子群的弱m-σ-置換性在飽和群系方面的應(yīng)用

施智杰，馬小箭，毛月梅

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

一直以來，群論學(xué)者最熱衷的研究課題之一是利用子群的可補(bǔ)性和置換性來探究有限群的結(jié)構(gòu)。2015年，A.N.Skiba教授和郭文彬教授提出σ-可解群理論以后，可解群中有關(guān)子群的許多置換性和可補(bǔ)性被推廣，比如s-置換子群推廣為σ-置換子群[1]，s-條件置換性推廣為σ-條件置換性[2]，m-s-置換性推廣為m-σ-置換性[3]，弱s-置換子群推廣為弱σ-置換子群[4]等等。因此文[3]將子群的m-σ-置換性和弱σ-置換性相結(jié)合，提出了弱m-σ-置換子群這一新的概念，應(yīng)用子群的弱m-σ-置換性質(zhì)研究了有限群的結(jié)構(gòu)，給出σ-可解和σ-超可解的一些新的刻畫。在此基礎(chǔ)上，通過研究子群的弱m-σ-置換性來刻畫有限群的結(jié)構(gòu)。通過討論群G中σi-子群的弱m-σ-置換性，給出了群G屬于所有超可解群構(gòu)成的飽和群系的充分條件。文章所討論的群G均是有限群，未交待的概念和符號(hào)參見文獻(xiàn)[5-7]。

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹σ-可解群理論中的一些基本概念和符號(hào)[1,8]。假定σ={σi|i∈I}是全部質(zhì)數(shù)集合的一個(gè)劃分，并設(shè)?≠Π ?σ，同時(shí)記

設(shè)M≤G，L(G)是由群G的所有子群組成的格，并且滿足M∈L(G)，即有如下條件成立：

（1）對所有的X≤G,Z≤G且X≤Z，有

（2）對所有的Y≤G,Z≤G且M≤Z，有

定義1.1[3]假設(shè)K是G的任一子群。

（1）如果G中有模子群M和σ-置換子群S滿足K=則稱K在G中是m-σ-置換的；

（2）如果G中存在m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=KT，并且K?T≤S≤K，則稱K在G中是弱m-σ-置換的。

下面介紹文章中用到的一些引理。

引理1.2[3]設(shè)A,B≤G，RG，其中A在G中是弱m-σ-置換的。

（1）若R≤A或(|R|,|A|)=1，那么ARR是GR的弱m-σ-置換子群；

（2）假定A≤B,若BG或者G是具有Sylow 型的σ-完全群，那么A在B中是弱m-σ-置換的；

（3）假定G是具有Sylow 型的σ-完全群，并且R≤B。如果BR在GR中是弱m-σ-置換的，那么B在G中是弱m-σ-置換的。

引理1.3[9]如果H是群G的模子群，那么介于HG和HG之間的G的每個(gè)主因子都是循環(huán)的。

引理1.4[1,4,8]設(shè)H≤G,RG，S是G的σ-次正規(guī)子群。

（1）那么H?S在H中是σ-次正規(guī)的；

（2）SRR在GR中是σ-次正規(guī)的；

（3）如果H是一個(gè)Hall Π-子群，并且S不是Π'-子群，那么S?H是S的Hall Π-子群；

（4）若G是σ-完全群，S是一個(gè)σi-群（或σ-冪零群），那么S≤Oσi(G) (或S≤Fσ(G))；

（5）假定H是G的一個(gè)σi-子群，那么H是σ-置換的當(dāng)且僅當(dāng)Oσi(G)≤NG(H)。

2 主要結(jié)果

命題1設(shè)G是具有Sylow 型的σ-完全群，={H1,H2,…,Ht} 是G的一個(gè)完備Hallσ-集，其中每個(gè)Hi是冪零群。如果G的每個(gè)非循環(huán)的Hallσi-子群的每個(gè)極大子群在G中都是弱m-σ-置換的，那么G是σ-可解群。

證明假設(shè)定理不成立，對G用極小階反例。

首先說明G中不存在σ-準(zhǔn)素的極小正規(guī)子群。假設(shè)G中存在σ-準(zhǔn)素的極小正規(guī)子群N，下面證明GN是σ-可解群。顯然，

假定p是|G|的最小素因子，不失一般性，可設(shè)p∈σ1。若(H1)G≠1，因H1是冪零群，故H1中存在G的σ-準(zhǔn)素的極小正規(guī)子群，與上述結(jié)論矛盾，因此(H1)G=1。顯然，H1是非循環(huán)的，若否，由[7，第II章，定理5.5]知，G是p-冪零的，并由此得G是可解的，又一矛盾，因此H1是非循環(huán)的。設(shè)M是H1的極大子群且滿足|H1:M|=p，那么由命題假設(shè)知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=MT，并且M?T≤S≤M。由m-σ-置換子群定義知S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群。顯然，AG,BG≤SG≤(H1)G=1。因?yàn)镚的極小正規(guī)子群是非循環(huán)的，所以由引理1.3 知A=1，從而S=B是G的σ-置換子群。進(jìn)而由引理1.4（4）知Oσi(S) ≤Oσi(G)=1，即S=1，那么 有M?T=1。這就推得T含有p階Sylowp-子群，再由[7，第II 章，定理5.5]知，T是p-冪零群。設(shè)C是T的正規(guī)p-補(bǔ)，那么易知C是G的σ-次正規(guī)的Hallσ′1-補(bǔ)，因此由Feit-Thompson 奇階定理知C是可解子群，再由[1，引理2.6（10）]知C正規(guī)于G，從而得G中存在σ-準(zhǔn)素的極小正規(guī)子群，與前面結(jié)論矛盾。命題得證。

證明假設(shè)定理不成立，并設(shè)(G,E)是使得|G|+|E|最小的反例。設(shè)P是E的Sylowp-子群，其中p是|E|的最小素因子。不失一般性，可設(shè)P≤H1?E。按以下步驟完成證明：

（1）若N是G的包含于E的極小正規(guī)子群，那么N是非循環(huán)的且是唯一的，同時(shí)有N?Φ(G)。

（2）E是超可解群。

假設(shè)E是非超可解群。如果E≠G，那么由引理1.2（2）知(E,E)滿足定理?xiàng)l件，從而知E是超可解群，與假設(shè)矛盾，所以E=G，那么由命題1知，G是可解的，所以G的極小正規(guī)子群N是素?cái)?shù)階交換群。不妨設(shè)N是一個(gè)q-群，且q∈σi，那 么N≤Hi。由（1）知N?Φ(G)，因此存在G的極大子群M滿足G=N?M，從而有Hi=N?(Hi?M)。因?yàn)镠i是冪零群，所以存在N的極大子群N1滿足N1Hi。顯然，V=N1(Hi?M)是Hi的極大子群，因此由定理假設(shè)知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=VT，并且V?T≤S≤V。易見，V?T=S?T，從而有N?V=N1，且VG=1。因?yàn)镚是可解的，所以Hi在G中有補(bǔ)，不妨設(shè)其補(bǔ)子群為C。又|σ(G) |＞1，并且|G:T|=|V:V?T|是一個(gè)σi-數(shù)，所以N≤CE≤T，從而有

因?yàn)镾=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群，所以AG≤VG=1。因此由（1）和引理1.3 知A=1，故此時(shí)S=B是G的σ-置換子群，那么由N1=N?S知，N1是G的σ-置換子群。因此對任意的σj∈σ(G)，當(dāng)σj≠σi時(shí)，均有N1Hj=HjN1，即N1Hj成群，從而有

進(jìn)一步知，Hj≤NG(N1)，又N1Hi，所以得N1G，這就迫使|N|=q，與（1）中N是非循環(huán)的矛盾，所以假設(shè)E是非超可解群不成立，故E是超可解群。

（3）設(shè)q是 |E|的最大素因子，Q是E的Sylowq-子群。不失一般性設(shè)Q≤Hi，那么Q=N=(E)=E?(G)是G的極小正規(guī)子群。

（4）最后矛盾。

首先說明Q=E=P。若Q＜E，那么顯然有Q≤Hi?E。因?yàn)镠i是冪零群，所以可令Q1是Q的極大子群且滿足Q1Hi。首先假定Q=Hi?E，由（1）和（3）知Q是非循環(huán)的，那么由定理假設(shè)知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=Q1T，并且Q1?T≤S≤Q1。因?yàn)镾=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群，因此由（1）和引理1.3知A=1，故此時(shí)S=B是G的σ-置換子群。由引理1.4（3）知，對任意的x∈G，當(dāng)j≠i時(shí)都有≤T，即Hj≤TG，這表明TG≠1，從而由（1）和（2）知Q≤T，故G=T，從而Q1=S是G的σ-置換的σi-群，那么由引 理1.4（5）知(G) ≤NG(Q1)，又Q1Hi，所 以Q1G，由Q是G的極小正規(guī)子群知Q1=1，即Q循環(huán)，這與（1）矛盾。因此假定Q ＜Hi?E。因?yàn)镠i?E是冪零群，所以Hi?E=Q×U，其中U是Q在Hi?E中的正規(guī)q-補(bǔ)。令V=Q1U，那么

所以V是Hi?E的極大子群，由定理假設(shè)知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=VT，并且V?T≤S≤V。類似于前面的討論有Q≤T，所以

從而知Q1是G的σ-置換的σi-群，類似于上面的討論知Q循環(huán)，又是一矛盾，所以Q=E。從而知Q=E=P是G的極小正規(guī)子群。

設(shè)P1是P的極大子群且滿足P1-?Hi，由定理假設(shè)知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規(guī)子群T滿足G=P1T并且P1?T≤S≤P1。類似于上面的討論可得P是循環(huán)的，再一次與（1）矛盾。定理得證。

本定理的結(jié)論可以推廣文[11]中的定理1 和文[12]中的定理1.3。

3 結(jié)束語

文章將可解群中應(yīng)用子群的廣義置換性研究有限群結(jié)構(gòu)的問題推廣到σ-可解群中，應(yīng)用σ-置換群和σ-次正規(guī)群的定義和相關(guān)性質(zhì)以及有限群論常用的研究方法，結(jié)合模子群的概念和性質(zhì)，通過討論群G中Hallσi-子群的極大子群的弱m-σ-置換性，給出了G屬于所有超可解群構(gòu)成的飽和群系的結(jié)論，并且推廣了之前的部分成果。