初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的解題技巧研究

吳霖杰

【摘要】勾股定理作為一個(gè)最基本的幾何定理，為解答初中數(shù)學(xué)平面幾何題型提供了思路，教師應(yīng)在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，向?qū)W生傳授勾股定理解題技巧，使學(xué)生學(xué)會(huì)巧妙解題，發(fā)散數(shù)學(xué)思維.文章簡(jiǎn)要介紹了勾股定理，緊接著分析了勾股定理在初中數(shù)學(xué)平面幾何題型中的實(shí)際解題應(yīng)用技巧，提出利用勾股定理解答周長(zhǎng)問題、面積問題、最短路徑問題、證明問題等.同時(shí)指出，教師應(yīng)在夯基、精講、常練基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理解答初中數(shù)學(xué)平面幾何題型，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；平面幾何；解題技巧

勾股定理證明了平面直角三角形三邊關(guān)系問題，即在任何一個(gè)平面直角三角形中，兩條直角邊的平方之和都一定等于斜邊的平方.平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域組織課程內(nèi)容，平面幾何屬于圖形與幾何領(lǐng)域.在該領(lǐng)域，學(xué)生應(yīng)進(jìn)一步建立幾何直觀，提升推理能力，解決抽象問題.分析平面幾何問題，其解題思路為：將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，然后根據(jù)特殊圖形的特殊規(guī)律進(jìn)行求解.而直角三角形，是轉(zhuǎn)化平面幾何圖形的最有效圖形之一，通過在原圖中添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為直角三角形相關(guān)問題，然后利用勾股定理展開計(jì)算，不僅有助于學(xué)生高效解決問題，而且能夠提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)其發(fā)散思維.教師可以具體的初中數(shù)學(xué)平面幾何題型為例，傳授學(xué)生勾股定理解題技巧.

一、勾股定理在初中數(shù)學(xué)平面幾何題型中的解題技巧

（一）利用勾股定理解答三角形周長(zhǎng)問題

例1 已知在△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上的高AD為12，求△ABC的周長(zhǎng).

題型與解題技巧分析 此題型為初中數(shù)學(xué)平面幾何基礎(chǔ)題型.想要確定一個(gè)三角形的周長(zhǎng)，需要先確定其三邊長(zhǎng).但在一些三角形周長(zhǎng)問題中，無法通過題目已知條件直接判斷其三邊長(zhǎng)，對(duì)此，解題者可構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理降低解題難度.本題給出三角形其中兩條邊的長(zhǎng)度以及另一條邊對(duì)應(yīng)的高，解題者可以根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理計(jì)算原三角形第三條邊的長(zhǎng)度，即BC的長(zhǎng).但是根據(jù)題目已知條件，無法確定高AD在△ABC中的具體位置，應(yīng)畫圖并進(jìn)行分類討論.當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，先通過勾股定理分別計(jì)算出CD與BD的長(zhǎng)，再通過求和得到BC的長(zhǎng).當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，需要延長(zhǎng)CB，故而在求出CD與BD的長(zhǎng)后，需要通過求差得到BC的長(zhǎng).利用勾股定理解答三角形周長(zhǎng)問題，關(guān)鍵便在于畫圖與分類討論，充分考慮未知邊長(zhǎng)的每一種可能.

題型與解題技巧分析 初中數(shù)學(xué)中，一些不規(guī)則圖形面積問題無法結(jié)合已知公式展開計(jì)算，而是需要構(gòu)造直角三角形，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)換為兩個(gè)或兩個(gè)以上直角三角形，代入勾股定理，具體步驟為：（1）觀察圖形，分析其特點(diǎn).（2）引入輔助線，構(gòu)造直角三角形，確定相關(guān)線段長(zhǎng)度.（3）借助直角三角形面積間接計(jì)算不規(guī)則圖形面積.本題中，待求圖形為不規(guī)則四邊形，解題者可以延長(zhǎng)線段CB，DA，使其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，確定相關(guān)線段長(zhǎng)度.之后，通過計(jì)算△CDE與△ABE的面積差，即可成功求出四邊形ABCD的面積.利用勾股定理解答面積問題，關(guān)鍵在于引入輔助線，割補(bǔ)不規(guī)則圖形，構(gòu)造直角三角形.

（三）利用勾股定理解答最短路徑問題

例3 如圖4所示，在一個(gè)無蓋圓柱形玻璃杯內(nèi)壁B點(diǎn)有一滴蜂蜜，蜂蜜距玻璃杯底部5cm.玻璃杯整體高度為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm.若不計(jì)玻璃杯厚度，一只螞蟻在玻璃杯外壁A處出發(fā)去吃蜂蜜，最短應(yīng)爬行多遠(yuǎn)的距離？（螞蟻與玻璃杯口的豎直距離為3cm）.

題型與解題技巧分析 證明問題是初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的重要組成部分，包括證明圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系、角度大小關(guān)系、直線位置關(guān)系等題型.即便題目所給條件較為復(fù)雜，解題者也可以從復(fù)雜信息中挖掘簡(jiǎn)單提示，如勾股定理.分析可通過勾股定理進(jìn)行解答的初中數(shù)學(xué)平面幾何證明問題，其分類如下：（1）題目所給條件未直接體現(xiàn)勾股定理，但證明對(duì)象與勾股定理相關(guān).（2）題目所給條件與勾股定理聯(lián)系緊密.對(duì)于前者，解題者應(yīng)在證明過程中構(gòu)造直角三角形，將已知條件逐漸轉(zhuǎn)化至同一直角三角形中；對(duì)于后者，解題者應(yīng)尋找或構(gòu)造直角三角形，直接由勾股定理展開推理，得到邊長(zhǎng)關(guān)系.利用勾股定理解答證明問題時(shí)，解題者需要先結(jié)合所給條件判斷題目特征，再根據(jù)題目特征靈活解題.

（五）利用勾股定理解答折疊問題

例5 如圖7所示，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8和6.已知P是寬AD上的一點(diǎn)，現(xiàn)沿著BP折疊△ABP，使PE與CD相交于點(diǎn)O，BE與CD相交于點(diǎn)G.如果OD=OE，線段AP的長(zhǎng)是多少？

題型與解題技巧分析 折疊問題也是常見的初中數(shù)學(xué)平面幾何題型之一，可分為根據(jù)折痕求角的度數(shù)、線段的長(zhǎng)、重合部分的圖形面積等題型.解答折疊問題，不僅需要運(yùn)用軸對(duì)稱、四邊形等知識(shí)，而且需要引入勾股定理，具體思路為：（1）根據(jù)折痕運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分析對(duì)應(yīng)線段位置與大小關(guān)系.（2）根據(jù)折疊前后的特殊點(diǎn)和線段，構(gòu)造直角三角形.（3）立足直角三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)計(jì)算待求問題.本題為“求線段的長(zhǎng)”折疊問題，滿足勾股定理解題特點(diǎn).在長(zhǎng)方形ABCD中，折疊前后的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊相等.故而想求出線段AP的長(zhǎng)度，不妨設(shè)未知數(shù)x，即AP=x.在此基礎(chǔ)上，圖中所有線段均可用未知數(shù)表示.用相關(guān)未知數(shù)結(jié)合勾股定理列出方程，求出x，便可得到線段AP的長(zhǎng).當(dāng)然，在題目給出相對(duì)簡(jiǎn)單的條件時(shí)，也可以直接運(yùn)用勾股定理，“跳過”列方程步驟.

二、初中數(shù)學(xué)平面幾何題型解題技巧的指導(dǎo)要點(diǎn)———以“勾股定理”為例

一線教師以勾股定理為切入點(diǎn)研究初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的解題技巧，是為了認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的更多解答方法，更是為了提升教學(xué)水平，指導(dǎo)學(xué)生從多角度分析和解決初中數(shù)學(xué)平面幾何問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.故而在以上研究基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)一步分析初中數(shù)學(xué)平面幾何題型解題技巧的指導(dǎo)要點(diǎn)，下面筆者以勾股定理為例進(jìn)行闡述.

（一）夯基

利用勾股定理解答初中數(shù)學(xué)平面幾何題型，要求學(xué)生具備扎實(shí)的勾股定理知識(shí)基礎(chǔ).教師應(yīng)在此層面上，重視初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)，實(shí)現(xiàn)“夯基”目標(biāo).教師可以在實(shí)際教學(xué)期間，整合游戲化教學(xué)、情境教學(xué)、問題教學(xué)、任務(wù)型教學(xué)、層次化教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)方法，循序漸進(jìn)地指導(dǎo)學(xué)生探究勾股定理，從而使學(xué)生充分經(jīng)歷勾股定理的猜想、推理、認(rèn)識(shí)、理解、實(shí)踐、掌握過程，形成發(fā)散的勾股定理解題思維.比如，在講解勾股定理時(shí)，教師可以借助“趙爽弦圖”與“畢達(dá)哥拉斯樹”創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生搭建“數(shù)形并茂”的學(xué)習(xí)平臺(tái)，指導(dǎo)學(xué)生先觀察情境中的數(shù)學(xué)圖形，再挖掘和討論其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.其間，教師應(yīng)巧妙點(diǎn)撥學(xué)生“找規(guī)律”，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的“平方”規(guī)律，奠定扎實(shí)的勾股定理認(rèn)知基礎(chǔ).再如，在根據(jù)教材例題指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用勾股定理時(shí)，教師可鼓勵(lì)學(xué)生扮演“小老師”，講解不同題目的分析思路和解題步驟，深化學(xué)生思維，強(qiáng)化“夯基”效果.

（二）精講

掌握勾股定理在不同初中數(shù)學(xué)平面幾何題型中的解題技巧，要求學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分初中數(shù)學(xué)平面幾何題型與勾股定理的內(nèi)在聯(lián)系，建立結(jié)構(gòu)化的思維系統(tǒng).教師應(yīng)在此層面上，對(duì)涉及勾股定理的初中數(shù)學(xué)平面幾何題型進(jìn)行精講，全面啟發(fā)學(xué)生思維.教師應(yīng)完善初中數(shù)學(xué)平面幾何習(xí)題訓(xùn)練，每呈現(xiàn)一個(gè)特殊題型，都必須為學(xué)生精講解答過程.對(duì)此，教師可以結(jié)合課堂互動(dòng)預(yù)案，精心設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)課件.課上，教師先通過課件呈現(xiàn)題目，鼓勵(lì)學(xué)生自由討論、分享思路.緊接著，教師借助鼠標(biāo)控制動(dòng)態(tài)課件，依次出示解答步驟.出示題目解答步驟前后，教師都應(yīng)給予學(xué)生充足的討論時(shí)間，然后對(duì)學(xué)生討論結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)充講解，使學(xué)生準(zhǔn)確把握解題技巧.全面講解例題后，教師還可以設(shè)計(jì)對(duì)比歸納課件，將初中數(shù)學(xué)平面幾何不同題型及其勾股定理解題技巧進(jìn)行匯總，幫助學(xué)生加以區(qū)分.

（三）常練

紙上談兵不如實(shí)際演練，面對(duì)初中數(shù)學(xué)平面幾何題型，學(xué)生想要快速判斷其特點(diǎn)、選擇正確的勾股定理解題技巧，必須達(dá)到熟能生巧的狀態(tài).因此，教師應(yīng)組織學(xué)生常練.教師應(yīng)將“常練”與“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行區(qū)分，為學(xué)生精選典型題目，避免為學(xué)生施加過大綜合實(shí)踐壓力.對(duì)此，教師可以將中考數(shù)學(xué)真題視為習(xí)題資源庫，關(guān)注歷年中考真題，提煉其中的平面幾何典型題目，創(chuàng)新設(shè)計(jì)勾股定理與平面幾何測(cè)試題，進(jìn)而對(duì)學(xué)生定期進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練.在此基礎(chǔ)上，教師還可以督促學(xué)生整理錯(cuò)題，建立錯(cuò)題集，以便隨時(shí)查缺補(bǔ)漏，實(shí)現(xiàn)鞏固練習(xí).

結(jié) 語

總之，為提高學(xué)生解答初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的效率，教師有必要向?qū)W生傳授勾股定理解題技巧.具體來講，教師應(yīng)明確勾股定理的本質(zhì)及解題價(jià)值，總結(jié)初中數(shù)學(xué)中常見的平面幾何題型及其勾股定理解題技巧，抓住“夯基”“精講”“常練”三大要點(diǎn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，促使學(xué)生創(chuàng)新解決問題，提高解題能力.

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