幾何畫板在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

劉學(xué)英

【摘? 要】幾何畫板是一種動(dòng)態(tài)的幾何教學(xué)工具，具有生動(dòng)形象、高效便捷的特點(diǎn)。在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，教師可以利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何概念、分析幾何圖形的特點(diǎn)、總結(jié)幾何定理，提高學(xué)生的幾何自主學(xué)習(xí)能力；還可以利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題，以及針對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行拓展探究，進(jìn)一步提高學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)效果。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；初中數(shù)學(xué)；幾何

隨著現(xiàn)代教育的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系越來越密切，很多教師都注重應(yīng)用科技手段創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。然而新課程理念也倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的自主探究和自主創(chuàng)造意識(shí)，讓學(xué)生能夠在生動(dòng)的情境、豐富的學(xué)習(xí)資源的綜合作用下拓寬學(xué)習(xí)的廣度與深度，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律、掌握多種數(shù)學(xué)方法。因此，教師可以充分挖掘幾何畫板的各種教學(xué)功能，以此創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的方式，全面提升學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)效果。

一、利用幾何畫板理解幾何概念含義

新課程理念更倡導(dǎo)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)原理的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)深度。然而幾何概念具有一定的抽象性，學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中往往會(huì)直接背誦，而對(duì)其中的內(nèi)涵缺乏學(xué)習(xí)的意識(shí)。因此，真正的強(qiáng)基固本需要讓學(xué)生拋開單純的背誦意識(shí)，成為知識(shí)的自主發(fā)現(xiàn)者。對(duì)此，教師可以根據(jù)幾何概念相應(yīng)的特點(diǎn)，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)具體的情境，讓學(xué)生化抽象為具體，深入理解幾何概念的確定方式和推導(dǎo)原理，提高幾何學(xué)習(xí)的深度。

例如，在教授《直線、射線、線段》時(shí)，教師可以利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何概念。本課所學(xué)習(xí)的這三種線具有很多的共同之處，也具有各自的一些特性。很多學(xué)生會(huì)直接背誦相關(guān)的概念，造成對(duì)這三種線的具體確定方式缺乏明確的認(rèn)識(shí)。因此，教師可以利用幾何畫板呈現(xiàn)相應(yīng)的圖形，幫助學(xué)生具體認(rèn)識(shí)。比如，幾何畫板具有動(dòng)態(tài)影視的功能，能夠呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)畫面。因此，教師可以先在幾何畫板上呈現(xiàn)出一條線段，暫時(shí)讓線段靜止，接著操作鼠標(biāo)，讓線段始終處于向兩端延長的過程，學(xué)生能夠體會(huì)到這一圖形原本是一條線段，但隨后變成了一條直線。同樣，在認(rèn)識(shí)射線的概念時(shí)，教師可以讓原始線段向著一端無限延長，時(shí)刻保持動(dòng)態(tài)畫面。學(xué)生由此能夠?qū)@些線段的特性進(jìn)行明確認(rèn)識(shí)。同樣，幾何畫板具有構(gòu)造復(fù)雜圖形的功能，教師可以呈現(xiàn)出一些多邊形，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)多邊形上的這些線都有固定的端點(diǎn)，因此可以認(rèn)識(shí)到這些線都是線段。同樣，教師還可以在幾何畫板中呈現(xiàn)一個(gè)中心點(diǎn)，以中心點(diǎn)為端點(diǎn)，延伸出無數(shù)條線，并讓這些線向固定的方向始終保持延伸狀態(tài)，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這些線都屬于射線。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能夠借助幾何畫板所創(chuàng)設(shè)的情境，對(duì)相應(yīng)的幾何概念形成具體的理解，并做出明確的辨析，形成深厚的幾何基礎(chǔ)素養(yǎng)。

二、利用幾何畫板分析幾何圖形特點(diǎn)

幾何圖形的類型是豐富多樣的，各種幾何圖形一方面具有自身固有的形狀特點(diǎn)，另一方面和其他幾何圖形在形狀上也有很多相似之處。學(xué)生只有從個(gè)性與共性的角度出發(fā)，才能對(duì)幾何圖形的特點(diǎn)產(chǎn)生全面深刻的認(rèn)識(shí)。因此，在教學(xué)中，教師可以將單一內(nèi)容教學(xué)與專題教學(xué)相結(jié)合，讓學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行充分的觀察，進(jìn)而展開總結(jié)與歸納，以此培養(yǎng)良好的分析能力，進(jìn)一步提高知識(shí)理解的具體性。這種教學(xué)方式能進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的圖形意識(shí)，讓學(xué)生從具象的角度提高幾何學(xué)習(xí)效果。

例如，在教授《菱形》時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板分析幾何圖形的特點(diǎn)。幾何畫板除了能夠呈現(xiàn)純粹的幾何圖形，還能呈現(xiàn)生活中各種物品的形狀。因此，教師可以在幾何畫板中呈現(xiàn)出棱形的包裝盒、菱形的盤子、菱形的木板等物體，并引導(dǎo)學(xué)生思考：“這些圖形有怎樣的共同之處呢？”學(xué)生可以在幾何畫板中彈出測(cè)量工具，根據(jù)測(cè)量工具呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)這些圖形各條邊的邊長都相等。在觀察菱形的其他特點(diǎn)時(shí)，學(xué)生可以利用幾何畫板中的作圖工具在這些圖形上作輔助線，發(fā)現(xiàn)菱形的兩條對(duì)角線形成的角度為90度，菱形的中點(diǎn)能夠?qū)⒏鳁l對(duì)角線劃分為長度相等的部分。由此，學(xué)生能夠?qū)α庑伪旧淼奶攸c(diǎn)產(chǎn)生具體認(rèn)識(shí)。接著，教師可以讓學(xué)生在幾何畫板中繪制一個(gè)平行四邊形，展開對(duì)比觀察。學(xué)生可以從對(duì)邊的長度、對(duì)角的角度、對(duì)角線的長度等方面利用測(cè)量工具進(jìn)行長度和角度的測(cè)量，展開充分的總結(jié)。在這樣的過程中，幾何畫板能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)具體的觀察環(huán)境，幫助學(xué)生對(duì)幾何圖形的特點(diǎn)形成全面認(rèn)識(shí)。

三、利用幾何畫板推導(dǎo)幾何定理

在初中幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要掌握大量的幾何定理。這些定理主要與圖形性質(zhì)的證明、圖形面積或角度的計(jì)算有關(guān)。學(xué)生依然需要進(jìn)行深入的探索，才能對(duì)這些定理產(chǎn)生深入的理解，進(jìn)而展開靈活的運(yùn)用。幾何畫板不僅能夠呈現(xiàn)多種類型的靜態(tài)圖形，而且能夠讓圖形產(chǎn)生移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)，幫助學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行觀察與探究。因此，教師可以從這些角度入手，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板推導(dǎo)幾何定理，讓學(xué)生在多種思維的運(yùn)用下發(fā)揮創(chuàng)造力，進(jìn)一步強(qiáng)化幾何學(xué)習(xí)的深度。

例如，在教授《全等三角形的判定》時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板推導(dǎo)幾何定理。比如，在探究“邊邊邊”定理時(shí)，學(xué)生可以在幾何畫板上的不同位置畫出邊長分別為5厘米、6厘米、7厘米的三角形。然后操作按鈕，讓其中一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)圖形所在的區(qū)域。這時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的邊能完全重合，從而驗(yàn)證這一定理的正確性。又如，在探究“邊角邊”定理時(shí)，學(xué)生可以畫出兩個(gè)邊長同時(shí)為5厘米、8厘米，并且兩邊的夾角為70°的三角形。接著可以操作按鈕，讓其中一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)，能夠發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)不完整的三角形的兩條邊也會(huì)完全重合。接著，學(xué)生可以在幾何畫板上補(bǔ)充剩下的一條邊，能夠發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的這條邊也會(huì)完全重合。同樣，在探究直角三角形全等的判定定理時(shí)，學(xué)生可以利用幾何畫板畫出兩個(gè)斜邊長為9厘米、直角邊長為7厘米的直角三角形，然后讓其中一個(gè)三角形產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，依然能夠發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形完全重合。由此，學(xué)生能夠?qū)θ切稳鹊母鞣N判定定理形成具體的理解，形成深刻的印象。在這樣的過程中，學(xué)生能夠?qū)缀萎嫲逯械膭?dòng)態(tài)畫面植入腦海中，深刻認(rèn)識(shí)各種幾何定理的來源，培養(yǎng)強(qiáng)烈的探索精神。

四、利用幾何畫板培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的重要思想方式。這種思想主要表現(xiàn)為運(yùn)用代數(shù)確定幾何圖形的性質(zhì)，運(yùn)用幾何圖形揭示相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系。在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生繪制圖形的過程會(huì)較為煩瑣，耗費(fèi)大量的學(xué)習(xí)時(shí)間，不能充分培養(yǎng)這種幾何素養(yǎng)。然而幾何畫板能夠瞬間生成圖形，還可以插入一些公式，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程加高效便捷，消除學(xué)習(xí)的枯燥感。因此，教師可以充分利用這些功能，讓學(xué)生從幾何與代數(shù)的視角分別理解所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率。

例如，在教授《圓的有關(guān)性質(zhì)》時(shí)，教師可以利用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。首先，教師可以培養(yǎng)學(xué)生以形解數(shù)的思維。這種思維方式主要是指利用圖形表現(xiàn)相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系。因此，教師可以給出問題：“一個(gè)圓的半徑是6厘米，弦AB垂直于經(jīng)過圓心的直線CD，M是弦AB的中點(diǎn)，OM的長度為3厘米，求弦AB的長度?！痹诿鎸?duì)這一問題時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中有很多數(shù)據(jù)，難以直接展開計(jì)算。這可以根據(jù)題干的要求，在幾何畫板中描繪出相應(yīng)的圓形、弦和直線，標(biāo)注出相應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而會(huì)發(fā)現(xiàn)這一題目所需要運(yùn)用的知識(shí)與“垂直于弦的直徑”有關(guān)，從而可以運(yùn)用與圓有關(guān)的定理順利展開計(jì)算。其次，教師可以培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)解形的思維。比如，可以給出問題：“三角形ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，O是圓心，OA、OB、OC的長度都是5厘米，請(qǐng)判斷三角形ABC的具體形狀?！备鶕?jù)題干，學(xué)生可以利用幾何畫板描繪出相應(yīng)的圓形和三角形，并標(biāo)注出三角形各邊的長度，進(jìn)而利用等弧等角知識(shí)計(jì)算相應(yīng)的邊長或角度，從而確定三角形的形狀。在這樣的過程中，幾何畫板能發(fā)揮便捷的圖形繪制功能，學(xué)生能充分鍛煉數(shù)形結(jié)合思想，拓展幾何學(xué)習(xí)的方法。

五、利用幾何畫板拓寬幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容

在初中幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生既需要掌握大量的基礎(chǔ)知識(shí)與常規(guī)知識(shí)，也需要適當(dāng)做出有難度的拓展，從而站在更新穎的角度，對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行深層次的認(rèn)識(shí)，探索更多樣的幾何學(xué)習(xí)思維與學(xué)習(xí)方法，進(jìn)一步提升幾何素養(yǎng)。因此，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板解答有難度的幾何問題，自主展開相應(yīng)的探究活動(dòng)，感受幾何學(xué)習(xí)的樂趣。如此，幾何畫板能夠進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)造力。

例如，在教授《多邊形及其內(nèi)角和》時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板拓寬學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如，教材中介紹了一些邊數(shù)較少的多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，在掌握這些方法后，教師可以增加多邊形的邊數(shù)，讓學(xué)生使用獨(dú)特的方法展開探索。比如，可以與學(xué)生交流：“我們不使用公式，可以比較快速地算出十二邊形的內(nèi)角和嗎？”對(duì)此，學(xué)生可以利用幾何畫板繪制一個(gè)十二邊形，再使用線段圖形工具，在十二邊形內(nèi)部插入很多的線段，將這一圖形分割成許多的三角形。然后輸出十二邊形內(nèi)部所有三角形的總數(shù)量，從而立足于三角形的內(nèi)角和知識(shí)快速求出該圖形的內(nèi)角和。又比如，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：“正多邊形的內(nèi)角和與多邊形的內(nèi)角和計(jì)算方法是一樣的嗎？”對(duì)此，學(xué)生可以用幾何畫板繪制十邊形、正十邊形；十一邊形、正十一邊形等多邊形。通過使用圖形工具進(jìn)行分割，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)十邊形和正十邊形都可以從內(nèi)部分割出8個(gè)三角形，十一邊形和正十一邊形都可以從內(nèi)部分割出9個(gè)三角形，從而能夠認(rèn)識(shí)到多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法與是否為正多邊形沒有關(guān)系。但是一些學(xué)生在利用幾何畫板分割時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，正多邊形可以從中點(diǎn)處延伸直線，更快地將圖形全部劃分為三角形，相比于普通多邊形的分割速度更快。由此，學(xué)生能夠?qū)Χ噙呅蝺?nèi)角和的問題進(jìn)行更深入的探索。在這個(gè)過程中，幾何畫板能夠成為學(xué)生自主探索、自主創(chuàng)造的平臺(tái)，讓學(xué)生進(jìn)一步成為幾何學(xué)習(xí)的主體，獲得更多的學(xué)習(xí)樂趣。

六、結(jié)束語

幾何畫板在初中幾何教學(xué)中能夠發(fā)揮多樣的作用。教師可以立足于基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和學(xué)生幾何能力的提高兩大方面，讓學(xué)生利用幾何畫板分別進(jìn)行幾何概念的認(rèn)識(shí)、幾何圖形特點(diǎn)的觀察、幾何定理的探究，以及數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)和新穎幾何問題的探索，全面提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

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