述成四個(gè)階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧，并且在每個(gè)階段設(shè)置了一連串的啟發(fā)性問(wèn)題以引導(dǎo)學(xué)生如何思考［2］.

教師在教學(xué)中要充分考慮高中生的理解接受能力，借助直觀的方式幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟其中的邏輯關(guān)系.如今以板書為主要呈現(xiàn)方式的講授方式在教學(xué)受到了一定的限制，但信息技術(shù)能幫助教學(xué)突破限制.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中也提到“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.例如，利用計(jì)算機(jī)展示函數(shù)圖象、幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程”［1］.

在一線教師接觸的眾多數(shù)學(xué)教育軟件中，GeoGebra脫穎而出.GeoGebra作為一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，適用學(xué)習(xí)階段包括小學(xué)、初中、高中乃至大學(xué)，功能上也覆蓋了函數(shù)、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率且做到了聯(lián)動(dòng).2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材也將其作為主要的信息技術(shù)工具進(jìn)行演示，也推薦學(xué)生和教師使用它進(jìn)行探索學(xué)習(xí).由于GeoGebra具有適用范圍廣、功能強(qiáng)大、多平臺(tái)免費(fèi)使用等顯著優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)教師們也開始積極主動(dòng)將其融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂［3］.

1問(wèn)題呈現(xiàn)

2教學(xué)過(guò)程

師：這個(gè)問(wèn)題讓人摸不著頭腦，可以嘗試?yán)貌ɡ麃啞霸鯓咏忸}表”來(lái)解決問(wèn)題.“怎樣解題表”的四個(gè)步驟依次為理解題意、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧.實(shí)際上這四步也是四條指示語(yǔ)，引導(dǎo)我們?nèi)绾谓忸}.

2.1理解題意

有效地審題能夠快速找出問(wèn)題的切入點(diǎn)，因此解決問(wèn)題第一步便是要求認(rèn)真挖掘題目中的條件.通過(guò)反復(fù)閱讀題目，抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵字眼，將問(wèn)題用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)，更能觀察到條件某些等式的特征，才能建立起恰當(dāng)?shù)穆?lián)想，發(fā)現(xiàn)解題的思路，使用數(shù)學(xué)方法與思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.也只有對(duì)問(wèn)題有了透徹的認(rèn)識(shí)，才能開始下一步擬定計(jì)劃.需要注意的關(guān)鍵問(wèn)題有：這是什么類型的題目？已知條件、結(jié)論是什么？隱藏信息有哪些？需不需要作圖？

2.2擬定方案

擬定方案需要學(xué)生利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，能夠?qū)?wèn)題簡(jiǎn)化，即將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)可以解決的小問(wèn)題，這是能夠能否順利解題的關(guān)鍵所在.在擬寫方案時(shí)要考慮問(wèn)題的條件與結(jié)論兩方面，靈活結(jié)合分析法與綜合法，使得問(wèn)題的條件與結(jié)論有效鏈接.需要注意的關(guān)鍵問(wèn)題：見(jiàn)過(guò)類似的問(wèn)題嗎？涉及什么數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)？涉及什么數(shù)學(xué)思想方法？充分利用條件了嗎？

2.3執(zhí)行計(jì)劃

擬定方案下一步便是實(shí)施方案，將探索出來(lái)的方案按照規(guī)范執(zhí)行.雖說(shuō)是按照方案實(shí)施便可，但是其中的規(guī)范要求也很多.第一，在解題的過(guò)程中正確使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行計(jì)算推理，規(guī)范書寫；第二，計(jì)算過(guò)程要準(zhǔn)確且快；第三，推理論證要依靠公理定理；第四，依照題意作圖，詳略得當(dāng).需要注意的關(guān)鍵問(wèn)題：這一步推理或計(jì)算正確嗎？證明用到了什么公式或定理？計(jì)算用到了什么公式知識(shí)？

2.4回顧

解題最后的環(huán)節(jié)是回顧，看似多余的一步，實(shí)則舉足輕重.一方面，解題后回顧能及時(shí)糾正錯(cuò)誤，鍛煉學(xué)生的檢查能力；另一方面，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行引申、推廣、變形，能夠使學(xué)到的方法技能思想運(yùn)用到更大范圍內(nèi)，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).注意到關(guān)鍵問(wèn)題：檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果正確嗎？有沒(méi)有其他的方式能得到這個(gè)結(jié)果？有沒(méi)有更快捷的方法？這個(gè)結(jié)論能進(jìn)一步引申嗎？

3GeoGebra操作過(guò)程

4結(jié)語(yǔ)

在解題教學(xué)中，教師可以大致按照波利亞“怎樣解題表”的四個(gè)步驟開展教學(xué)活動(dòng).教師將“怎樣解題表”與數(shù)學(xué)問(wèn)題連接起來(lái)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理有著重要作用.教師在依照“怎樣解題表”教學(xué)時(shí)，要注意設(shè)置合理的問(wèn)題串，展現(xiàn)不同知識(shí)的邏輯關(guān)系.通過(guò)設(shè)置循序漸進(jìn)的問(wèn)題串，將復(fù)雜的過(guò)程分解成一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，有助于學(xué)生從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中找到與之關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，并運(yùn)用到問(wèn)題解答當(dāng)中去，為學(xué)生擬定方案降低了難度.“怎樣解題表”最后一步回顧是對(duì)解題活動(dòng)的反思，是解題活動(dòng)的元認(rèn)知.回顧是更高級(jí)的思維活動(dòng)，在這個(gè)階段學(xué)生經(jīng)歷一題多變、一題多解的過(guò)程，不斷完善數(shù)學(xué)知識(shí)技能與方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的指引作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在解題教學(xué)中，當(dāng)遇到難以突破的障礙時(shí)，不妨考慮使用GeoGebra軟件.縱觀整個(gè)過(guò)程，GeoGebra的操作沒(méi)有很復(fù)雜，通過(guò)動(dòng)態(tài)形象的方式，使學(xué)生清楚地看到某些參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，幫助學(xué)生突破了想象的限制，進(jìn)而幫助學(xué)生更高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象有極大幫助.同時(shí)，GeoGebra融入數(shù)學(xué)解題教學(xué)彌補(bǔ)傳統(tǒng)板書教學(xué)的不足，優(yōu)化了教學(xué)過(guò)程，活躍了課堂氛圍.教師可以考慮將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中去，并與傳統(tǒng)解題教學(xué)對(duì)比，取長(zhǎng)補(bǔ)短，為課堂增效.參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 李淵.基于波利亞解題表的解題研究——以一道導(dǎo)數(shù)極值偏移題為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（24）：6466.

［3］ 楊林，劉梅.簡(jiǎn)單易學(xué)的開源動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——GeoGebra［J］.中國(guó)信息技術(shù)教育，2018（10）：5659.