抓住轉(zhuǎn)化 以不變應(yīng)萬變

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生對知識的理解與問題的解決進行有效的探索，在探求中完善知識體系，滲透數(shù)學(xué)思想方法.作為運用較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法——轉(zhuǎn)化，在教師的合理引導(dǎo)下，能夠幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)問題化難為易，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，最終運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化；轉(zhuǎn)化思想；思想方法；應(yīng)用意識

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0005-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：王奇彥（1990.9-），江蘇省昆山人，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力是初中數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo).在教學(xué)過程中，長期滲透數(shù)學(xué)思想，才能收到良好的教學(xué)效果.本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為載體，淺談筆者在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的幾點體會.

1 在知識體系建構(gòu)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教材中的概念、法則、公式、性質(zhì)等知識都是有“形”的，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識體系里，是無“形”的，關(guān)鍵是教師如何去發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘教材中蘊含的思想方法.轉(zhuǎn)化思想作為最活躍、最常用的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進行推廣是必須的［1］.

古往今來，數(shù)學(xué)知識從來都不是孤立存在的，而是一脈相承、緊密聯(lián)系的.數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法又是密不可分的，后者附著于前者而存在.初中生掌握的知識比較零散，初中數(shù)學(xué)教學(xué)更要幫助學(xué)生建構(gòu)思維體系，學(xué)會進行數(shù)學(xué)思考.筆者在教學(xué)過程中注重學(xué)生思維體系的構(gòu)建，注重學(xué)生解決問題策略的多樣化，并滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

例如，在用“邊邊邊”證明三角形全等的教學(xué)中，筆者讓學(xué)生根據(jù)已知條件畫出相應(yīng)的三角形，教師在觀察學(xué)生作品的同時，提出問題：“我發(fā)現(xiàn)大家畫的三角形的大小和形狀都非常接近，是不是一樣的呢？”請部分學(xué)生看看其他同學(xué)所畫的三角形，回答老師的疑問，答案是肯定的.

另外，筆者請學(xué)生思考：采用什么方法可以說明大家畫的三角形是全等的呢？學(xué)生暢所欲言，有的說采用“邊角邊”的方法證明，有的說采用“角邊角”的方法證明，有的說采用“角角邊”的方法證明，也有的說利用疊合法，把幾位同學(xué)的三角形剪下來，看能否完全重合來判斷全等.對以上這些方法，教師應(yīng)充分肯定和重點說明.之后，師生共同總結(jié)利用“邊邊邊”證明三角形全等的方法，完成證明過程的書寫，初步形成對本知識點的建構(gòu).

最后，提問學(xué)生：“剛才我們探究三角形全等的判斷條件‘邊邊邊的證明方法時采用了怎樣的數(shù)學(xué)方法呢？”學(xué)生舉手發(fā)言，師生共同總結(jié)出運用了轉(zhuǎn)化法、歸納法以及演繹推理等數(shù)學(xué)思想方法.

通過這樣的教學(xué)活動，學(xué)生有效掌握了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，提升了其合作交流、主動探索的能力，學(xué)生的思維體系不斷建構(gòu)和完善，學(xué)生有能力發(fā)散性地思考問題，交流數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想方法.將證明“兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形”轉(zhuǎn)化為只要證明“兩個三角形三邊對應(yīng)相等”即可，將實際情況可能無法操作的定義轉(zhuǎn)化為方便可行的判定定理.這就是轉(zhuǎn)化思想的魅力之處.當(dāng)然，轉(zhuǎn)化不是解決數(shù)學(xué)問題的唯一方法，上述案例中還蘊涵了其他的思想方法.

2 化難為易——蘊涵在反比例函數(shù)中的“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化

恩格斯指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).初中生的抽象思維還不夠完善，在解決反比例函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合性數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)嘗試用形象思維幫助學(xué)生理解與分析問題，在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化中，完成對此類問題的探究.

例1 如圖1，△ABO的面積為12，且AO=AB，雙曲線y=kx過AB的中點D，則k的值為_______.

圖1 例1題圖

教學(xué)中，學(xué)生讀完題目后，感覺無從下手.以下是筆者的教學(xué)實錄和體會.

教師：本題求什么？

學(xué)生1：k.

教師：k是什么？

學(xué)生2：反比例函數(shù)的比例系數(shù).

教師：同學(xué)們之前是怎么求的？

學(xué)生3：已知反比例函數(shù)圖像上一點的橫、縱坐標(biāo)或滿足反比例函數(shù)解析式的一組x和y的對應(yīng)值.

教師：一定要知道x與y各是多少嗎？還是知道某種關(guān)系就可以了？

學(xué)生4：不一定，因為反比例函數(shù)的第三種表達式是xy=k，只需求得一組x與y的積即可.

教師：其他同學(xué)贊同嗎？其他學(xué)生表示贊同.

通過提問逐步啟發(fā)，學(xué)生明白了k的值等于符合反比例函數(shù)解析式的一組x與y對應(yīng)值的乘積，將求k的問題轉(zhuǎn)化成了求一組x與y對應(yīng)值乘積的問題，這是求解本題的關(guān)鍵之一.

教師：同學(xué)們能從題設(shè)中看出什么隱含的條件？

學(xué)生5：由AO=AB可知△ABO是等腰三角形.

學(xué)生6：△ABO的面積為12，為利用這一條件，需作△ABO的高.求三角形的面積需要作高.

學(xué)生7：點D是AB的中點，想到過點A作△ABO的高，過點D作x軸的垂線段DE，分別交x軸于點C和E.教師板書添加輔助線，如圖2所示.圖2 添加輔助線后的圖形

教師：這樣添輔助線能幫助我們解決問題嗎？

學(xué)生8：能，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得OC=BC，而點D為AB的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)得到CE=BE，DE=12AC，則OE=34OB.

學(xué)生9：根據(jù)三角形的面積公式得12AC·OB=12，易得DE·OE=9，設(shè)點D坐標(biāo)為（x，y），即可得到k=xy=DE·OE=9.

本題中的第二個關(guān)鍵在于利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，將一組x與y的乘積轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖像上點D的橫、縱坐標(biāo)的乘積，進一步轉(zhuǎn)化為線段OE和線段DE的乘積，最終轉(zhuǎn)化為△ABO的底邊OB的34與所在高AC的12的乘積.在求解本題的過程中，師生將抽象的反比例函數(shù)解析式的一組解與直觀圖形中的一個點的坐標(biāo)進行對應(yīng)，逐步將看似復(fù)雜的題設(shè)轉(zhuǎn)化為基本的三角形和反比例函數(shù)知識，使問題得以順利解決.通過本題的解決，讓學(xué)生深切感受到了轉(zhuǎn)化是解決問題的有效方法.與此同時，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和應(yīng)用意識也有所提高.

3 實際問題數(shù)學(xué)化，在轉(zhuǎn)化中增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在基本理念中指出：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.”重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，加強數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，是其強調(diào)的重點之一.在解決實際問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生重在分析，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力［2］.

例2 某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（kpa）是氣體體積

V（m3）的反比例函數(shù)，其圖像如圖3所示.圖3 例2題圖

（1）你能寫出這個函數(shù)的解析式嗎？

（2）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140 kpa時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?，氣體的體積應(yīng)不小于多少？

在本題的探討中，學(xué)生看到題設(shè)就知道是反比例函數(shù).有學(xué)生能準(zhǔn)確地說出圖像是比例系數(shù)k>0時，反比例函數(shù)圖像位于第一象限的一支曲線.學(xué)生自然將其與反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型聯(lián)系在了一起.

教師：第一問怎么求？

學(xué)生：（異口同聲）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx（k>0），把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中求k.

教師：為什么這樣代入點A的坐標(biāo)求出的k就是反比例函數(shù)的比例系數(shù)？

學(xué)生1：因為點A在反比例函數(shù)的圖像上，它的橫、縱坐標(biāo)是滿足解析式的一組x與y的對應(yīng)值.

教師：你們覺得呢？學(xué)生表示贊同.

教師：第二問有沒有關(guān)鍵詞，應(yīng)該怎么做？

學(xué)生2：問題中含有“大于”“不小于”兩個關(guān)鍵詞，用不等式解決.

教師：其他同學(xué)跟他想法一樣嗎？有學(xué)生贊同.

教師：大家自己試著求一求.

學(xué)生3：按照題設(shè)列出的是不等式，還沒有學(xué)過.其他同學(xué)也遇到了困難.

教師：如圖3，y表示氣壓，從圖像上看，“氣壓大于140 kpa”表示哪一段函數(shù)圖像呢？體積呢？

學(xué)生4：從圖像上看，“氣壓大于140 kpa”表示縱坐標(biāo)大于140 kpa時對應(yīng)的部分函數(shù)圖像，即圖中所畫水平直線上方的部分函數(shù)圖像.為了安全，氣體的體積應(yīng)該不小于水平直線與反比例函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo).

師生共同得出，水平直線與反比例函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)就是題目要求的安全體積的最小值.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的思維過程，如圖4所示.

本案例中，學(xué)生與教師共同探討，交流互動，遇到困難時能迎難而上，探尋正確的方法.最后還能總結(jié)實際問題與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的維度，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)交流與反思的過程，總結(jié)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維方式，逐步建構(gòu)起數(shù)學(xué)思維體系，將數(shù)學(xué)知識真正運用于實際生產(chǎn)生活中.

正如著名的數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所云：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路.”在平時教學(xué)中，我們要努力挖掘數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的轉(zhuǎn)化思想及其它數(shù)學(xué)思想，把握運用數(shù)學(xué)思想解決問題的機會，增強學(xué)生主動運用數(shù)學(xué)思想的意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進學(xué)生的全面發(fā)展.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 李鐵安.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀·初中數(shù)學(xué)［M］.教育科學(xué)出版社，2012.

［責(zé)任編輯：李 璟］