通過數(shù)形結(jié)合感悟運算一致性

【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學教學的重要媒介，是學生核心素養(yǎng)培育的有效抓手，它主要包含“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”這兩個方面的要義。教學“分數(shù)乘分數(shù)”，教師應(yīng)注意緊扣數(shù)學課程標準，基于整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法運算算理、算法的一致性來設(shè)計教學，并圍繞數(shù)形結(jié)合思想精準施教，讓學生完整地經(jīng)歷感悟運算一致性的過程，從而促進他們提升運算能力，發(fā)展推理意識，習得素養(yǎng)品格。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；運算一致性；分數(shù)乘分數(shù)

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）14-0016-04

【作者簡介】陳國強，江蘇省常州市武進清英外國語學校（江蘇常州，213164）教科研主任，一級教師，常州市數(shù)學學科帶頭人。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)，要讓學生“感悟數(shù)的運算及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。教學蘇教版六上“分數(shù)乘分數(shù)”時，通過打通整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算之間的“阻斷層”，借助數(shù)形結(jié)合思想方法聯(lián)系好“關(guān)聯(lián)帶”，從計數(shù)單位的核心概念角度重建“承重墻”，基于合情推理與演繹推理的展開，讓學生完整地經(jīng)歷感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算一致性的過程，有助于他們提升運算能力，發(fā)展推理意識，習得素養(yǎng)品格。

一、課前思考

綜觀當下的“分數(shù)乘分數(shù)”教學，要在課堂教學中實現(xiàn)數(shù)運算的一致性，徹底打通整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分數(shù)乘分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)新舊知識的整體性遷移內(nèi)化，主要需要解決以下問題：

一是對算法處理的“淺表化”，不少教師過于強調(diào)“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”的算法，沒有深入引導學生理解分子相乘的積表示計數(shù)單位的個數(shù)，分母相乘的積表示新的計數(shù)單位。

二是對算理解讀的“偏差性”，如在“分數(shù)乘法”單元前兩課時的學習中，分數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分數(shù)在運算過程中沒有產(chǎn)生新的計算單位，而教師對分數(shù)乘分數(shù)產(chǎn)生新的計數(shù)單位后再累加計算單位甚少提及，容易導致學生在算理理解上出現(xiàn)偏差。

三是對算律運用的“缺失感”，一些教師注重借助數(shù)形結(jié)合推理算理和算法的合理性，但缺少對分數(shù)乘分數(shù)結(jié)果的演繹推理過程，適時介入分數(shù)與除法的關(guān)系以及運算律的運用，能促進學生高階思維能力的提升。

二、課例實踐

為了幫助學生精準理解和建構(gòu)“分數(shù)乘分數(shù)”算理、算法的一致性，筆者重組教材內(nèi)容，聚焦矩形面積，以數(shù)形結(jié)合、邏輯推理為主要表征方式展開教學。

（一）借助面積模型，初步探究算理

1.問題呈現(xiàn)，獨立探究

出示：一個長方形的長為1/2米，寬為1/4米，求這個長方形的面積。

師：要求這個長方形的面積，應(yīng)如何列式？

生：因為長方形的面積等于長乘寬，所以列式為1/2×1/4。

師：有理有據(jù)，1/2×1/4怎樣計算呢？今天我們就一起來研究“分數(shù)乘分數(shù)”。

師：1/2×1/4既可以表示兩個具體數(shù)量相乘，也可以表示求一個分數(shù)的幾分之幾是多少，請大家用自己喜歡的方式去研究，并嘗試用不同的方法去驗證，遇到困難可以打開信封查看提示。然后小組交流，并選出代表在班里匯報。

2.交流分享，融理于法

師：下面，請小組派代表上臺匯報。

生1：我們小組是通過把分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)進行計算的，1/2×1/4=0.5×0.25=0.125（平方米）。

生2：我們利用信封提示，根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系將算式轉(zhuǎn)化成（1÷2）×（1÷4）=1×1÷2÷4=（1×1）÷（2×4）=1÷8=1/8。

生3：我們小組將一張紙上下對折，然后左右對折兩次得到這張紙的1/8。

生4：我們小組與折紙的方法類似，是用畫線段圖的方法來表示的，把一條線段看作單位“1”，先平均分成2份，取出其中的1份，然后在1/2中再平均分成4份，取出其中的1份，就得到這條線段的1/8。

生5：我們組也是采用畫圖的方法來驗證的，只不過畫的是長方形，我們將這個長方形看作單位“1”，一共平均分成了8份，其中的1份就是1/8。

師：通過畫線段圖和長方形都能表示出1/8，你們更喜歡哪一種？說說理由。

生：我比較喜歡畫這樣的長方形，假如1/2乘的是1/20，在1/2中平均分成20份長度不夠，而長方形的畫法可以先橫著畫出這個分數(shù)，再豎著畫出這個分數(shù)的幾分之幾。

（二）數(shù)形結(jié)合分析，明晰算理算法

1.再次驗證，歸納算法

師：剛才，同學們用不同方法驗證了1/2×1/4=1/8，你能繼續(xù)計算出2/3×4/5的結(jié)果并驗證嗎？（暫停）請你說，你是用什么方法計算的？

生1：我用的是畫長方形的方法，2/3×4/5相當于把這個單位“1”平均分成15份，取其中的8份，得到小長方形的面積是原來長方形面積的8/15。

師：你們也是用這種方法嗎？為什么不用分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或者折紙等其他方法呢？

生2：2/3不能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)，折紙方法又太麻煩，對折起來不方便。

師：老師這里還有兩幅作品，我們不妨把三幅作品（如圖1）放一起對比一下。畫得都對嗎？你更欣賞哪一幅？

生3：其實三幅作品都對，但我更喜歡第一幅作品，它能讓我們一眼就看出把單位“1”平均分成15份，取這樣的8份，也就是2/3的4/5是8/15。

師：這里的15份是怎么看出來的？8又是怎么看出來的？

生3：因為長被分成5列，寬被分成3行，所以5×3=15（份），而涂色部分長為4，寬為2，4×2＝8（份）。

生4：老師，其實就是分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

師：非常棒！你們都發(fā)現(xiàn)了嗎？這就是分數(shù)乘分數(shù)的計算方法，這里分母相乘得到的積就相當于單位“1”均分的總份數(shù)，而分子相乘的積就是取的份數(shù)。

2.數(shù)形結(jié)合，理解算理

師（出示圖2）：讓我們聚焦這個長方形，分母相乘求得一共的份數(shù)，分子相乘求得取的份數(shù)，結(jié)果是8/15，請問，它的計數(shù)單位是什么？你知道怎么來的嗎？

生：分數(shù)單位是1/15，是由這兩個分數(shù)的分數(shù)單位相乘得到的，一共有8個。

師：你觀察得很仔細，我們可以將兩個分數(shù)分別拆解成2個1/3和4個1/5，列式為2/3×4/5=（2×1/3）×（4×1/5）=（2×4）×（1/3×1/5）=8×1/15=8/15。從算式中可以看出，1/3×1/5產(chǎn)生了新的計數(shù)單位1/15，2×4則表示新計數(shù)單位的個數(shù)。

（三）橫向?qū)Ρ确此?，建立統(tǒng)一結(jié)構(gòu)

1.對比呈現(xiàn)，內(nèi)化結(jié)構(gòu)

出示圖3，帶領(lǐng)學生進行回顧。

師：我們剛才對分數(shù)乘分數(shù)進行分數(shù)單位的拆分與相乘，其實，在以前學習的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法中也可以進行拆分與相乘，仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？小組交流后匯報。

生1：我們組發(fā)現(xiàn)這三組算式都有10、0.1、幾分之一這些計數(shù)單位。

生2：我有補充，我發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都跟兩個乘數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)有關(guān)。

師：是啊，無論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分數(shù)乘法，本質(zhì)上都是把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位的個數(shù)相乘，得到新的計數(shù)單位的個數(shù)；把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位相乘，得到新的計數(shù)單位，最后求出它們的積是多少。

2.練習鞏固，深化理解

出示題目：在括號里填整數(shù)，（? ? ）/（? ? ）]的（? ? ）/（? ? ）是多少？得數(shù)由多少個計數(shù)單位組成？請用畫圖的方式表示出你的想法。

交流匯報，教師點評。

本節(jié)課以“計數(shù)單位”為核心概念，以“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”為基本運算，以“運算律”“等式的基本性質(zhì)”為基本規(guī)律，經(jīng)過三次探索，借助數(shù)形結(jié)合，對矩形的長和寬進行“先分后取，再分再取”，幫助學生理解新的分數(shù)單位“1/兩個分母相乘”的數(shù)學本質(zhì)，感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法運算的一致性，促進他們不僅知其然，而且知其所以然。

三、實施建議

東北師范大學馬云鵬教授指出：“教學數(shù)與數(shù)的運算一致性目的在于體現(xiàn)學習內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從關(guān)聯(lián)中體會其中的核心概念，讓學生更好地理解一個學科的基本原理。”對小學生而言，“一致性”即探尋數(shù)學學科本真，構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)抓住計算教學的核心要義，優(yōu)化教學環(huán)節(jié)，促進新知建構(gòu)。

（一）立足數(shù)形結(jié)合，深化結(jié)構(gòu)理解

美國加州大學伯克利分校伍鴻熙教授主張，用“矩形面積”定義“分數(shù)乘分數(shù)”的含義。蘇教版教材雖然借用了“矩形”，但少了“面積”的強化，教材中直觀圖呈現(xiàn)的算法清晰，但其算理卻有種“霧里看花”的感覺。人教版與北師大版教材則都借助了“矩形面積”，先規(guī)定矩形面積為單位“1”，縱向?qū)⑦呴L平均分成n份，得到第一個因數(shù)“a個1/n”，橫向?qū)⑦呴L平均分成m份，得到第二個因數(shù)“b個1/m”，然后由“a個分數(shù)單位1/n×b個分數(shù)單位1/m”得到“a×b個新的分數(shù)單位1/nm”，回歸到“計數(shù)單位的累加”，實現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法運算的一致性。因此，在本課中借助數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”是實現(xiàn)運算一致性的基本路徑，“相同計數(shù)單位累加”的核心概念能有效強化學生對數(shù)與運算本質(zhì)的理解，從而促進他們建立起具有一致性、整體性、互通性的數(shù)的運算整體結(jié)構(gòu)。

（二）感悟轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)推理意識

鼓勵學生“像數(shù)學家一樣思考”，需要在日常教學實踐中滲透數(shù)學思想方法模型，本節(jié)課基于邏輯推理推演“分數(shù)乘分數(shù)”的算理、算法，主要涵蓋兩個方面：一是證明“分數(shù)單位”相乘與“非分數(shù)單位”相乘，本質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化成“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位”后的累加；二是通過分數(shù)與除法的關(guān)系、運算律演繹推理出“分數(shù)乘分數(shù)”的結(jié)果是“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”。因此，通過分數(shù)與除法的關(guān)系以及運算律等核心知識的探究，有利于學生實現(xiàn)從直觀想象到抽象推理的順利過渡，促進學生“像數(shù)學家一樣推理”，幫助其學會用整體、關(guān)聯(lián)和發(fā)展的眼光看待數(shù)學問題，從而形成科學、理性的數(shù)學思維。

在數(shù)學教學中，我們應(yīng)該站在更高的角度，基于教材編排意圖以及學生認知現(xiàn)狀，把“分數(shù)乘分數(shù)”放到更廣闊的知識結(jié)構(gòu)體系中，引導學生完整地經(jīng)歷感悟運算一致性的過程，促進他們深刻感悟數(shù)與運算的一致性，從而提升運算能力，發(fā)展推理意識，習得素養(yǎng)品格。