直觀想象的水平表征與發(fā)展路徑

【編者按】 直觀想象是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一。它本質上是一種基于圖形展開想象的思維能力，但它不僅體現(xiàn)在“圖形與幾何”領域的學習中，還蘊含在利用“圖形與幾何”領域的知識，理解其他領域的知識，解決各種數(shù)學問題的過程中。近一年多來，費嶺峰老師帶領的團隊圍繞“直觀想象”這一主題開展了一系列研究，既對直觀想象的內涵及水平表征做了深入剖析，還就針對相關學習內容運用直觀想象的策略要點方面總結了一些經(jīng)驗，形成了一些典型案例。本期《專題研究》欄目刊發(fā)的5篇文章，是他們這一階段研究成果的集中呈現(xiàn)。

摘 要：直觀想象是基于數(shù)學學習的內容特點、過程方法提出的數(shù)學核心素養(yǎng)之一。其內涵可以從事物感知的方法、概念理解的手段與問題解決的策略等三個維度來解讀。其發(fā)展可以劃分為感受描述、直觀分析與想象構建等三個水平。其發(fā)展路徑包括：在圖形概念的形成中感知與抽象，在圖形運動的學習中變化與比較，在數(shù)概念的建構中借形理解，在數(shù)學問題的解決中轉化與建模。

關鍵詞：小學數(shù)學；直觀想象；幾何直觀；空間想象；圖形

直觀想象作為高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)，是基于高中數(shù)學學習的內容特點、過程方法提出的，指“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)”［1］；在小學階段，可以分解為幾何直觀和空間觀念［2］?？紤]到“幾何直觀”與“空間觀念”的聯(lián)系，我們整體關注“直觀想象”，結合小學數(shù)學的內容，嘗試在課標闡述的基礎上，厘清水平表征，明晰發(fā)展路徑。

一、直觀想象的內涵解讀

從詞語的組成上看，直觀是指通過感官直接接觸到事物、感受到形象的感性認知方式；想象是指基于某種信息材料，在腦海中浮現(xiàn)出新的形象的思維方式。直觀與想象合起來就是借助直接感受到的事物的某些要素，經(jīng)過大腦處理形成新的形象的認識事物方式。也可以說，直觀想象“本質上是一種基于圖形展開想象的思維能力”［3］。

具體而言，可以從三個維度加以解讀：

（一）作為事物感知的方法

數(shù)學與生活密切相關。許多數(shù)學知識來源于生活，是在對生活現(xiàn)象的觀察與對現(xiàn)實問題的解決中逐步抽象而來的。因此，對事物的感知是數(shù)學學習的起點。學生也正是在對事物的感知中，真切感受到數(shù)學知識的學習與生活經(jīng)驗、對生活現(xiàn)象的認識存在著密不可分的聯(lián)系。在數(shù)學學習中，常?？梢浴敖柚鷰缀沃庇^和空間想象感知事物的形態(tài)與變化”，從而獲取知識、解決問題。

比如，在探索解決如“在一條長100米的道路一邊每隔5米種一棵樹，至少需要幾棵樹”這樣的問題時，可以借助直觀形象的線段圖來分析、厘清情境內容；在觀察感受到“教室地面的面積大約是60平方米”后，可以推斷“學校操場的面積大約是多少平方米”；等等。當然，小學階段許多幾何圖形的形狀、大小，都可以看作是在對生活中的物體觀察感知的基礎上抽象概括而成的，在感悟事與形之間、形與形之間、形與數(shù)之間等關系時也會經(jīng)歷這一過程。

（二）作為概念理解的手段

數(shù)學概念一般具有高度的抽象性，這給學生的理解帶來一定的難度。于是，我們可以“利用空間形式特別是圖形，理解數(shù)學問題”。比如三角形高的定義：“從三角形的一個頂點到它的對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底?！比绻麅H靠文字，學生對定義中的“頂點”“對邊”與“線段”等關鍵詞的理解還是相對抽象的。如果結合一個畫有高的三角形圖（如人教版小學數(shù)學四年級下冊第61頁的圖，可以畫1條高，更好的是畫3條高），學生便很容易理解三角形高的含義。

事實上，直觀想象手段的運用還經(jīng)常會出現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”領域內容的學習中。比如，對于分數(shù)、小數(shù)等數(shù)概念，一般會結合生活情境與直觀圖形，幫助學生認識與理解其含義。當然，像乘法分配律這樣相對抽象的數(shù)學規(guī)律同樣可以借助直觀想象的手段來認識與理解。

（三）作為問題解決的策略

“利用空間形式特別是圖形”，還可以“解決數(shù)學問題”。事實上，“畫數(shù)學”已經(jīng)成為幫助學生分析與解決數(shù)學問題的重要手段。

“平行四邊形面積”的學習就是一個典型的例子。學生探索平行四邊形面積計算方法的過程中，出現(xiàn)了兩種典型方法：一是通過剪拼將平行四邊形轉化成一個與其同底等高的長方形，然后用“長×寬”計算長方形的面積，因為這里的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高，因此平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算；二是通過拉動將平行四邊形轉化成一個四邊長度不變的長方形，然后用“長×寬”計算長方形的面積，因為這里的長和寬就是平行四邊形的鄰邊，因此平行四邊形的面積可以用“鄰邊相乘”來計算。兩種方法看似都有道理，但是相互矛盾。這時，可以引導學生通過想象、結合畫圖，完整呈現(xiàn)轉化過程，分析發(fā)現(xiàn)：“鄰邊相乘”的方法是錯誤的，因為在拉動的過程中圖形的面積擴大了；而“底×高”的方法是正確的，因為在割補的過程中圖形的面積沒有變。

二、直觀想象的水平表征

基于直觀想象內涵中的關鍵詞“直觀”“想象”“感知”“理解”“解決”等，可以結合數(shù)學活動、學習發(fā)展的過程，把直觀想象素養(yǎng)劃分為三個水平。

（一）水平一：感受描述

這是直接觀察獲得感性經(jīng)驗的第一步，是直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的基礎水平。此水平具體表現(xiàn)為：能夠將通過感官感受到的事物的形態(tài)與變化用語言表述出來。比如，看到某個裝零食的長方體的盒子，知道像盒子那種形狀的圖形就是長方體，并能夠描述出長方體的基本特征：6個面，每個面都是長方形，相對面的形狀、大小看起來是相同的；兩個面相交的地方有一條邊，相對邊的長度是相等的。從認識事物的水平來看，“感受描述”層次的直觀想象還是對感受到的“事物的形態(tài)與變化”的最直接反應，等同于認知能力水平的“直感”。而從思維過程來說，“感受描述”需要經(jīng)歷信息的輸入與輸出的轉換，即將感官感受到的信息經(jīng)過加工，用數(shù)學語言表達出來，因此，在直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展中有著重要的定向作用。

（二）水平二：直觀分析

此水平的表現(xiàn)是：在前一水平直觀感受積累了豐富的“事物的形態(tài)與變化”經(jīng)驗的基礎上，對感受到的“事物的形態(tài)與變化”有一定程度的理解與分析。這個階段既有感官經(jīng)驗的再現(xiàn)，更有自身理解狀態(tài)的展現(xiàn)。實際表現(xiàn)一般會出現(xiàn)兩種情況：一種以圖形的認識為學習目標，即基于圖形的形態(tài)特征，對圖形的性質等有一定的理解與掌握；還有一種是將圖形作為理解與分析的手段，過程中也會有結合圖形特征的描述，但重點關注非圖形事物的本質或關系。前者如“圓的認識”學習中，學生通過對一個紙片圓的操作探索，如采用折一折、量一量、畫一畫等方式探究，發(fā)現(xiàn)一個圓中的所有半徑都相等，所有直徑也都相等。后者一般體現(xiàn)在借形理解的內容中，如數(shù)的概念，無論是低年段認識整數(shù)，還是中高年段認識分數(shù)、小數(shù)，教材一般都會在基于現(xiàn)實場景的“實際量”的基礎上，以圖形符號等引導學生認識具體的“數(shù)”，從而幫助學生建構數(shù)與量、數(shù)與形的關系，更加立體地理解數(shù)的概念。

（三）水平三：想象構建

發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的基礎是直觀感受，而最終目標則是能夠借助直觀與想象，經(jīng)歷對數(shù)學知識的抽象、理解，建立分析、解決數(shù)學問題的基本路徑。其中，想象構建是要求較高的一種表現(xiàn)，即在積累了相應的形的經(jīng)驗、數(shù)與形的聯(lián)系以及一些物體的空間位置關系的認識的基礎上，借助形的特征，分析數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系，形成一定的結構化認識能力。當然，這樣的認識水平一般體現(xiàn)在數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模等綜合運用知識，形成高階思維水平的數(shù)學活動中。比如，學生有了長方形、正方形、平行四邊形和三角形、梯形等平面圖形的面積計算經(jīng)驗后，通過一種圖形的面積計算方法［如“梯形面積=（上底+下底）×高÷2”］勾連起這幾種平面圖形的面積計算方法之間的關系。這一活動因為有相應的圖形特征的回憶，也需要圖形動態(tài)變化的想象與思考；有相應的幾何直觀的經(jīng)驗再現(xiàn)，也需要一定的空間想象作為支持，綜合性較強，顯然是學生直觀想象素養(yǎng)較高水平的體現(xiàn)。

三、直觀想象的發(fā)展路徑

直觀想象素養(yǎng)，需要在日常數(shù)學知識學習、問題解決的過程中，有策略、有路徑地發(fā)展。根據(jù)直觀想象的內涵，它首先可運用于“圖形與幾何”領域（關注空間形式）知識的學習，其次可運用于“數(shù)與代數(shù)”領域和“統(tǒng)計與概率”領域（從根本上看，關注的都是數(shù)量關系）知識的學習中，此外可廣泛地運用于數(shù)學問題的解決中。具體地，在“圖形與幾何”領域知識的學習中，對“圖形的認識”，運用直觀想象的關鍵是感知與抽象；對“圖形的運動”，運用直觀想象的關鍵是變化與比較。在“數(shù)與代數(shù)”領域知識的學習中，運用直觀想象的關鍵是借形理解。在數(shù)學問題的解決中，運用直觀想象的關鍵是轉化與建模。由此，我們提出直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的四條重要路徑。需要指出的是，因為分類標準不完全一致，這四條路徑可能會有一定程度的交叉，但是，它們顯然有各自的側重。

（一）在圖形概念的形成中感知與抽象

這是基于圖形認識內容的直觀想象素養(yǎng)發(fā)展路徑。嚴格意義上講，數(shù)學中的幾何圖形在生活中都是借助“物”而存在的。比如，學生看到的長方體、正方體一般都是以生活用品的形式出現(xiàn)的：長方體形狀的餅干盒，正方體形狀的魔方，等等。平面圖形更不會獨立存在，而是數(shù)學抽象的結果。實際教學中，教師引導學生認識這些圖形時，一般也會借助生活中的物品，組織相應的動手操作活動，引導學生通過一定的觀察，在發(fā)現(xiàn)的基礎上，歸納出相應圖形的特征。這樣“看得見、摸得著、構得成”的過程，就是數(shù)學學習中典型的感知與抽象過程，也是發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的重要過程。

作為圖形概念形成的基礎，感知與抽象是數(shù)學學習過程性目標達成以及數(shù)學活動經(jīng)驗獲得的必要過程。實際學習中，對事物的“感知”是必要的基礎性活動，一般需要經(jīng)歷“單一物”的感知、“多個物”的感知以及共性特質的關聯(lián)梳理等三個認識層次。而“抽象”一般會表現(xiàn)出兩種不同的維度：一是直接抽象出圖形，如長方體、正方體、圓柱、圓錐等，便是基于生活中一些物品的共性特質抽象得出的立體圖形；二是感悟圖形之間的關系，如有了立體圖形面的特點的感知，通過描畫的過程抽象出相應的平面圖形。具體如長方體中的某個面，因其是四邊形，且4個角都是直角，所以依照這個面描畫下來的圖形就是長方形；如果這個圖形中的4條邊也正好相等，那么這個長方形就比較特殊，是正方形。這個過程中，便蘊含著平面圖形與立體圖形的關系，以及平面圖形內部之間的關系。

（二）在圖形運動的學習中變化與比較

靜態(tài)觀察、單獨認識當然是數(shù)學學習的一種基本方式，但在運動變化中學習數(shù)學更能幫助學生系統(tǒng)建構數(shù)學知識，有利于學生形成整體思維。直觀想象便蘊含著動靜結合的價值。典型例子如“點動成線，線動成面，面動成體”，由此我們很容易認識到點、線、面、體之間的關系，還可以體會到圖形的認識離不開對圖形基本要素的把握。

在圖形運動的學習中，直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展核心是基于動態(tài)變化，通過相互比較，把握數(shù)學知識中“變”與“不變”的實質。這一過程一般表現(xiàn)為兩種形式：一是研究對象整體的運動，二是研究對象某些要素的運動。當然，不管哪一類運動，都會有圖形的形態(tài)變化吸引學生做深入的研究。前者如第一學段中“認識立體圖形”的學習：學生在觀察的基礎上，借助操作活動，結合運動特征，對立體圖形的一些要素有感性認知，如長方體、正方體、三棱柱等幾何體的面是平的，可以在一個平面上作平移運動；由圓柱與球可以在平面上滾動，能夠感受到圓柱有一個曲面，球是曲面圖形。這樣的操作比較活動不僅使學生初步認識了長方體、正方體、圓柱等立體圖形，還能讓學生體會到這些立體圖形之間的不同之處。后者如上文在直觀想象水平三中所舉的例子：利用動點規(guī)律，溝通幾種平面圖形面積計算公式之間的聯(lián)系，為學生從整體上認識平面圖形面積，掌握面積計算方法提供幫助。

（三）在數(shù)概念的建構中借形理解

數(shù)學知識中，數(shù)與形的關系是密不可分的。這不僅僅表現(xiàn)在數(shù)學知識的結構上，也表現(xiàn)在數(shù)學學習的過程中。數(shù)形結合是學生認識數(shù)或認識形時常用的學習方法。借助形的支撐，理解數(shù)的含義、把握數(shù)之間的關系，形成數(shù)概念結構，已經(jīng)成為一線教師的共識。

當然，從直觀想象的意義來看，借形理解既是手段，又是目的。數(shù)學概念的建立，需要“多通道”“多結構”“立體”實現(xiàn)。所謂“多通道”，即手到、眼到、心到地多種感官參與學習過程，在動一動、看一看、想一想等活動中豐富感性經(jīng)驗，從而讓抽象的數(shù)學知識形象起來、生動起來，變得可感、可悟、可用。所謂“多結構”，則指向數(shù)學知識的不同表征方式，既可以是純數(shù)學的表達，也可以是物象的表示，還可以是符號化及圖形的表征。比如，乘法分配律的學習中，“一套衣服”“一對課桌椅”是物象表征，兩個長方形的組合是圖形表征，字母表達式則是符號表征，雖然載體不同，但內在結構卻是一樣的。最后的“立體”體現(xiàn)在學習的進程中，因為有通道的多元、結構的多樣，形成知識的過程便不是線性的，也不是平面的，而是多維度、多向度的。這也正是借形理解助力學生數(shù)概念建構的意義所在。

（四）在數(shù)學問題的解決中轉化與建模

在解決數(shù)學問題時，直觀想象一般是與轉化、建模等數(shù)學基本方法整合在一起應用的，特別注重“圖形的轉化”與“模型的建立”，以形成相應的解題方法與相關的活動經(jīng)驗。實踐中，可以運用于不同領域內容的學習，常表現(xiàn)為轉化得到兩種不同層次的直觀模型：一種為思維模型，表現(xiàn)為動態(tài)化的、過程性的；另一種為形式模型，表現(xiàn)為工具化的、結果性的。無論哪一種模型，其建構的目的均指向數(shù)學問題的解決。

“轉化”的思維模型可以表述為思考問題的過程，即我們平時經(jīng)常說的化歸思想，有化難為易、化繁為簡、化新為舊等。從直觀想象的意義上看，這種轉化的過程一般通過圖形的運動變化來實現(xiàn)，比如平面圖形面積計算方法的探索、圖形特征的認識與性質的理解，等等。

“轉化”的形式模型更多為簡約的、結構化的法則、公式等求解典型問題的工具。模型的獲取很多會蘊含在典型問題的探索過程中，目的在于為解決相似的問題提供幫助。比如，對于上文談到的“植樹問題”，可以通過例題的解決初步梳理出三種結構（兩端都種，一端種、一端不種，兩端都不種），借助圖形的直觀明晰不同問題的結構特點，從而形成相應的解決策略。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：6.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：7.

［3］ 徐德同，錢云祥.基于質量監(jiān)測的初中學生直觀想象發(fā)展狀況的調查研究［J］.數(shù)學教育學報，2017（1）：22.