關(guān)聯(lián)平面內(nèi)四個點的一個恒等式及其空間類比

重慶市長壽龍溪中學(xué)(401249) 吳波

1 圓內(nèi)接四邊形中的一個恒等式

在文獻(xiàn)[1]中我們將楊學(xué)枝老師在文獻(xiàn)[2]中得到的關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的一個恒等式變形為如下等價形式:

定理1[1]如圖1,凸四邊形ABCD有外接圓,P為空間中任意一點,則:|PA|2S?BCD+|PC|2S?ABD=|PB|2S?ACD+|PD|2S?ABC.

圖1

文獻(xiàn)[1]中的證明依賴于用行列式表述的四點共圓的充要條件.本文中我們給出這個行列式的幾何意義,由此可以得到關(guān)聯(lián)平面內(nèi)四個點的一個恒等式,這個恒等式給出了定理1 的一個推廣.最后我們還將此恒等式類比到空間——即得到關(guān)聯(lián)空間中五個點的一個恒等式.

約定本文中提到的面積均為有向面積,體積也為有向體積,并遵從通常的符號規(guī)則.

2 預(yù)備定理

先介紹幾個引理:

引理1在平面直角坐標(biāo)系中,

引理2對?ABC所在平面內(nèi)任意一點O,有如下恒等式成立:S?ABC=S?OAB+S?OBC+S?OCA.

引理3在空間直角坐標(biāo)系中,

引理1 至引理3 是幾何中的常見結(jié)論,證略.

引理4[3]在平面直角坐標(biāo)系中,?ABC外接圓方程為:

引理5在空間直角坐標(biāo)系中,四面體ABCD外接球方程為:.

簡證此方程顯然是表示一個球.又,由行列式性質(zhì)知:此球顯然經(jīng)過此四面體的四個頂點.而空間不共面的四個點唯一確定一個球.因此,這個方程就是四面體ABCD外接球方程.證畢.

3 一個行列式的幾何意義

先給出下面這個與圓方程有關(guān)的代數(shù)式的幾何意義.

定理2若實數(shù)d,e,f滿足d2+e2>f,記f(x,y)=x2+y2+2dx+2ey+f.在平面直角坐標(biāo)系中,f(x,y)=0表示一個圓,將其圓心(?d,?e)記作K,半徑記作r,則f(xp,yp)=|PK|2?r2,即f(xp,yp)的幾何意義是點P關(guān)于⊙K的冪.

證明配方可知:

所以f(xP,yP)=(xP+d)2+(yP+e)2?r2=|PK|2?r2.證畢.

定理3在平面直角坐標(biāo)系中,?ABC外接圓半徑為R,點D到?ABC外心的距離為d,則:

即上式左側(cè)這個行列式的幾何意義是:點D關(guān)于?ABC外接圓的冪的2S?ABC倍.

證法一容易驗證:定理3 中行列式的值對平面直角坐標(biāo)系具有平移不變性.因此我們不妨設(shè)?ABC的外心為原點O,在此坐標(biāo)系下有:所以

上面最后一步用到了引理1.證畢.

證法二將定理3 中行列式與引理4 中行列式對照可知:定理3 中行列式是將點D的坐標(biāo)(xD,yD)代入引理4 中?ABC外接圓方程中左邊那個行列式所得.又,展開易知:引理4 中?ABC外接圓方程中“x2+y2”的系數(shù)為(用到引理1).而定理2 中f(x,y)的“x2+y2”的系數(shù)為1,將其擴(kuò)大2S?ABC倍即知定理3 的結(jié)論成立.證畢.

4 關(guān)聯(lián)平面內(nèi)四個點的一個恒等式

由定理3 我們可以證明:

定理4如圖2,平面內(nèi)有四點A1,A2,A3,A4(其中任三點不共線),對1,2,3,4 的任一排列i,j,k,l,將過點Aj,Ak,Al的圓記作⊙Oi(圓心即為⊙Oi),其半徑為Ri,|OiAi|=di,則

圖2

證明對A1,A2,A3｜,A4應(yīng)用定理3 有:

而這兩個行列式的值顯然互為相反數(shù),因此

類似地,還有另兩外兩個也與它們相等.證畢.

由定理3 我們還可得:

定理5A1,A2,A3,A4,P是平面內(nèi)五點,?A1A2A3外接圓半徑為R,A4到?A1A2A3外心的距離為d.則.

證明以P為原點建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)Ai(xi,yi)(i=1,2,3,4),則對A1,A2,A3,A4應(yīng)用定理3 可得:

將此行列式按第一列展開并結(jié)合引理1 可知(注意有向面積中的字母有順序):

上式兩邊同時改變符號即得定理5 中的結(jié)論.證畢.

說明改變定理4 中連等式的符號就可以與定理5 中等式連等起來,因此可以視為一個恒等式.

將定理5 中的A4改寫為Q,并將定理5 中的恒等式移項變形,可得定理5 的如下等價形式:

推論1?A1A2A3外接圓半徑為R,點P,Q是?A1A2A3所在平面內(nèi)任意兩點,Q到?A1A2A3外心的距離為d,則.

當(dāng)P,Q重合時可得文獻(xiàn)[4]中的定理5:

推論2[4]?A1A2A3外接圓半徑為R,點P是?A1A2A3所在平面內(nèi)任意一點,P到?A1A2A3外心的距離為d,則.

此外,當(dāng)A1,A2,A3,,A4四點共圓時,d=R,由定理5 可得:

推論3平面內(nèi)A1,A2,A3,,A4四點共圓,對平面內(nèi)任意一點P,有.

對比推論3 與定理1,兩個結(jié)論在形式上完全一致! 但推論3 的改進(jìn)之處在于:利用有向面積表述之后,只要求四點共圓,對四點的順序不作要求.但定理1 中的點P是空間中的任意點,這讓我們想到:推論3,甚至于定理5 中的點P是否也可以推廣為空間中的任意點呢? 經(jīng)過探討,確實如此!即有:

定理6如圖3,A1,A2,A3,,A4是平面內(nèi)四點,P是空間中任意點.?A1A2A3外接圓半徑為R,A4到?A1A2A3外心的距離為d.則

證明當(dāng)點P也在該平面內(nèi)時,定理5 已經(jīng)表明結(jié)論成立.當(dāng)點P在該平面外時,如圖3,設(shè)P到平面的距離為h,P在平面內(nèi)的正投影為O,則

圖3

|PAi|2=h2+|OAi|2(i=1,2,3,4).代入定理6 中待證恒等式的左邊得:

因O在平面內(nèi),對O應(yīng)用定理5 可知:上式前四項之和等于.

這正好與定理6 中待證恒等式的右邊抵消! 因此只需證最后一項等于0 即可.而它顯然等價于下式:如圖3,當(dāng)四邊形A1A2A3A4是凸四邊形時,很容易看出上式左右兩邊其實都等于四邊形A1A2A3A4的有向面積,因此左右顯然相等.但如果四邊形A1A2A3A4是凹的或者邊與邊有交點的四邊形,上式就不那么明顯了.此時由引理2 知:

同理,定理5 推論1 推論3 的點P都可以推廣到空間中的任意點,因此定理6 是定理1 的一個非常一般的推廣.

5 關(guān)聯(lián)空間中五個點的一個恒等式

我們看到平面內(nèi)的引理1 與引理4 可分別類似于空間中的引理3 與引理5.如果定理2 定理3 在空間中的類比也成立,那么定理4 定理5 就自然可以類比到空間中.可以證明:這些類比都是成立的!

本小節(jié)中我們將這些類比結(jié)果羅列如下,而具體證明留給讀者.

定理7若實數(shù)d,e,f,g滿足d2+e2+f2>g,記f(x,y,z)=x2+y2+z2+2dx+2ey+2fz+g.在空間直角坐標(biāo)系中,f(x,y,z)=0 表示一個球,將其球心(?d,?e,?f)記作K,半徑記作r,則f(xp,yp,zp)=|PK|2?r2,即f(xp,yp,,zp)的幾何意義是點P關(guān)于球K的冪.

定理8在空間直角坐標(biāo)系中,四面體ABCD外接球半徑為R,點E到四面體ABCD外心的距離為d,則

即上式左側(cè)這個行列式的幾何意義是:點E 關(guān)于四面體ABCD外接球的冪的6V四面體ABCD倍.

定理9空間中有五點A1,A2,A3,A4,A5(其中任四點不共面),對1,2,3,4,5 的任一排列i,j,k,l,m,將過點Aj,Ak,Al,Am的球記作球Oi(球心即為Oi),其半徑為Ri,|OiAi|=di,則

定理10A1,A2,A3,A4,A5,P是空間中任意六點,四面體A1A2A3A4外接球半徑為R,A5到四面體A1A2A3A4外心的距離為d.則

將定理10 中的A5改寫為Q,并將定理10 中的恒等式移項變形,可得定理10 的如下等價形式:

推論1四面體A1A2A3A4外接球半徑為R,點P,Q是空間中任意兩點.Q到四面體A1A2A3A4外心的距離為d,則當(dāng)P,Q重合時可得:

推論2四面體A1A2A3A4外接球半徑為R,點P是空間中任意一點.P到四面體A1A2A3A4外心的距離為d,則

當(dāng)A1,A2,A3,A4,A5五點共球時,d=R,由定理10 可得:

推論3[7]空間中A1,A2,A3,A4,A5五點共球,對空間中任意一點P有

本文結(jié)果也可以看作是行列式應(yīng)用的一個例子,行列式的更多應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[6-7].

順便指出:文獻(xiàn)[7]中命題2 中的體積恒等式恰好搞反了符號! 應(yīng)更正如下:

命題[7]O是空間中任意一點,則