從“類”到“變”開展結構化教學

谷永芳

摘 要：從過往的教學實踐來看，《認識射線、直線和角》一課的知識點瑣碎、知識量大，教學難度較大。結合《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中“對內容進行結構化整合”的要求，嘗試開展本節(jié)課的結構化教學：立足“類”的建構，把握數(shù)學知識結構；立足“聯(lián)”的統(tǒng)整體現(xiàn)數(shù)學活動的關聯(lián)；立足“變”的實施凝聚數(shù)學概念的本質。

關鍵詞：小學數(shù)學；結構化教學；《認識射線、直線和角》

“認識射線、直線和角”是蘇教版小學數(shù)學四年級上冊《垂線和平行線》這一單元的起始內容。這部分內容是在學生初步認識角和線段的基礎上教學的，也是學習兩條直線垂直或平行等特殊位置關系不可缺少的基礎知識，更是今后研究其他幾何圖形的必備知識。可以說，《認識射線、直線和角》一課是學生從直觀認識幾何形體向形成線、角、形、體等幾何概念的重要轉折課；射線、直線和角的概念，是整個幾何知識體系中的關鍵概念。從過往的教學實踐來看，教師普遍覺得本節(jié)課知識點瑣碎、知識量大，教學難度較大。結合《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中“對內容進行結構化整合”［1］的要求，嘗試立足“類”的建構、“聯(lián)”的統(tǒng)整、“變”的實施，開展本節(jié)課的結構化教學。具體教學過程與思考如下：

一、教學過程

【片段1】

師 今天，我們的研究從最基本的圖形“點”開始。（課件演示）讓它（點）朝某一方向移動，停，這時移動的軌跡是一條——

生 是一條線。

生 準確地說是線段。

師 早在二年級的時候，我們就認識了線段，關于線段，你已經(jīng)有了哪些認識？

生 線段是直的。

生 線段有兩個端點。

生 線段有長有短。

師 （出示圖1）在這幅圖里，你能找到線段嗎？

生 尺子的邊、擋板的邊都是一條線段。

生 激光筆射出的光線也是一條線段。

生 激光筆射出的光線是一條長5厘米的線段。

師 能把這條線段畫下來嗎？

生 能。

（學生動手畫。）

師 （課件演示）如果把擋板繼續(xù)往后移，這條線段會——

生 這條線段會越來越長。

師 想象一下，如果把擋板拿掉，會怎樣？

生 這條線會從這一點出發(fā)，越射越遠。

生 這條線就是無限長了。

生 這條線就變成一條射線了。

師 是的，假如這只激光筆的能量無限大，射出的光線又沒有任何遮擋，那這條光線就可以看作一條射線。生活中，你還能找到這樣的射線嗎？

生 手電筒發(fā)出的光線可以想象成一條射線。

生 夜晚，激光燈的光線可以想象成一條射線。

生 在不考慮重力以及風力等阻力的前提下，射出去一支永不掉落的箭，它的軌跡可以想象成一條射線。

師 同學們，根據(jù)剛才的觀察、想象和交流，你能把心中的射線表示出來嗎？在空白紙上試試看。

（學生畫。）

生 （展示畫法，如圖2）我畫的射線是這樣子的。（同步指）從這一點出發(fā)，一直一直往這邊射出去，無限長。

生 （展示畫法，如圖3）我是這樣畫的：（同步指）這邊畫了一個端點，表示從這里發(fā)出；這邊沒有畫端點，表示這一端可以無限延長。

師 這兩種畫法都能表示出射線無限長，如果從簡潔、準確的角度說，你更認同哪個？

生 第二種。

師 是的，我們并不能真正畫出無限長，所以數(shù)學家用端點來表示邊界。同學們，通過研究，我們知道了把線段的一端無限延長，能得到一條射線。想象一下，如果把射線的另一端也無限延長呢？

生 就得到一條直線。

師 在腦海中想象一下這條直線，并根據(jù)剛才畫射線的經(jīng)驗，在紙上也表示出一條直線。

（學生畫。）

師 （出示圖4、圖5）誰來評價一下這些作品？

生 我認為這兩種畫法都是正確的，但后一種畫法更簡潔。

生 我也更贊同后一種畫法，沒必要畫到紙的邊，在作業(yè)本上總不能也畫到本子的邊吧。不畫端點就能表示兩端都能無限延伸。

［說明：學生在第一學段已經(jīng)認識了線段，了解了線段的特征，但時隔兩年再次學習，時間跨度大了，相關認知可能不夠清晰。因此，本節(jié)課通過學生熟知的“點動成線”導入，激發(fā)學生對線段的已有認知，再以線段概念為生長點，借助貼近學生實際生活又直觀形象的激光筆，打通線段和射線之間的“擋板”，自然而然地讓學生感知到直線可以看成線段“無限延長”得到的幾何圖形。學生從真正意義上理解“無限延長”，往往會有些困難。于是，通過“把線段無限延長”，引導學生想象，豐富對射線的直觀感知，促進射線和直線表象的形成。當然，光形成表象還不夠，還要讓學生剝離出概念的核心本質。于是，通過多次在紙上畫線（線段、射線、直線），通過學生不同認知作品的對比，抽象出概念的本質特征。］

【片段2】

師 （出示圖6）你能任意畫一條線，讓A、B兩點都在這條線上嗎？

（學生自主理解，嘗試畫線。教師巡視，發(fā)現(xiàn)典型的畫法，讓學生上臺展示。）

生 （展示畫法，如圖7）我連接A、B兩點，畫出了一條線段。

生 （展示畫法，如圖8）我是這樣畫的，超出B點，畫的是一條射線。

生 我有補充，這里面也有線段AB。

生 （展示畫法，如圖9）我讓兩邊都無限延長了，畫的是一條直線，這里面也有射線和線段。

師 同學們，你找出來了嗎？這里面有幾條線段？射線和直線呢？

生 （同步指）這是一條線段，這是一條直線；從A點往左是一條射線，往右也是一條，B點處也是一樣的，所以有4條射線。

師 是的，把線段的一端無限延長就能得到射線，把線段的兩端都無限延長就能得到直線；線段是射線和直線的一部分。請大家繼續(xù)介紹。

生 （展示畫法，如圖10）我畫的是一條曲線。

生 （展示畫法，如圖11）我畫的也是一條曲線，不過是上下起伏的。

生 （展示畫法，如圖12）我畫的是一條折線。

師 （動畫演示將各種連線合到一起，得到圖13）同學們，用數(shù)學的眼光看看，這四條線有什么不同？

生 它們是不同類型的線。

生 它們的長度不同。

師 哪一條最短呀？

生 線段最短。

師 還能畫出比這更短的線嗎？

生 好像畫不出來。

師 是的，兩點之間線段最短，這條線段的長度就是兩點之間的距離。量一量，A、B兩點之間的距離是多少？

生 A、B兩點之間的距離是7厘米。

師 （出示圖14）這是從老師的學校（江蘇省南京市高淳區(qū)實驗小學）到你們學校（江蘇省南京市玄武外國語學校附屬小學）的推薦路線，你能看懂圖意嗎？

生 從老師學校到我們學校的路程是103.6千米，預計用時1小時53分。

師 那這103.6千米是我們數(shù)學上研究的距離嗎？

生 是的，就是距離。

生 不是的，兩點之間的距離是兩點之間線段的長度，而這條線是彎的。

生 我贊同他的觀點。這不是線段，線段應該是直的。我們知道兩點之間線段最短，所以我推理兩點之間的距離會比103.6千米少。

師 分析得多好呀！數(shù)學上兩點之間的距離指的是兩點之間線段的長度，而這里的103.6千米其實是指這兩點之間的路程。剛才我們研究了兩點畫線，如果從一個點出發(fā)，你能畫幾條射線？

生 無數(shù)條。

師 （動畫展示）一條、兩條……老師不畫了，仔細觀察，讓你想到了以前認識的什么圖形？

生 角。

師 關于角，又有什么新的知識呢？自學一下課本上的例2。

（學生自學匯報。）

［說明：本節(jié)課知識點比較碎，要復習線段和角的知識，還要學習射線、直線、角的新知識，同時要考慮在某個環(huán)節(jié)加上兩點之間距離的教學。這里，設計過點畫線的活動，巧妙地打通整個知識體系。過兩點畫線的活動中，先展示線段、直線、射線這三種直的線，不僅能再次鞏固三種線的不同特征，更能讓學生從中深刻體會到三種線之間的密切聯(lián)系——三種線的聯(lián)系與區(qū)別也是本節(jié)課的教學重點。接著，展示兩點之間曲線、折線和線段三種不同類型的線，通過比較它們的不同，突出兩點之間的連線中線段最短，順其自然地揭示兩點之間距離的概念。最后通過過一點畫射線，讓學生驚喜發(fā)現(xiàn)兩條射線組成一個角，溝通射線和角的關聯(lián)。］

【片段3】

師 課的最后，讓我們從運動的角度，再來看看今天所學的知識。（課件展示）把點朝一個方向移動一定的距離就形成了線段，把線段的一端無限延伸就形成了射線，把射線的一端也無限延伸就得到了直線；把線段平移就能得到我們認識的這些平面圖形……角也能看成線的運動，你想到了嗎？

生 把射線旋轉。

師 是的，角也可以看成是射線繞端點旋轉形成的。

（完成板書，如圖15所示。）

［說明：課尾，帶領學生從運動的角度去觀察、思考今天所學的知識，和課始的“點動成線”呼應。這不僅讓學生從數(shù)學知識內容本身的發(fā)生、發(fā)展脈絡去學習，更能打開學生思維，拓寬他們思考的廣度和寬度，引導他們從另一個視角去再次整體建構整節(jié)課的知識體系。角既能看成從一點引出的兩條射線，又能看成射線繞端點旋轉而成的圖形。這既豐富了角的概念，為今后繼續(xù)研究角的知識打下扎實的基礎，更能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。最終形成的板書，更是將零散的知識點進行了結構化的整合，助力學生獲得比較系統(tǒng)完整的“線”與“角”的知識，形成相應的數(shù)學概念，并讓結構化的知識體系深植腦海，真正做到學有所痕、學有所獲。］

二、教學思考

內容的結構化重在設計，更重在課堂的落實。結構化的教學能幫助學生建立體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系，養(yǎng)成數(shù)學的思維習慣和研究精神。

（一）立足“類”的建構：把握數(shù)學知識結構

其實，教材在編寫的時候，已經(jīng)充分考慮到“類”的集合，將同一類型、同一主題、同一分支下的內容放在一起編排。但是這些同“類”內容常常被人為地割裂成教一個個知識點、學一個個例題、做一個個習題。本節(jié)課的教學內容其實就是線和角的知識，但是很多教師往往看到的是“類”下面零散的“點”：端點的個數(shù)、形狀、有限長和無限長、角的標記、讀法、兩點之間的距離，等等。我們應立足“類”的建構，整體把握數(shù)學知識的結構。因此，上述教學過程重點突出了對“線”這一核心概念的認識。基于學生對線段的已有概念，逐步生長出射線、直線的概念，分析和對比不同類型的線，不斷強化概念的本質特征。兩點之間的距離，其實就是線段的長度；面就是線段的平移；角就是從一點引出兩條射線，或者說由一條射線繞端點旋轉而成。于是，“線”串起所有的知識內容，構建出結構化的知識體系，體現(xiàn)出知識內在的整體性和一致性，更利于學生去同化和順應。

（二）立足“聯(lián)”的統(tǒng)整：體現(xiàn)數(shù)學活動的關聯(lián)

如果說“類”關注的是數(shù)學知識邏輯結構的建構，那么“聯(lián)”是更關注課堂活動方式的統(tǒng)整。以往我們習慣將層層深入具有邏輯結構的內容，通過“問題串”的形式不斷串成一條知識鏈，可這樣的教學往往是教師牽著學生走，并不能充分體現(xiàn)學生的主體地位?，F(xiàn)在，我們更提倡將教學環(huán)節(jié)不斷地融、不斷地通，通過選擇恰當?shù)膶W習素材、創(chuàng)設真實的問題情境，整合教學環(huán)節(jié)，用少而精、精而妙的活動方式，關聯(lián)數(shù)學活動，統(tǒng)整數(shù)學課堂，讓學生在大問題、大空間中充分發(fā)散自己的思維，積累豐富的學習活動方法和經(jīng)驗，走向自主建構的結構化，達到結構化教學的真實目的。

在片段1中，教師選擇了激光筆發(fā)出激光這一貼近學生真實生活的情境，關聯(lián)起線段、射線和直線的內在聯(lián)系。首先，借助擋板發(fā)現(xiàn)此時的光線可看作線段，再通過拿掉擋板，讓學生直觀想象出射線的模型，有效突破了本節(jié)課的重難點。在這樣直觀的模型基礎上，直線的認識順其自然。片段2更是體現(xiàn)了這一點：通過簡單的過兩點畫線的活動關聯(lián)起所有線的知識。在開放的活動中，學生的不同想法得以展現(xiàn)，有線段、射線、直線、曲線、折線，不僅統(tǒng)整了三線的聯(lián)系與區(qū)別、各種連線的特征、兩點之間的距離等知識，還在不同作品的交流和比較中，打開學生思緒的閥門，防止思維定式，培養(yǎng)發(fā)散思維。在片段3中，教師引導學生以運動的視角，從最基本的幾何圖形點開始，呈現(xiàn)點到線、線段到面、射線到角的形成過程，關聯(lián)起所學的所有基本幾何圖形。

（三）立足“變”的實施：凝聚數(shù)學概念的本質

概念的“變”是指在概念由具體到抽象過渡的過程中，不僅提供肯定例證的一般形式，而且提供變更非本質特征的變式，幫助學生從多個角度感受事物的本質特征，摒棄非本質特征，理解概念。變式也是中國數(shù)學教學方式的特色，它的實施能凝聚數(shù)學核心概念的本質。

比如，在片段1中，讓學生在紙上表征出射線的幾何圖形，通過收集學生的不同作品進行比較，發(fā)現(xiàn)不同射線作品的相同特征，即都是直的、都有一個端點、都是無限長，從而抽象出射線的本質特征，建立射線的幾何模型。又如，在片段2中，對于兩點之間的距離，除了直接的測量之外，還把真實情境與任務背后的真實世界直接當作變式練習，以實現(xiàn)數(shù)學知識與生活之間的密切聯(lián)系。結合實際路線圖中千米數(shù)的分析，在實際中應用所學知識，加深“兩點之間線段的長度才是兩點之間的距離”這一概念理解，同時培養(yǎng)應用意識。

立足“類”的建構、“聯(lián)”的統(tǒng)整、“變”的實施開展結構化教學，有助于學生更好地理解和掌握數(shù)學學科的知識體系，有助于學生更快地實現(xiàn)知識和方法遷移，有助于學生更廣泛地進行思維的發(fā)散，有助于學生深度學習的進階和核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：3.