理解概念本質(zhì) 重構(gòu)知識(shí)認(rèn)知*
——從“圓周角”不同教學(xué)設(shè)計(jì)談幾何定理教學(xué)

無(wú)錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校

薛 鶯

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》指出：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好幾何概念、定理的基礎(chǔ)上掌握?qǐng)D形規(guī)律，并著重培養(yǎng)學(xué)生的用圖能力.”由此可見(jiàn)，幾何定理不僅是獲取圖形信息的工具，而且是彰顯數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，更是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的良好素材．因此，幾何定理的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要課型．基于此，無(wú)錫市陳鋒數(shù)學(xué)名師工作室對(duì)蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“圓周角”一課展開(kāi)了同堂異構(gòu)活動(dòng)，兩位成員對(duì)幾何定理的教學(xué)進(jìn)行了一次有益的嘗試和深入的研討．

1 “圓周角”教學(xué)內(nèi)容的說(shuō)明

蘇科版教材中本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容包括了圓周角的概念、圓周角的性質(zhì)定理及其推論．對(duì)于初三學(xué)生來(lái)說(shuō)，圓周角的概念直觀且易于理解，故本節(jié)課的重點(diǎn)放在圓周角的性質(zhì)定理及其推論的探究和證明上．因此，本節(jié)課重點(diǎn)是幾何定理的教學(xué)；而性質(zhì)定理中對(duì)圓周角的分類是學(xué)生的難點(diǎn)．

2 “圓周角”同堂異構(gòu)的設(shè)計(jì)展示

2.1 第一位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)情境創(chuàng)設(shè)，引出概念(略)

(2)動(dòng)手操作，探索定理

①操作并探索：

(ⅰ)畫(huà)60°的圓心角∠BOC；

(ⅱ)作出弧BC所對(duì)的圓周角∠BAC．

②觀察并思考：

(ⅰ)弧BC所對(duì)的圓周角∠BAC唯一嗎？

(ⅱ)這樣的圓周角∠BAC可以作多少個(gè)？

(ⅲ)這些圓周角有什么共同的特點(diǎn)？

(ⅳ)這些圓周角和它所對(duì)的圓心角有怎樣的關(guān)系？

③演示并歸納：

(ⅰ)教師利用幾何畫(huà)板對(duì)學(xué)生的觀察結(jié)果分三種情況(圓心O在∠BAC的一邊上、圓心O在∠BAC的內(nèi)部、圓心O在∠BAC的外部)進(jìn)行驗(yàn)證．

(ⅱ)歸納：同弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)且都相等，都等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半．

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生親自動(dòng)手畫(huà)圖、觀察思考、實(shí)驗(yàn)探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師再利用幾何畫(huà)板從動(dòng)態(tài)的角度進(jìn)行演示、驗(yàn)證，目的是引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題，初步體會(huì)兩種數(shù)量關(guān)系：①同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系；②同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系．

(3)訓(xùn)練提高，拓展能力(略)

(4)交流體會(huì)，課堂總結(jié)

①學(xué)生歸納：談?wù)n堂學(xué)習(xí)收獲和體會(huì)．

②教師總結(jié)：本課知識(shí)點(diǎn)的梳理和探究過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法歸納．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂總結(jié)幫助學(xué)生歸納、梳理本節(jié)的知識(shí)、技能、方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

2.2 第二位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)建構(gòu)圓周角概念

①?gòu)?fù)習(xí)圓心角概念：展示圖片，回顧圓心角概念．

②遷移圓周角概念：移動(dòng)圓心角頂點(diǎn)的位置至與⊙O相交，概括圓周角概念．

(2)探究圓周角定理

活動(dòng)1:操作.

①看——觀察圓周角圖片．

②畫(huà)——在⊙O中畫(huà)出劣弧BC所對(duì)的圓心角和圓周角∠BAC．

③量——讓學(xué)生使用量角器測(cè)量圓周角、圓心角的度數(shù)．

活動(dòng)2:猜想.猜想劣弧BC所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系.

活動(dòng)3:驗(yàn)證.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)下列問(wèn)題分類畫(huà)圖，再通過(guò)證明驗(yàn)證猜想．

①在平面內(nèi)，可以畫(huà)出幾種圓心角與圓周角的位置關(guān)系，請(qǐng)嘗試．

②在圓中任意確定一條弧，作出這條弧所對(duì)的圓心角和三個(gè)不同位置的圓周角.

③你能證明這三種情況下猜想都成立嗎?

活動(dòng)4:總結(jié).圓周角定理——一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．

活動(dòng)5:拓展延伸.將圓心角的頂點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)，移到⊙O內(nèi)或⊙O外，讓學(xué)生觀察并度量，有學(xué)生會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)角的度數(shù)和頂點(diǎn)的位置有關(guān)，讓學(xué)生思考，并作出一般化的猜想．

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作觀察、動(dòng)手度量、歸納猜想等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)；再通過(guò)細(xì)致的分析、完整的分類討論進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)密性．把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使將要進(jìn)行的推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的延續(xù)．

(3)運(yùn)用圓周角定理(略)

(4)反思圓周角的學(xué)習(xí)

反思①：你是怎樣發(fā)現(xiàn)圓周角的?它與圓心的位置關(guān)系又是怎樣發(fā)現(xiàn)的?對(duì)此有何啟發(fā)?

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形之間的位置關(guān)系．

反思②：證明圓周角定理時(shí),為何會(huì)想到圓心角?對(duì)此有何聯(lián)想?

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生善于聯(lián)想,注意化歸思想的應(yīng)用．

反思③：圓周角定理的證明過(guò)程是怎樣的?對(duì)此有何啟發(fā)?

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化特殊到一般的化歸思想及分類思想．

反思④：師生共同從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等方面小結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．

設(shè)計(jì)意圖：“回頭看”和“回頭想”，使課堂教學(xué)前后呼應(yīng)，讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)無(wú)處不在．

3 對(duì)幾何定理教學(xué)的維度思考

3.1 維度一：聯(lián)系與拓展結(jié)合，理解定理本質(zhì)

幾何定理教學(xué)，不僅是幾何圖形顯性表征的探究和幾何圖形特征的理解，也是幾何定理的運(yùn)用和拓展，或是幾何定理的發(fā)展和演變的教學(xué)．這樣可以將幾何定理的顯性特征和隱形本質(zhì)更好地凸顯出來(lái)[1]．本節(jié)課中第一位教師是通過(guò)讓學(xué)生自己畫(huà)出同一條弧所對(duì)的圓周角(圓周角定理的基本模型)，再通過(guò)問(wèn)題串引領(lǐng)學(xué)生利用幾何直觀，觀察概括這些模型的共同特點(diǎn)，從中抽象概括出這一幾何(圓周角)定理的本質(zhì)；第二位教師的設(shè)計(jì)很巧妙，通過(guò)角的頂點(diǎn)位置的移動(dòng)完成了一系列探究過(guò)程，更突出了幾何定理的聯(lián)系與拓展，不僅為學(xué)生提供了直觀的感性模型，幫助學(xué)生從實(shí)例中去理解抽象的圓周角定理的本質(zhì)，而且從變化的角度對(duì)圓周角定理進(jìn)行了有益的拓展和延伸，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和揭示其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)原理，這樣的設(shè)計(jì)就更勝一籌．從定理拓展的角度來(lái)看，第二位教師甚至可以提出：在優(yōu)弧BC上再取一些點(diǎn)，將該點(diǎn)與B，C連接，然后進(jìn)行觀察、猜想和驗(yàn)證，學(xué)生的思維由此拓展開(kāi)來(lái)，更容易理解圓周角性質(zhì)定理的本質(zhì)．因此，在幾何定理探索過(guò)程中，教師應(yīng)該多關(guān)注以下兩個(gè)方面：①幾何定理的基本性，即構(gòu)成該幾何定理的基本元素和基本特征之間的聯(lián)系；②幾何定理的拓展性，即該定理在整個(gè)幾何體系中處在前后有發(fā)展、輻射、貫穿效能的節(jié)點(diǎn).結(jié)合這兩個(gè)方面給出一些幾何定理的例證、變式和拓展等探索實(shí)踐活動(dòng)，這樣，不僅能為學(xué)生搭建一個(gè)感性認(rèn)識(shí)的平臺(tái)，而且還可引發(fā)學(xué)生對(duì)幾何定理的一些本質(zhì)屬性和內(nèi)涵規(guī)律更深層次的思考．

3.2 維度二：直觀與思考結(jié)合，深化定理內(nèi)涵

數(shù)學(xué)家克萊因曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、定理、證明的直接把握.”直觀即借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、聯(lián)想，對(duì)事物關(guān)系產(chǎn)生的直接感知；而幾何直觀是借助見(jiàn)到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，即通過(guò)直觀能建立起對(duì)自身體驗(yàn)和外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.從這個(gè)意義上說(shuō)，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解幾何定理．僅靠幾何直觀，確實(shí)可以讓學(xué)生對(duì)幾何定理有一個(gè)感性的認(rèn)知，但是要進(jìn)一步地深化幾何定理的內(nèi)涵，真正讓學(xué)生建立幾何定理的感知、理解、掌握、體悟和觀念，還必須輔以理性的思考，讓學(xué)生對(duì)幾何定理的認(rèn)識(shí)，真正實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)知的升華[2]．本節(jié)課對(duì)圓周角定理的探究中，第一位教師先通過(guò)動(dòng)手畫(huà)指定弧所對(duì)的圓周角，再通過(guò)圖形直觀得到圓周角的特點(diǎn)，最后用幾何畫(huà)板驗(yàn)證，這一設(shè)計(jì)不僅帶著明顯讓學(xué)生易于得到圓周角定理而設(shè)計(jì)的痕跡，而且看似嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知過(guò)程還只是停留在直觀的感性認(rèn)識(shí)層面，沒(méi)能促成學(xué)生對(duì)圓周角定理深層次的思考．因此，這一設(shè)計(jì)，從理性思維的角度來(lái)看是有所欠缺的．第二位教師的設(shè)計(jì)則是先通過(guò)操作(畫(huà)和量)、猜想，再利用分類畫(huà)圖，最后利用完整的推理證明驗(yàn)證了猜想．這一系列手腦并用的過(guò)程，不僅讓學(xué)生的幾何直觀能力有了一定的提升，而且讓學(xué)生的理性思維得到了加強(qiáng)，讓學(xué)生的邏輯思維更為嚴(yán)密，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何定理從形象思維認(rèn)知向抽象邏輯思維認(rèn)知的跨越．

3.3 維度三：思想與方法結(jié)合，拓展定理外延

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)學(xué)生如何去思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．對(duì)幾何圖形思想方法的理解有利于學(xué)生在幾何教學(xué)中對(duì)幾何對(duì)象的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的正遷移.如在本節(jié)課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)積累了研究角、三角形、圓、弧、弦、圓心角等幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)，理解了構(gòu)成這些幾何圖形的基本元素，掌握了研究幾何圖形的基本問(wèn)題、基本思路和基本方法.因此，本節(jié)課的教學(xué)中，教師要充分將學(xué)生已有的學(xué)習(xí)幾何圖形的思想和方法貫穿本節(jié)課的教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化這些思想方法．如在這節(jié)課的設(shè)計(jì)中，兩位教師都是從圖形的位置關(guān)系探索圖形的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，運(yùn)用了實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證相結(jié)合的方式，即讓學(xué)生通過(guò)作圖、觀察、測(cè)量、猜想，再利用幾何畫(huà)板驗(yàn)證或邏輯推理進(jìn)行證明．又如在探究和推導(dǎo)圓周角定理時(shí)，第一位教師利用幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)演示功能，設(shè)計(jì)了圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)，直觀地展示了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，為圓周角定理的證明創(chuàng)設(shè)了條件，較好地體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．第二位教師則是引導(dǎo)學(xué)生從圓心在圓周角一邊上這種最簡(jiǎn)單、最特殊情況出發(fā)，再通過(guò)體會(huì)一般情況，為后續(xù)兩種情況下的證明提供了思路，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化、分類、化歸等數(shù)學(xué)思想．再如，在課堂總結(jié)時(shí)，兩位教師都通過(guò)學(xué)生反思、交流、歸納等方式，讓學(xué)生體會(huì)幾何定理中蘊(yùn)含的思想方法，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

4 對(duì)幾何定理教學(xué)的幾點(diǎn)建議

4.1 注重學(xué)生的自主探究活動(dòng)

一些教師認(rèn)為教學(xué)時(shí)間緊，訓(xùn)練任務(wù)重，因而選擇一種快餐式的幾何定理教學(xué)，簡(jiǎn)單說(shuō)明定理的來(lái)由，然后讓學(xué)生記住幾何定理的結(jié)論，不花時(shí)間讓學(xué)生去經(jīng)歷幾何定理形成的探索過(guò)程．而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》提出:“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、試驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng).”但對(duì)于學(xué)生而言，事非經(jīng)過(guò)終覺(jué)淺，動(dòng)手操作和自主探究對(duì)他們理解幾何概念、運(yùn)用幾何定理都具有積極的意義．本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是圓周角定理的探究過(guò)程．因此，在幾何定理的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用動(dòng)手實(shí)踐、自主探究方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生在觀察、實(shí)踐、問(wèn)題轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)探索的快樂(lè)，從而使知識(shí)和能力得到內(nèi)化，體現(xiàn)幾何能力的提升．

4.2 注重學(xué)生的邏輯推理能力

在研究幾何圖形的過(guò)程中，雖然大多數(shù)幾何定理和結(jié)論是通過(guò)幾何直觀“看”出來(lái)的，而不是“求證”出來(lái)的，但不能止步于此，在幾何教學(xué)中，課標(biāo)對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)是有要求的．幾何教學(xué)要求培養(yǎng)學(xué)生“言之有據(jù)”的推理習(xí)慣，要求學(xué)生具有一定的書(shū)寫(xiě)證明格式的能力，要求從具體的幾何定理證明中掌握推理論證的一般步驟、常規(guī)方法和常用技巧．因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，提供相關(guān)推理論證的訓(xùn)練機(jī)會(huì)，切實(shí)提高學(xué)生的邏輯推理能力．如，本節(jié)課中對(duì)圓周角定理猜想的驗(yàn)證，不僅需要借助量角器的度量和幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)演示驗(yàn)證，更需要理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C．通過(guò)細(xì)致的分析和完整的證明，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度，有利于學(xué)生的健康成長(zhǎng)．

4.3 注重多媒體技術(shù)的恰當(dāng)運(yùn)用

多媒體技術(shù)的恰當(dāng)運(yùn)用，能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何定理提供豐富多彩的教學(xué)情境和強(qiáng)大的學(xué)習(xí)平臺(tái)．在幾何教學(xué)中，運(yùn)用多媒體技術(shù)可以靈活地制作圖形，動(dòng)態(tài)地展示圖形和方便地測(cè)量圖形，這樣有利于學(xué)生在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)圖形中特殊的位置關(guān)系和不變的數(shù)量關(guān)系，從而有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)屬性，這樣可以使得許多傳統(tǒng)幾何教學(xué)做不到或做不好的事件變得更容易[3]．如本節(jié)課中，教師利用幾何畫(huà)板的測(cè)量功能測(cè)出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的大小，通過(guò)觀察變化過(guò)程中角的大小變化，去發(fā)現(xiàn)圓心角和圓周角的數(shù)量關(guān)系，這樣就比學(xué)生用量角器的度量來(lái)得更精確，更有說(shuō)服力，這正是多媒體技術(shù)的優(yōu)勢(shì)所在.但是多媒體技術(shù)只是一種輔助手段，有時(shí)過(guò)度使用多媒體技術(shù)反而限制了學(xué)生的思考方向，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)不利．