尋根溯源：讓意義自然生長(zhǎng)

【摘 要】“小數(shù)除法”是小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算教學(xué)的重要內(nèi)容。要真正理解并構(gòu)建基于數(shù)運(yùn)算一致性的教學(xué)，需要教師注意尋根溯源，把握核心點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)的運(yùn)算一致性的全局性理解；突破重難點(diǎn)，建立數(shù)與運(yùn)算之間的聯(lián)系；找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，打通運(yùn)算與運(yùn)算之間的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；整體性；一致性；數(shù)運(yùn)算的一致性；小數(shù)除法

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）14-0012-04

【作者簡(jiǎn)介】李軍，廣東省深圳市鹽田區(qū)教科院附屬田東小學(xué)（廣東深圳，518081）教師，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，廣東省中小學(xué)“百千萬小學(xué)理科名教師”，深圳市名教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)就是整體性。對(duì)“整體性”的理解落實(shí)到小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域，就要讓學(xué)生“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。新課標(biāo)里的這段話字?jǐn)?shù)不多，但“知易行難”。如何更好地將新課標(biāo)要求融入課堂教學(xué)呢？“小數(shù)除法”是小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算教學(xué)的重要內(nèi)容，教師應(yīng)如何在其教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生真正理解并構(gòu)建數(shù)運(yùn)算的一致性呢？下面，筆者來談幾點(diǎn)思考。

一、尋根：構(gòu)建數(shù)運(yùn)算一致性的全局性理解

從當(dāng)前的教材和教學(xué)來看，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，加法、減法、乘法、除法有各自的算理，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)也有各自的算法，這些知識(shí)看似支離破碎，缺乏內(nèi)在一致性，其實(shí)不然。以“小數(shù)除法”為例，我們可以從運(yùn)算的意義、算理和算法等視角構(gòu)建對(duì)數(shù)運(yùn)算一致性的全局性理解，從而更好地實(shí)施基于數(shù)運(yùn)算一致性的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

1.縱向理解：小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性

從運(yùn)算算理、算法上分析，除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)在：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相除。以整數(shù)除法為例，被除數(shù)被分解成以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干個(gè)部分，這些部分分別參與運(yùn)算，再將得數(shù)組合。如“480÷2=240”其實(shí)就是被除數(shù)“480”被分成“4個(gè)百”和“8個(gè)十”，分別除以2，得到“2個(gè)百”和“4個(gè)十”，也就是“240”。不管是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都要遵守一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)則：逐步平分不同數(shù)位上計(jì)數(shù)單位的總數(shù)。如“11.5÷5=2.3”，其實(shí)就是“11.5”被分成了“10個(gè)一”與“15個(gè)0.1”，分別除以5，得到“2個(gè)一”和“3個(gè)0.1”，也就是“2.3”。通過這樣的規(guī)則使得每一次的商總是小于或等于9個(gè)計(jì)數(shù)單位，這就將除法運(yùn)算還原成了乘法口訣表中的乘法運(yùn)算，其背后其實(shí)是位值制和除法運(yùn)算意義的一致性，我們可以把它看成一種縱向的一致性。

2.橫向理解：小數(shù)四則運(yùn)算的一致性

從運(yùn)算意義上分析，加法是運(yùn)算意義的基礎(chǔ)，減法、乘法、除法都是在加法基礎(chǔ)上衍生而來的，那么，小數(shù)除法與小數(shù)的加法、減法、乘法之間也是有一致性的。小數(shù)加減運(yùn)算就是將每一個(gè)數(shù)按照計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解，然后相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減。如“1.26+4.1”，兩個(gè)加數(shù)分別分解成“1個(gè)一，2個(gè)0.1，6個(gè)0.01”和“4個(gè)一，1個(gè)0.1”，相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減后得到“5個(gè)一，3個(gè)0.1，6個(gè)0.01”，即“5.36”。小數(shù)乘法運(yùn)算也是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘。在這個(gè)意義上，小數(shù)除法中體現(xiàn)出來的一致性是對(duì)“位值制”和“運(yùn)算都是對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行操作”這兩個(gè)大概念再一次強(qiáng)有力的證明，帶領(lǐng)學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)的本源性、一致性和整體性。

基于上述分析，要構(gòu)建對(duì)數(shù)運(yùn)算一致性的全局性理解，就要帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)作用，縱向探索整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算的一致性，橫向打通四則運(yùn)算的一致性，促進(jìn)他們逐步理解所有運(yùn)算均基于計(jì)數(shù)單位，從而達(dá)到算理貫通、算法統(tǒng)整的目標(biāo)（如圖1）。

二、扎根：踐行數(shù)運(yùn)算一致性的關(guān)注點(diǎn)

要解決“小數(shù)除法”難以真正理解的問題，僅僅停留在對(duì)“小數(shù)除法”的研究是不夠的，需要系統(tǒng)思考、整體布局。

1.突破重難點(diǎn)，建立“數(shù)”與“運(yùn)算”之間的聯(lián)系

數(shù)概念是數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)運(yùn)算是對(duì)數(shù)概念的再應(yīng)用，由此可見數(shù)概念的理解對(duì)數(shù)運(yùn)算的重要性。具體到小數(shù)除法，小數(shù)意義的精準(zhǔn)建構(gòu)就是小數(shù)除法計(jì)算的一塊重要基石，直接影響到小數(shù)除法計(jì)算的學(xué)習(xí)效果。但是，小數(shù)意義的教學(xué)同樣是小學(xué)階段難啃的一塊硬骨頭，學(xué)生在小數(shù)意義理解方面主要存在以下兩個(gè)問題：一是學(xué)生對(duì)小數(shù)的數(shù)位意義缺乏足夠的理解，比如，學(xué)生能夠理解“1可以轉(zhuǎn)化為10個(gè)0.1”，但將這種理解轉(zhuǎn)化成計(jì)算中的“滿十進(jìn)一”并利用數(shù)位與位值進(jìn)行表征時(shí)，就出現(xiàn)了不同的錯(cuò)誤，這也說明學(xué)生并沒有將整數(shù)的十進(jìn)位值計(jì)數(shù)與小數(shù)的十分位值計(jì)數(shù)統(tǒng)一上升至十進(jìn)制思維；二是學(xué)生通常認(rèn)為小數(shù)表示數(shù)量，不能從“整體—部分”的意義層面加以理解，比如，與1/4盒餅干相比，0.25盒餅干的意義更難被學(xué)生理解。顯然，學(xué)生并沒有很好地從整體視角上關(guān)聯(lián)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)。

關(guān)于小數(shù)意義的教學(xué)研究相當(dāng)豐富，限于篇幅，本文僅基于以上分析提出兩點(diǎn)思考。

其一，在教學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，樣例適當(dāng)增加帶小數(shù)。在教學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，常常需要結(jié)合面積模型、立體模型等不同模型理解小數(shù)“十分”的本質(zhì)，此時(shí)教材中的樣例以純小數(shù)居多（如圖2）。在初學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，這樣的安排有其合理性，沒有整數(shù)部分的干擾，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系更容易凸顯。但考慮到在完成此類練習(xí)時(shí)學(xué)生僅憑三年級(jí)學(xué)習(xí)“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的經(jīng)驗(yàn)就可以準(zhǔn)確填空，很容易忽略掉最關(guān)鍵的一步（? ? ）/（? ? ）=（ ）。沒有真正建立起小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，小數(shù)概念的本質(zhì)就不能很好地凸顯。因此，在后續(xù)練習(xí)鞏固時(shí)，要合理進(jìn)行變式練習(xí)，尤其應(yīng)當(dāng)在樣例中適當(dāng)增加形如“1.3=（? ? ）/（? ? ）”“1.30=（? ? ）/（? ? ）”的練習(xí)，幫助學(xué)生真正理解“小數(shù)是按照十等分和逢十進(jìn)一的規(guī)則構(gòu)造出來的，和整數(shù)一起構(gòu)成完整的位值計(jì)數(shù)系統(tǒng)”，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展十進(jìn)制思維，這才是小數(shù)教學(xué)的本質(zhì)意義和核心所在。

其二，在理解“整體—部分”關(guān)系時(shí)，適當(dāng)增加非十進(jìn)率情境。學(xué)生在日常生活中常常能在超市等地見到小數(shù)，很容易讀懂表示價(jià)格的小數(shù)，但也只是從“形”上記住了小數(shù)，對(duì)小數(shù)意義的理解只停留在元、角、分等特定情境下。如學(xué)生在理解“1元2角3分=（? ?）元”時(shí)，依據(jù)是“元”對(duì)著個(gè)位，“角”對(duì)著十分位，“分”對(duì)著百分位，這種解釋沒有上升至對(duì)小數(shù)抽象概念的理解，不能很好地實(shí)現(xiàn)小數(shù)概念的數(shù)學(xué)化。因此，在教學(xué)中，不能忽視從“整體—部分”的層面理解小數(shù)的意義，爭(zhēng)取實(shí)現(xiàn)“在非十進(jìn)率的單位情境下理解小數(shù)的含義”和“在無情境下能夠理解小數(shù)計(jì)數(shù)單位的意義”。如在學(xué)習(xí)小數(shù)的意義時(shí)，可以先有意識(shí)地增加“1米3厘米=（? ?）米”“12克=（? ?）千克”等整百、整千進(jìn)率的單位情境，再嘗試挑戰(zhàn)“0.4分=（? ?）秒”等六十進(jìn)率的單位情境。這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)概念的一般路徑，有助于學(xué)生在不同進(jìn)率的單位情境中學(xué)習(xí)體驗(yàn)，不斷深化思考，提煉出共性，從而達(dá)成對(duì)小數(shù)抽象意義的理解，形成對(duì)小數(shù)概念本質(zhì)的深刻理解。

2.找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，打通“運(yùn)算”與“運(yùn)算”之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一個(gè)統(tǒng)一體，但要真正打通運(yùn)算與運(yùn)算之間的聯(lián)系并不容易?！靶?shù)除法”主要包含“小數(shù)除以整數(shù)”“整數(shù)除以整數(shù)（商是小數(shù)）”“小數(shù)除以小數(shù)”等內(nèi)容，實(shí)際上，小數(shù)除法可以簡(jiǎn)單分為兩類——“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。由于“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”可以通過商的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”來計(jì)算，其他知識(shí)都圍繞這兩種小數(shù)除法展開并逐步深入，所以事實(shí)上，“小數(shù)除法”教學(xué)的核心內(nèi)容就是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”。

進(jìn)一步分析，在“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中，多個(gè)版本的教材均以“小數(shù)除以整數(shù)”為第一課時(shí)，因而筆者以“小數(shù)除以整數(shù)”為研究對(duì)象開展了一次調(diào)查。隨機(jī)抽取四年級(jí)兩個(gè)班90名同學(xué)，要求學(xué)生用自己的方法完成“買了5支鉛筆，用了11.5元，每支鉛筆多少元？”這道題。調(diào)查結(jié)果出乎意料，87.8%的學(xué)生能夠根據(jù)情境正確列出除法算式并得到正確答案，學(xué)生是怎么做到的呢？

在回答正確的學(xué)生中，有79.7%的人遷移了整數(shù)除法的計(jì)算方法，列出如圖3所示的豎式。筆者對(duì)這部分學(xué)生進(jìn)行訪談發(fā)現(xiàn)，他們盡管是首次接觸小數(shù)除法，也沒有學(xué)習(xí)過小數(shù)乘法，但因其在之前的學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到了“小數(shù)加減法”與“整數(shù)加減法”的一致性，了解到“小數(shù)加減混合運(yùn)算的法則與整數(shù)相同”，所以大膽猜測(cè)可以將“整數(shù)除法”的算法遷移到“小數(shù)除法”。需要注意的是，僅有5個(gè)學(xué)生在豎式計(jì)算中“除到小數(shù)部分不保留小數(shù)點(diǎn)”，其余學(xué)生均保留了小數(shù)點(diǎn)，這說明多數(shù)學(xué)生沒有理解豎式的每一個(gè)步驟都是在記錄“計(jì)數(shù)單位數(shù)量的等分”。

針對(duì)上述問題，筆者從兩個(gè)方面提出教學(xué)建議。

其一，強(qiáng)化操作，重視過程。無論在整數(shù)除法還是小數(shù)除法的教學(xué)中，都要強(qiáng)化操作活動(dòng)，重視讓學(xué)生經(jīng)歷“分的過程”。在學(xué)習(xí)整數(shù)除法時(shí)，要舍得花時(shí)間，如提供如圖4所示的學(xué)具，讓學(xué)生充分經(jīng)歷對(duì)“計(jì)數(shù)單位”的操作，并在操作完成后引導(dǎo)學(xué)生用語言描述“分的過程”。如此，操作、算式、語言在比較中互相轉(zhuǎn)化，豐富了“分”的表象，強(qiáng)化了“分”的感知，再放手讓學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算。即使如此，在學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，依然不能忽視“分的過程”，小數(shù)點(diǎn)要不要下來，不能簡(jiǎn)單一筆帶過，要借助“元、角、分”模型，讓學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度來理解，通過具體操作明晰，在小數(shù)計(jì)算的過程中，始終都是在進(jìn)行“計(jì)數(shù)單位數(shù)量的等分”，達(dá)成計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)下的小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性。

其二，加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，適度深化。在調(diào)查中，學(xué)生解決問題的方法多達(dá)十余種，比較典型的有拆分法和轉(zhuǎn)化法。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類，梳理出不同方法之間的共性，得到拆分和轉(zhuǎn)化兩種方法，但分析不能僅僅停留在這一層面，還要去粗取精、由表及里。從本質(zhì)上來說，轉(zhuǎn)化法就是縱向上的數(shù)運(yùn)算的一致性，都是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法后進(jìn)行計(jì)算，只是轉(zhuǎn)化思路各有千秋。拆分法則是逐步平分不同數(shù)位上計(jì)數(shù)單位的總數(shù)，體現(xiàn)的是運(yùn)算都是對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行的操作，可以從橫向上的數(shù)運(yùn)算的一致性進(jìn)行理解。站在這樣的高度賞析學(xué)生作品，既有助于激發(fā)學(xué)生的自豪感和自信心，也有助于他們形成數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思想和方法。

當(dāng)然，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)運(yùn)算的一致性，不可急于求成，而要靜待花開。我們要從零敲碎打走向整體建構(gòu)，在數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算的每一節(jié)課中尋根溯源、把握本質(zhì)，在日積月累的堅(jiān)持中期待復(fù)利效應(yīng)凸顯，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.