廣義Jacobi恒等式與幾何括號的剛性定理的證明

王 根

（廈門大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院，福建廈門 361005）

Hamilton 結(jié)構(gòu)起源于經(jīng)典力學(xué),它使經(jīng)典力學(xué)的相空間可以在有限偶數(shù)維上得到較好的處理,任意維上的廣義Hamilton 系統(tǒng)(GHS)是定義在偶數(shù)維上的經(jīng)典Hamilton 系統(tǒng)的自然推廣且擴大了經(jīng)典力學(xué)的研究范圍[1-4]。它是建立在無限維廣義Ρoisson 括號(GΡB)的基礎(chǔ)上的。由于廣義Hamilton 系統(tǒng)基本理論體系框架并不完善，經(jīng)常有實際問題不能用廣義Hamilton 系統(tǒng)表達(dá)。所以很多學(xué)者研究帶附加項的廣義Hamilton 系統(tǒng)[5-12]。廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號(GSΡB)改進(jìn)和拓展了廣義Ρoisson 括號,它具有幾何勢函數(shù)的特殊結(jié)構(gòu)性，從而得到了廣義協(xié)變Hamilton 系統(tǒng)(GCHS),廣義協(xié)變Hamilton 系統(tǒng)是定義在任意維上的廣義Hamilton 系統(tǒng)的自然推廣，使廣義Hamilton 系統(tǒng)的基本理論體系框架變得更完善[2,13]。廣義協(xié)變Hamilton 系統(tǒng)可以廣泛地應(yīng)用于物理，應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域。

1 廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號與廣義Jacobi恒等式

?r上的廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號(GSΡB)定義為[2,13]

其中幾何括號

式中幾何標(biāo)量勢函數(shù)s只表示流形本身的屬性,以及?r上的廣義Ρoisson 括號(GΡB)[1,3,4]定義為

式中：i,j=1,2,…,n,結(jié)構(gòu)矩陣Jij(x)=-Jji(x)。因此，廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號分為兩部分表示如下：

廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號=廣義Ρoisson 括號+幾何括號。

對于廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號{f,g} 退化為廣義Ρoisson 括號{f,g}GPB有以下兩種情況：

（1）當(dāng)s=0或者s=常數(shù)時，發(fā)生平凡退化；

（2）當(dāng)幾何勢函數(shù)s=ln(g/f)，fg＞0 或者s=ln(-g/f)，fg＜0時，發(fā)生非平凡退化；

文章采用Einstein約定求和法。

定義1[2,13]設(shè)M為n維的光滑流形,M上的廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號{},是一個光滑映射,滿足：（1）雙線性；（2）反對稱性；（3）廣義Leibniz 恒等式；（4）廣義Jacobi 恒等式，具有廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號結(jié)構(gòu)的流形M,稱為廣義Ρoisson流形,記為(M,{}),簡記為M。

設(shè)廣義 Ρoisson 流形的局部坐標(biāo)為x=(x1,…,xn)T，關(guān)于局部坐標(biāo)x的廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)的整體形式寫為

廣義協(xié)變Hamilton 系統(tǒng)又由兩部分構(gòu)成，完整的廣義Hamilton系統(tǒng)與S-動力學(xué)分別為

式中：bk=Jjk Aj=-ck，對于坐標(biāo)的完整廣義Hamilton系統(tǒng)為dxk/dt==Jkj?jH+Hck

定義2[2,4]設(shè)C:P→? 為非常數(shù)的光滑函數(shù).如果對所有的可微函數(shù)f:P→?,都有{C,f}GPB=0，則C稱為Ρoisson流形P上的Casimir函數(shù)。

其中由廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號給出的廣義Jacobi恒等式是廣義Ρoisson 括號給出的Jacobi 恒等式I(f,g,h)=0 的自然延伸。本文將基于廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號所給出的廣義Jacobi 恒等式，證明在幾何勢函數(shù)為Casimir 函數(shù)的特殊條件下的廣義Jacobi恒等式的具體表達(dá)式，同時證明了一個有關(guān)幾何括號的剛性定理以及一系列推論。

2 主要結(jié)果與證明

2.1 廣義Jacobi恒等式與Casimir 函數(shù)

定理1對于f,g,h,s∈C∞(M)，若幾何勢函數(shù)s為Casimir 函數(shù)，則廣義Jacobi恒等式為

顯然，當(dāng)幾何勢函數(shù)s為Casimir 函數(shù)，廣義Leibniz 恒等式此時符合Leibniz 恒等式的一般形式，在這種界定之下，廣義Jacobi 恒等式可以得到簡化，使之具有可以計算的可能性。

推論1對于f,g,h,s∈C∞(M)，若幾何勢函數(shù)s為Casimir 函數(shù)，則有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，由于幾何勢函數(shù)s為Casimir 函數(shù)，則{s,f}GPB=0，

輪換函數(shù)f,g,h，并相加三式即可得證。

顯然，當(dāng)幾何勢函數(shù)s為Casimir 函數(shù)時，易得一個與幾何括號相關(guān)的恒等式，顯然，這是一個隱性的恒等式，同時也說明了Casimir 函數(shù)的特殊角色。

2.2 幾何括號的剛性定理與推論的證明

更一般的，可以證明一個有關(guān)幾何括號的剛性定理如下：

定理2對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：由于f,g,h,s∈C∞(M)，計算幾何括號

式中運用了廣義Ρoisson 括號下的Leibniz 恒等式

輪換函數(shù)f,g,h，分別得到G(s,g,G(s,h,f)),G(s,h,G(s,f,g))，相加三式即可得證。

顯然，剛性定理對于幾何勢函數(shù)沒有特別的額外要求，這是一個與幾何括號相關(guān)的更鐵的隱性恒等式。推論1是定理1的一種特殊情況。同時，這也說明幾何括號與廣義Ρoisson 括號作為兩個彼此并列的括號形式，具有相似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)約束，因此，對于f,g,h,s∈C∞(M)，(1)進(jìn)一步簡化為

因此，廣義Jacobi恒等式可以緊致的簡寫為

同時，可以推導(dǎo)出以下結(jié)論：

推論2對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，則有

輪換函數(shù)f,g,h，則有

三式相加即可得證。

推論3對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，則有

輪換函數(shù)f,g,h，以及代入定理2 與推論2，即可得證。

很顯然，通過分析推論2 和推論3 的表達(dá)形式，易知這完全是屬于幾何括號與廣義Ρoisson 括號相互聯(lián)系的結(jié)果，具有一定的美感性，更重要的是幾何勢函數(shù)起到了溝通橋梁的作用，將流形上的三個可微函數(shù)的相互作用聯(lián)系了起來。

3 結(jié)論與展望

基于對廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號與廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)理論的相關(guān)分析與討論，研究了幾何勢函數(shù)為Casimir 函數(shù)這一具體給定條件下的廣義Jacobi恒等式的具體表達(dá)式，以及幾何括號在Casimir 函數(shù)條件下的一個特殊恒等式。由于廣義Ρoisson 括號給出的Jacobi 恒等式具有良好的特性，證明了幾何括號在無任何限制條件下的一個普遍剛性結(jié)論，這個恒等式具有與Jacobi恒等式相似的特征，說明了幾何括號與廣義Ρoisson 括號具有并列的研究特性，基于此相似的特點，普遍地證明了有關(guān)幾何括號與廣義Ρoisson 括號相互作用的一系列推論，得到了一些結(jié)構(gòu)優(yōu)美的恒等式。這極大地拓廣了廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)的應(yīng)用前景與研究深度。這說明了對于廣義結(jié)構(gòu)Ρoisson 括號與廣義協(xié)變Hamilton 系統(tǒng)理論還有待更深入的研究與討論如對稱性研究，Mei 對稱性，規(guī)范型形式研究等等。