逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

張海軍

【摘要】逆向思維是從問題的結(jié)果出發(fā)或從其他角度對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種思維方式，如逆用數(shù)學(xué)公式、反證法、轉(zhuǎn)化法，等等.逆向思維對(duì)于降低學(xué)生解題難度有著重要意義，研究其應(yīng)用技巧可提高數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生解題能力.文章結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)解題案例論述了逆向思維在解填空題、選擇題、運(yùn)算題、應(yīng)用題時(shí)的應(yīng)用技巧，旨在提高學(xué)生的逆向思維能力，推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；應(yīng)用技巧

現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)命題方式越來越新穎.對(duì)于一些問題，學(xué)生利用正向思維很難快速解決.對(duì)此，提升學(xué)生的思維靈活性，使其掌握應(yīng)用逆向思維解決問題的方法，可幫助其攻克解題難點(diǎn).逆向思維的應(yīng)用類型有很多，只有“對(duì)癥下藥”，才能保證解題的快速性與準(zhǔn)確性.為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要研究逆向思維在解決小學(xué)數(shù)學(xué)不同類型問題中的應(yīng)用技巧，并將其巧妙融入數(shù)學(xué)解題教學(xué)，為不斷豐富課程內(nèi)涵，推進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展做好準(zhǔn)備.

一、逆向思維在填空題中的應(yīng)用技巧

填空題是小學(xué)數(shù)學(xué)試卷上的必有題型，通常將要求的結(jié)果以橫線代替，要求學(xué)生根據(jù)題目給出的已知條件進(jìn)行分析運(yùn)算，并將正解寫在橫線上方.小學(xué)數(shù)學(xué)填空題的特征是題目信息少、跨度大、覆蓋面廣，往往以簡(jiǎn)練的題目考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，難免會(huì)遇到難以用常規(guī)思維解決的填空題.此情況下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目特征酌情選取反證法、逆用數(shù)學(xué)公式等逆向思維解題法，以此實(shí)現(xiàn)快速求解.比如，在人教版二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘法（一）”一課的習(xí)題教學(xué)中，有填空題如下：

解析 按照正向思維，學(xué)生應(yīng)基于小勇媽媽給出的金額進(jìn)行除法列式、減法列式，得到還剩下2元的結(jié)果.但是這樣的思維方式無法確定給出的金額到底是多少.這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維進(jìn)行分析：小勇最后剩下2元錢，在買零食之前應(yīng)剩下的錢應(yīng)是2+4=6（元）.根據(jù)“小勇先用這些錢的一半買了玩具”，可以明確“6元”與小勇買玩具的金額相等，之后進(jìn)行除法的逆運(yùn)算：6×2=12（元），即可得到媽媽給的總錢數(shù)為12元.結(jié)合圖1所示內(nèi)容進(jìn)行逆推，可進(jìn)一步提高解題效率：

解決難以利用正向思維推理數(shù)值的填空題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，同時(shí)借助圖示、實(shí)物等多種工具將題目給出的抽象信息具象化，之后結(jié)合問題中的等量關(guān)系采取倒推法進(jìn)行逆向運(yùn)算，達(dá)到輕松求解的目的.

二、逆向思維在選擇題中的應(yīng)用技巧

小學(xué)數(shù)學(xué)選擇題由題干與備選項(xiàng)兩部分構(gòu)成.題干常以陳述句或疑問句的形式出現(xiàn)，通過呈現(xiàn)問題情境激發(fā)學(xué)生的解題興趣；備選項(xiàng)以數(shù)字、短語等形式出現(xiàn)，通常為與題干有著直接關(guān)系的備選答案.小學(xué)數(shù)學(xué)選擇題大多為單選題，備選項(xiàng)中只有一個(gè)正確答案，其他為干擾項(xiàng).遇到難以通過正向思考解決的選擇題時(shí)，學(xué)生可運(yùn)用逆向思維進(jìn)行推理，或直接將題目給出的選項(xiàng)代入原題選定正確答案.比如，在人教版二年級(jí)下冊(cè)“表內(nèi)除法（一）”一課的習(xí)題教學(xué)中，有選擇題如下：

例2 甲、乙兩名學(xué)生在玩猜數(shù)游戲.甲說：我心里想著一個(gè)數(shù)，給這個(gè)數(shù)加上9，再取和的一半應(yīng)是5.乙猜想這個(gè)數(shù)是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 這一問題直接給出結(jié)果，要求學(xué)生逆推條件.按照常規(guī)思路分析問題顯然具有一定的難度，為此，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，以結(jié)果為起點(diǎn)，逆向推理：甲心想的數(shù)加上9后和的一半是5，說明和為5×2=10，向前逆推，可明確這個(gè)數(shù)為10-9=1.也可換一個(gè)角度思考：這一問題給出了四個(gè)選項(xiàng).先根據(jù)題目給出的數(shù)量關(guān)系列出算式，將甲心想的數(shù)用“□”代替，得到（□+9）÷2=5.將1，2，3，4四個(gè)數(shù)值分別代入原式，代入后等式仍然成立的數(shù)即為正確答案.

解決問題結(jié)果（或最后結(jié)論）是已知數(shù)據(jù)（或起始條件）這種類型的問題時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生綜合考慮題目中的已知、未知數(shù)量關(guān)系，確定正向、逆向運(yùn)算順序，再將所要求的數(shù)量用數(shù)學(xué)符號(hào)代替，列出正向算式，之后根據(jù)逆推的思路進(jìn)行正向算式、逆向算式的互化，從而得到所求數(shù)的具體數(shù)值，之后將所得數(shù)值與題目給出的具體選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)照，即可輕松選出正確選項(xiàng).除此之外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將選擇題給出的備選答案反向代入原題當(dāng)中，若代入后原題給出的數(shù)量關(guān)系仍然成立，說明代入數(shù)值正確，若不成立則說明代入數(shù)值并不是正確答案.

三、逆向思維在計(jì)算題中的應(yīng)用技巧

計(jì)算題是以算理、算法為核心考點(diǎn)的問題，包括加、減、乘、除及混合運(yùn)算等類型.常規(guī)的計(jì)算題可直接套用計(jì)算公式進(jìn)行求解，但一些簡(jiǎn)便運(yùn)算問題、數(shù)字填空問題需要運(yùn)用逆向思維將其轉(zhuǎn)化.

（一）解簡(jiǎn)便運(yùn)算題

簡(jiǎn)便運(yùn)算題以加（乘）法交換律、結(jié)合律，乘法分配律，除法的性質(zhì)為主要考點(diǎn)，要求學(xué)生將復(fù)雜算式化簡(jiǎn)求值，且該過程應(yīng)盡量避免使用筆算的方法.一些運(yùn)算題并不以a+b=b+a，a×（b+c）=a×b+a×c等常規(guī)形式出現(xiàn)，學(xué)生需要運(yùn)用逆向思維對(duì)算式中的量進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如，在人教版四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算定律”一課的習(xí)題教學(xué)中，下列簡(jiǎn)便運(yùn)算問題便需要學(xué)生應(yīng)用逆向思維求解.

例3 化簡(jiǎn)求值.

（1）36×111+888×8；（2）999×78.

解析 針對(duì)第（1）題，按照正向思維應(yīng)對(duì)原式采取豎式計(jì)算方法，不符合簡(jiǎn)便運(yùn)算要求.通過逆向思考，發(fā)現(xiàn)其中的888可被拆解為8×111，那么原式就可被轉(zhuǎn)化為36×111+8×111×8，根據(jù)乘法結(jié)合律、交換律、分配律，可得原式=36×111+111×64=（36+64）×111=11100.針對(duì)第（2）題，學(xué)生可換一個(gè)方向出發(fā)，思考999可用哪些算式表示，之后基于轉(zhuǎn)化的思想逆構(gòu)簡(jiǎn)便運(yùn)算模型：999×78=（1000-1）×78，之后按照乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可得到問題答案為77922.

解簡(jiǎn)便運(yùn)算問題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生先應(yīng)用正向思維分析算式，若算式較為典型，可直接代入運(yùn)算律進(jìn)行求解；若算式形式新穎，可應(yīng)用逆向思維對(duì)算式中的“數(shù)”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過逆向推理將原式轉(zhuǎn)化為符合運(yùn)算定律計(jì)算模型的算式，之后求解.

（二）解豎式謎題

豎式謎題是基于縱向排列數(shù)字計(jì)算的謎題，用于訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算思維，通常包括一個(gè)乘法計(jì)算和一些額外的限制條件.這類問題一般要用逆向思維來解決.以人教版四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課的習(xí)題教學(xué)為例，學(xué)生可用逆向思維解決如下豎式謎題.

解析 可分三步解答此謎題.第一步，根據(jù)兩個(gè)乘數(shù)的末位數(shù)字相乘得0，可以逆向推得第一個(gè)乘數(shù)的末位可能是0或5，再根據(jù)第一個(gè)乘數(shù)的末位數(shù)字與第二個(gè)乘數(shù)十位數(shù)相乘的末位數(shù)字是5，可以確定第一個(gè)乘數(shù)的末位數(shù)字就是5.第二步，根據(jù)第一個(gè)乘數(shù)與第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的6相乘得一千多，逆向推得第一個(gè)乘數(shù)的百位數(shù)字可能是2或3，分別計(jì)算245×6=1470，345×6=2070，由此斷定第一個(gè)乘數(shù)為245.第三步，因?yàn)樨Q式中的積為八千多，所以能確定第一個(gè)乘數(shù)與第二個(gè)乘數(shù)十位上數(shù)字的積是六百多或七百多，由此確定第二個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字是3.綜合三步推理，可解答謎題：245×36=8820.

解答乘法豎式謎題時(shí)，學(xué)生需要將積的關(guān)鍵特征作為解題切入點(diǎn)，運(yùn)用逆向思維分析兩個(gè)乘數(shù)各位數(shù)字之間的關(guān)系，之后進(jìn)行逆向推理，補(bǔ)充謎題中的空白部分.

四、逆向思維在應(yīng)用題中的應(yīng)用技巧

應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)題的重要構(gòu)成部分，用以檢驗(yàn)學(xué)生遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、原理、公式解決實(shí)際問題的能力，主要包括行船問題、歸一問題等類別.一些應(yīng)用題難度較高，難以直接列式解答.這種情況下，教師需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維.

（一）行船問題

行船問題是由現(xiàn)實(shí)生活中的航行問題加工得來的.一般情況下，此類問題以船速、水速為主要信息，求兩點(diǎn)之間距離.對(duì)于一些較為簡(jiǎn)單的問題，可直接利用“（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=船速”等數(shù)量關(guān)系式代入求值.針對(duì)一些形式新穎、內(nèi)容復(fù)雜的問題，需要運(yùn)用逆向思維.比如，在人教版五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”一課的習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生可用逆向思維解決如下行船問題.

例5 一艘貨輪往返于甲、乙兩地之間，由甲地到乙地是順?biāo)叫?，由乙地到甲地是逆水航?已知貨輪在靜水中的速度是每小時(shí)20千米，由甲地到乙地用了6個(gè)小時(shí)，由乙地到甲地所用的時(shí)間是由甲地到乙地所用時(shí)間的1.5倍，水流速度是多少？

解析 水流速度、行船速度、靜水速度息息相關(guān).但是，此問題并未直接給出貨輪的行船速度，也未給出甲、乙兩地之間的路程，很難代入公式直接求解.為此，教師可以運(yùn)用逆向推理的思維方法提出問題，讓學(xué)生圍繞問題梳理解題思路，如：（1）要求水流速度，根據(jù)題意需要什么條件？（2）要求行船速度，根據(jù)題意需要什么條件？（3）題目中有哪些數(shù)量關(guān)系可以被利用？根據(jù)系列問題，學(xué)生可以明確：題目給出了靜水速度，用行船速度加或減靜水速度可得水流速度；行船速度可以根據(jù)“路程÷時(shí)間=速度”這一公式求得；從甲地到乙地、從乙地到甲地所行駛的路程是相同的.之后，假設(shè)水流速度為每小時(shí)x千米，則由甲地到乙地的貨輪行駛路程為[（20+x）×6]千米，由乙地到甲地的貨輪行駛路程為[（20-x）×6×1.5]千米，可得方程（20+x）×6=（20-x）×6×1.5，解方程可得水流速度為4千米/時(shí).

應(yīng)用逆向思維解決行船問題時(shí)，應(yīng)將題目的問題作為切入點(diǎn)，從問題出發(fā)思考解決問題需要的確切條件，之后將其中的一個(gè)（或兩個(gè)）未知條件作為要解決的問題，再找出解這一個(gè)（或兩個(gè)）問題所需的條件.通過逐步逆推的方式找到解決問題的已知條件，完成解題.

（二）歸一問題

歸一問題屬于復(fù)合應(yīng)用題，要求學(xué)生解題時(shí)按照已知條件先求出單位量，再利用單位量列式計(jì)算，求出問題結(jié)果.解決此類問題時(shí)，學(xué)生需要靈活運(yùn)用逆向思維找出單位“1”是什么，之后結(jié)合題目要求列式求解.比如，在人教版六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”一課的習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生可用逆向思維解決如下歸一問題.

應(yīng)用逆向思維解決歸一問題的思路有很多.最重要的是把握問題給出的數(shù)量關(guān)系，如倍數(shù)關(guān)系、和差關(guān)系等.先通過逆向推理等方式求出單一量或倍比關(guān)系，再結(jié)合求出的已知信息展開計(jì)算，求出所要求的數(shù)量.

結(jié) 語

逆向思維的應(yīng)用化解了正向思考受阻的困境，具有化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為直觀等功能.小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可避免地會(huì)遇到無法利用常規(guī)思考方式解決的數(shù)學(xué)難題，這時(shí)教師可指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用逆向思維，采取逆用定義、逆用數(shù)學(xué)公式與運(yùn)算法則等手段反過來思考問題，通過變式、間接證明等方法解決數(shù)學(xué)難題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃文錦.逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的研究應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（36）：41-43.

[2]周國文.逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀寫算，2022（35）：64-66.

[3]廖昀.小學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略[J].江西教育，2021（18）：68.