張洪雷 周學(xué)良
數(shù)學(xué)家波利亞說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟?!痹跀?shù)學(xué)課堂上,教師恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴},引導(dǎo)學(xué)生解決問題,對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。但是,并不是所有的問題都能成為數(shù)學(xué)的“心臟”,也不是所有的問題都是思維的源泉和起點(diǎn)。近來,筆者聽了幾節(jié)課,留意到教師提出的一些問題。這些問題乍看上去沒什么,但仔細(xì)推敲、琢磨,里面還真有“問題”。
一、問得“淺”
問題1:帶分?jǐn)?shù)能不能化為假分?jǐn)?shù)?
分析:這是教師在教學(xué)“倒數(shù)”時(shí)提出的問題。教師在通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生歸納出倒數(shù)的定義之后,下一步要探索倒數(shù)的求法。通過前面的學(xué)習(xí),學(xué)生對于純分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的求法應(yīng)該已經(jīng)掌握,下面的問題是帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)這些純分?jǐn)?shù)以外的數(shù)的倒數(shù)的求法。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握了純分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的求法,根據(jù)把未知轉(zhuǎn)化為已知的學(xué)習(xí)規(guī)律,也就是把帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)都化為純分?jǐn)?shù)之后再求其倒數(shù)。在求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí),教師提出了“帶分?jǐn)?shù)能不能化為假分?jǐn)?shù)”這樣的問題。按說也是正常的,問題在于這樣的提問有些“淺”。學(xué)生不但知道帶分?jǐn)?shù)能化為假分?jǐn)?shù),而且對轉(zhuǎn)化的方法也不陌生。教師提這樣的問題,對于促進(jìn)學(xué)生的思考沒有多大價(jià)值。
改進(jìn):除了純分?jǐn)?shù),其他的數(shù)如何求倒數(shù)?
對這個(gè)問題,學(xué)生需要做兩步思考:第一步,除了純分?jǐn)?shù),還有什么數(shù)?第二步,這些數(shù)如何轉(zhuǎn)化為純分?jǐn)?shù),進(jìn)而求其倒數(shù)。這樣的問題就可以促進(jìn)學(xué)生積極思考。對于純分?jǐn)?shù)以外的數(shù),教師可以讓學(xué)生充分發(fā)表意見,集多個(gè)學(xué)生的智慧,把它們一一找出來。這其中還隱含著分類思想,要求學(xué)生運(yùn)用列舉法解決問題,然后再使學(xué)生進(jìn)一步思考如何將這些數(shù)化為純分?jǐn)?shù)。
二、問得“窄”
問題2:平行四邊形能不能轉(zhuǎn)化成長方形?能不能把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積來計(jì)算?
分析:這樣的問題,一開始就給轉(zhuǎn)化定了方向,窄化了結(jié)論“平行四邊形能轉(zhuǎn)化成長方形”“能把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積來計(jì)算”,下面的任務(wù)就是探索如何轉(zhuǎn)化。很多情況下,教師的提問中都暗藏著答案,對于習(xí)慣了教師教學(xué)套路的學(xué)生來說,不需要?jiǎng)幽X筋就能知道答案。這種問題的價(jià)值不就大打折扣了嗎?
改進(jìn):可以把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成學(xué)過的哪種圖形的面積來計(jì)算?如何轉(zhuǎn)化呢?
對于這個(gè)問題,學(xué)生首先要考慮已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些圖形的面積計(jì)算,哪種圖形和平行四邊形比較接近、有轉(zhuǎn)化的可能。這樣的提問給學(xué)生留有探索、思考的空間,使他們開動(dòng)腦筋去思考,去尋找轉(zhuǎn)化的目標(biāo),同時(shí)為轉(zhuǎn)化做打算。當(dāng)他們找到目標(biāo)以后,轉(zhuǎn)化的方法也在設(shè)想中了。學(xué)生在求三角形內(nèi)角和時(shí)已經(jīng)有了“撕、拼”的經(jīng)驗(yàn)和折疊的經(jīng)歷,他們動(dòng)起手來,去探索轉(zhuǎn)化的方法,主動(dòng)性就被激發(fā)出來了。
三、問得“早”
問題3:怎樣求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)?
分析:這個(gè)問題的“問題”所在,就是問得太早了,也問得太大、太深了。對小學(xué)生而言,他們是沒有能力解答這個(gè)問題的,要依靠教師和同學(xué)們共同完成。提問題是為了引發(fā)學(xué)生的思考。當(dāng)所提問題超出學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生的思考也就到了一個(gè)“盲區(qū)”,不知從何下手,難免會(huì)遭遇“冷場”。
改進(jìn):請求出下列各數(shù)的倒數(shù),然后說一說怎樣求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
教師可以給出真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)等。求出它們各自的倒數(shù)后,學(xué)生有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累,就可以分類說明“怎樣求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)”??赡苡行W(xué)生不會(huì)分類說明,要?dú)w納形成概括性的語言,有不小的困難,還需要教師的引導(dǎo)。
四、問得“明”
問題4:把一個(gè)圓柱體的側(cè)面沿母線剪開,會(huì)得到一個(gè)什么圖形?
分析:這個(gè)問題表面看來沒有問題,但教師心中已經(jīng)有標(biāo)準(zhǔn)答案了,就是沿圓柱的一條母線剪開,得到一個(gè)長方形。學(xué)生在教師的啟發(fā)下,順利地得到了標(biāo)準(zhǔn)答案。當(dāng)然教學(xué)環(huán)節(jié)也進(jìn)行得非常順利。問題在于,這個(gè)開放性問題被教師限制在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案中了。而其中的主要原因是教師的操作替代了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐。
改進(jìn):用自己的方式把圓柱體側(cè)面的包裝紙剪開,會(huì)得到一個(gè)什么圖形?
事實(shí)上,如果放手讓學(xué)生去剪開圓柱體側(cè)面的包裝紙,學(xué)生用自己“笨拙”的雙手操作不太聽使喚的剪刀,得到的恐怕不只是長方形,還有可能得到平行四邊形,或者是一個(gè)“曲邊”長方形和一個(gè)“曲邊”平行四邊形。出現(xiàn)了多樣的答案后,學(xué)生就會(huì)感到驚奇,怎么回事???即使學(xué)生不驚奇,教師也要“驚奇”一番。對問題的“驚奇”有了,思維活動(dòng)自然就開始了。
五、問得“高”
問題5:什么是倒數(shù)?
分析:這樣的問題,在小學(xué)乃至初中數(shù)學(xué)課堂上都是司空見慣的,應(yīng)該說沒有什么問題。教師的本意是想了解學(xué)生對倒數(shù)定義的掌握情況?!叭绻麅蓚€(gè)數(shù)的乘積是1,我們稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)?!睂W(xué)生會(huì)背這樣一句話。但關(guān)鍵在于,小學(xué)生的理解能力有限,數(shù)學(xué)語言又具有高度的抽象性,會(huì)背不代表可以理解,也不代表會(huì)用。從這個(gè)角度來說,這個(gè)提問就有問題了。小學(xué)生的思維特點(diǎn)是直觀思維占主導(dǎo)地位,而抽象的定義需要具體的例子做支撐。這樣看來,僅考查學(xué)生是否會(huì)背定義是沒有多大意義的。
改進(jìn):請舉例說明什么是倒數(shù)。
這樣提問就不一樣了。學(xué)生不僅要會(huì)背倒數(shù)的定義,還要能舉出例子,借助例子直觀地呈現(xiàn)抽象的定義,兩者結(jié)合就促進(jìn)學(xué)生的理解。學(xué)生能舉出豐富的例子,是理解概念的重要標(biāo)志。由此可見定義結(jié)合舉例子的意義所在。不僅是在小學(xué),到了初中,我們也應(yīng)該在很長一段時(shí)間內(nèi)如此提問題。
六、問得“暗”
問題6:1的倒數(shù)是什么?0有沒有倒數(shù)?為什么?
分析:“1的倒數(shù)是什么”沒有問題,關(guān)鍵是和“0有沒有倒數(shù)”連在一起,就帶了暗示性?!?的倒數(shù)是什么”說明1是有倒數(shù)的,任務(wù)就是把1的倒數(shù)求出來。接下來問“0有沒有倒數(shù)”,就有一種暗示的意味:0沒有倒數(shù)。學(xué)生等于猜到了答案,接下來的任務(wù)就是解決“為什么”的問題了。一旦教師所提的問題帶有暗示的成分,對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力來說就意義不大了。
改進(jìn):先求1的倒數(shù),再求0的倒數(shù),你有什么發(fā)現(xiàn)?
1和0都是整數(shù),學(xué)生求出1的倒數(shù)應(yīng)該不是難事。遵照此法,接著求0的倒數(shù),發(fā)現(xiàn):1的倒數(shù)還是1,而在求0的倒數(shù)時(shí),0卻出現(xiàn)在分母上。亞里士多德說過:“思維從對問題的驚訝開始?!薄?的倒數(shù)竟然還是1!”這是一次驚訝?!扒?的倒數(shù)時(shí),0居然出現(xiàn)在分母上!”這又是一次驚訝。學(xué)生經(jīng)過思考,有了重大發(fā)現(xiàn)。這樣的發(fā)現(xiàn)難道不足以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究熱情嗎?更何況教師接下來又發(fā)出感慨:“1好孤單,0好可憐!”這足以讓學(xué)生興奮、激動(dòng),同時(shí)也會(huì)對有關(guān)1和0的倒數(shù)問題留下深刻的印象。
根據(jù)課標(biāo)要求、教學(xué)內(nèi)容,以及學(xué)生的年齡特點(diǎn)、思維能力、認(rèn)知水平、知識(shí)基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)積累等因素,來決定提什么樣的問題、何時(shí)提出問題、以何種方式提問題、提出問題后期待學(xué)生給出什么樣的答案,這些都是教師在提出問題時(shí)應(yīng)該考慮的。
這里,我們關(guān)注的只是教師在課堂上提出的問題。事實(shí)上,學(xué)生能夠提出問題才是我們的最終目的。學(xué)貴有疑。我們的目標(biāo)是增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。對學(xué)生提出的問題,我們不能“百般挑剔”,而要關(guān)注“你是怎么想出來的”。
學(xué)生探究知識(shí)的欲望,是從問題開始的。教師恰當(dāng)?shù)靥岢鲆粋€(gè)富有吸引力的問題,往往能激發(fā)學(xué)生的思維火花。教師精心設(shè)計(jì)的問題,能促進(jìn)學(xué)生積極開動(dòng)腦筋,進(jìn)行回憶、判斷、想象、推理等一系列思維活動(dòng),積極地投入對問題的探索之中,對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣起到非常重要的作用。希望我們的教師能夠提出高質(zhì)量的問題,引領(lǐng)學(xué)生走向思維的殿堂。
(張洪雷單位系永城市龍崗鎮(zhèn)中心小學(xué),周學(xué)良單位系永城市第三初級(jí)中學(xué))