巧用輔助線，解決幾何問(wèn)題

蔡美蓮

摘 要：添加輔助線在解答初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中尤為常見，可構(gòu)建新的解題條件，更好地揭示線段、圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在幫助學(xué)生順利解題.因此，掌握輔助線添加技巧，提升幾何問(wèn)題解題能力，已成為初中幾何教學(xué)的重難點(diǎn).本論文就以此切入，結(jié)合常見輔助線添加技巧，對(duì)其在解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探究，為課堂教學(xué)提出了相關(guān)的建議.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何；輔助線；課堂教學(xué)

幾何作為初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要組成部分，貫穿于整個(gè)教學(xué)的過(guò)程中.同時(shí)，鑒于幾何知識(shí)的特點(diǎn)，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯思維能力的重任，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑.但在實(shí)際解題中，幾何問(wèn)題常常是學(xué)生“最難啃的骨頭”，多數(shù)學(xué)生都會(huì)遇到條件不夠等困難，解題陷入到困境中.鑒于此，唯有掌握輔助線的添加技巧，在題目原有條件的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的條件，才能順利完成題目的解答；另一方面，在最新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，也肯定了輔助線在幾何學(xué)習(xí)中的價(jià)值，認(rèn)為通過(guò)必要的輔助線，有助于揭示圖形的本質(zhì)，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路，并促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的落實(shí).鑒于此，基于不同類型的幾何題目，培養(yǎng)學(xué)生添加輔助線解題的能力，已經(jīng)成為教學(xué)的重中之重.

1 輔助線與初中幾何解題

輔助線是一種常見的幾何解題方法，主要是在原有的圖形中，通過(guò)作直線、作線段等方式，構(gòu)建新的條件，以便于解答問(wèn)題.經(jīng)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，通過(guò)作輔助線，可將原本分散的元素集中化，將原本不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形，將原本復(fù)雜的圖形簡(jiǎn)單化.

鑒于輔助線的內(nèi)涵特點(diǎn)，將其應(yīng)用到幾何問(wèn)題中，彰顯出其顯著的應(yīng)用價(jià)值.一方面，有助于提升學(xué)生的幾何解題能力.在幾何問(wèn)題中，常常存在一定的隱含條件和信息，且對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力要求比較高.鑒于此，通過(guò)作輔助線即可將其挖掘出來(lái)，為學(xué)生解題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；還有部分幾何題目，信息非常分散，單純從表面上來(lái)說(shuō)，很難將其聯(lián)系在一起.鑒于此，即可借助輔助線將其整合起來(lái)，由此梳理一套完整的信息體系，進(jìn)而完成題目的解答；另外，還有部分幾何題目條件非常多，圖形信息復(fù)雜，常常導(dǎo)致學(xué)生不知所措.鑒于此，可借助作輔助線的方法將其簡(jiǎn)單化，以便于學(xué)生精準(zhǔn)收集有效信息并進(jìn)行解題；另一方面，契合了數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.幾何作為初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，鑒于幾何知識(shí)的特點(diǎn)，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理能力的重任.鑒于此，在幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的輔助線解題能力，不僅僅是解題的需求，也是強(qiáng)化學(xué)生幾何直觀意識(shí)、幾何推理素養(yǎng)的關(guān)鍵所在［1］.

2 科學(xué)添加輔助線，提升幾何問(wèn)題解答能力

2.1 結(jié)合對(duì)稱點(diǎn)添加輔助線

在解答平面幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)遇到“線段長(zhǎng)度最小值”問(wèn)題時(shí)，可借鑒“將軍飲馬”的模型思想，結(jié)合對(duì)稱點(diǎn)添加輔助線，將最小值點(diǎn)的具體位置確定出來(lái)之后，方可實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的順利解答.

例1 如圖1所示，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，若AC=1，S△ABC=32，則AD+12BD的最小值是多少？

解析：在本題目中，根據(jù)所求問(wèn)題AD+12BD，即可聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，尋求對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)建輔助線.但結(jié)合本題目中已知條件，無(wú)法直接使用這一模型，需要先進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解：因?yàn)镽t△ABC，∠C=90°，S△ABC=32，

所以S△ABC=32=12AC·BC，所以BC=3，

過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E.因?yàn)椤螧=30°，所以DE=12BD，

如此，求AD+12BD最小值即可轉(zhuǎn)化為求AD+DE最小值問(wèn)題.

作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，并過(guò)點(diǎn)A′作A′E′⊥AB，并與BC相交于點(diǎn)D′，則A′E′就是AD+12BD的最小值.

根據(jù)題目中已知條件，即可得出∠A′=∠A=30°，

因此D′C=ACtan30°=33，

所以BD′=BC-D′C=3-33=233，

因?yàn)锳D′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33，

所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3.

2.2 基于平行線構(gòu)建輔助線

在幾何題目解答中，平行線法尤為常見.顧名思義，平行線法就是通過(guò)添加平行線的方式，構(gòu)建新的條件關(guān)系，進(jìn)而完成題目的解答.通常，這一方式常常被應(yīng)用到證明邊、角相等中.

例2 如圖2所示，在梯形ABCD中 ，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，且相交于點(diǎn)O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°，求證AC=MN.

解析：在本題目中，根據(jù)已知條件可得出：MN=12（AD+BC），因此要想證明AC=MN，則需要證明AC=12（AD+BC）.此時(shí)，即可通過(guò)圖形分析，結(jié)合圖形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，將AD+BC轉(zhuǎn)變?yōu)锽C+CE=BE，之后利用30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可證得AC＝DE=12BE，從而得證.

解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

因?yàn)锳D∥BC，所以四邊形ACED為平行四邊形，所以AD=CE，DE=AC，

又因?yàn)镸N是梯形ABCD的中位線，所以MN=12（AD+BC）=12（BC+CE）=12BE.

因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BOC=90°，因?yàn)镈E∥AC，

所以∠BDE=∠BOC=90°.

在Rt△BED中，因?yàn)椤螪BC=30°，

所以DE=12BE，

因?yàn)锳C=DE=12BE，

所以AC=MN［2］.

2.3 基于圖形性質(zhì)添加輔助線

在運(yùn)用輔助線解答不同類型的幾何問(wèn)題時(shí)，必須要認(rèn)真分析相關(guān)的圖形，結(jié)合不同圖形的性質(zhì)，選擇不同的輔助線，以便于完成題目解答.

例3 如圖3所示，AB是圓O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，且AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的長(zhǎng)度.

解析：在初中幾何問(wèn)題中，與圓相關(guān)的平面圖形尤為常見，且這一類型題目難度系數(shù)比較高，學(xué)生單純結(jié)合已知條件很難完成解答，唯有兼顧圓的基本性質(zhì)，并結(jié)合圖形的性質(zhì)作出必要的輔助線，才能完成題目的解答.在本題目中，由于出現(xiàn)了關(guān)于“弦”的問(wèn)題，即可聯(lián)想到構(gòu)建弦心距、半徑、直徑等關(guān)系進(jìn)行求解.

解：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，連接OC，

因?yàn)锳P=2，BP=6，因此圓O的半徑r=（6+2）÷2=4，且OP=r-AP=2，

因?yàn)椤螦PC=30°，所以∠HPO=30°，

在Rt△HPO中，HO=12OP=1，

在Rt△HCO中，因?yàn)镠O=1，OC=4，所以CH=OC2-OH2=42-12=15，

所以CD=2CH=215［3］.

2.4 基于中點(diǎn)添加輔助線

在幾何題目中，當(dāng)出現(xiàn)了“中點(diǎn)”等條件，在作輔助線時(shí)以此切入，圍繞中點(diǎn)、中線添加輔助線，進(jìn)而將各個(gè)線段之間的關(guān)系明確出來(lái)，挖掘出更多的已知條件，最終形成明確的解題思路.

例4 如圖5所示，已知E、F分別是線段BC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD，射線BA和射線EF相交于點(diǎn)G，射線CD和射線EF相交于點(diǎn)H，求證∠BGE=∠CHE.

解析：在本題目中，由于已知條件中給出了“中點(diǎn)”這一關(guān)鍵詞，且題目中原有的條件無(wú)法滿足求解.鑒于此，即可考慮根據(jù)“中點(diǎn)”作輔助線，連接AC，并取其中點(diǎn)P，分別連接PE、PF，借助三角形中位線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明.

解：連接AC，并取其中點(diǎn)P，分別連接PE、PF，

因?yàn)镋是線段BC的中點(diǎn)，所以PE∥AB，PE=12AB，

因?yàn)镕是線段AD的中點(diǎn)，所以PF∥CD，PF=12CD.

又AB=CD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

因?yàn)镻E∥AB，所以∠PEF=∠BGE，

因?yàn)镻F∥CD，所以∠PFE=∠CHE，

所以∠BGE=∠CHE.

2.5 基于對(duì)角線法構(gòu)建輔助線

在解答四邊形的幾何問(wèn)題中，基于對(duì)角線構(gòu)造輔助線尤為常見.尤其是針對(duì)一些特殊的四邊形問(wèn)題，通過(guò)對(duì)角線輔助線構(gòu)造法，可將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，并運(yùn)用三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

例5 如圖6所示，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC，將其翻折，使得A、C兩點(diǎn)重合，折痕為EF，已知CE⊥AB，求證EF∥BD.

解析：在本題目中，要想證明出EF∥BD，根據(jù)題目中的已知條件分析，唯有從角相等這一途徑切入，以此獲得兩條線段平行.鑒于此，即可根據(jù)對(duì)角線法構(gòu)建輔助線，連接AC，利用三角形中角和角之間的關(guān)系進(jìn)行證明.

解：連接AC.

因?yàn)锳D=BC，所以四邊形ABCD為等腰梯形，即∠DAB=∠CBA，

根據(jù)邊角邊定理，即可得出△DAB≌△CBA，

所以∠1=∠2.

因?yàn)镃E⊥AB，所以∠3+∠4=90°，

由折疊得∠3=∠4，AC⊥EF，

所以∠1+∠4=90°，所以∠1=∠3，

所以∠2=∠4=45°，

所以EF∥BD［4］.

2.6 基于倍長(zhǎng)中線法構(gòu)建輔助線

在解答三角形問(wèn)題時(shí)，中線尤為重要，常常是解題的關(guān)鍵，也是構(gòu)建輔助線的重要途徑.在多數(shù)三角形題目中，就常常需要借助倍長(zhǎng)中線的方式構(gòu)建輔助線.顧名思義，倍長(zhǎng)中線就是將圖中的中線延長(zhǎng)一倍，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形，以此打開解題思路.

例6 如圖7所示，在△ABC中，AD是BC的中線，E為AC上一點(diǎn)，BE與AD相交于點(diǎn)F，且AE=EF，判斷AC與BF之間的大小關(guān)系.

解析：在本題目中，要想對(duì)AC與BF之間的大小關(guān)系進(jìn)行判定，可依托三角形的關(guān)系進(jìn)行，但由于AC與BF所在的三角形不能直接證明全等，無(wú)法直接進(jìn)行判斷，唯有基于“AD是BC的中線”這一條件，通過(guò)倍長(zhǎng)中線法構(gòu)建輔助線進(jìn)行解答.

解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使得DG=AD，連接BG，

因?yàn)镈G=AD，所以∠ADC=∠BDG，CD=BD，

所以△ADC≌△GDB，所以AC=BG，∠CAD=∠G.

如圖，因?yàn)锳E=EF，所以∠CAD=∠AFE=∠BFG=∠G，

所以BF=BG，即BF=AC.

2.7 基于三線合一構(gòu)建輔助線

在幾何問(wèn)題中，等腰三角形是最為重要的類型之一，且等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，也是其他圖形所不具備的.在具體解答等腰三角形問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)“三線合一”性質(zhì)，構(gòu)建輔助線，構(gòu)建新的條件關(guān)系，并將復(fù)雜的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例7 如圖8所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，與AC相交于點(diǎn)D，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE.

解析：根據(jù)題目中已知條件，很難構(gòu)造出BD、CE之間的聯(lián)系.鑒于此，即可分析題目中的已知條件，根據(jù)“BD平分∠ABC，CE⊥BE”這兩個(gè)條件，聯(lián)想到“三線合一”的定理，據(jù)此構(gòu)造相應(yīng)的輔助線.

解：如圖9，延長(zhǎng)CE，并與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

因?yàn)锽D平分∠ABC，CE⊥BE，即可得出BC=BF，EC=EF，

所以CF=2EC.

由題習(xí)知∠BAD=∠CAF=90°，∠BDA=∠CDE=∠F，AB=AC，

所以△ABD≌△ACF，所以BD=CF，

所以BD=2CE［5］.

3 強(qiáng)化課堂教學(xué)，提升添加輔助線能力

經(jīng)過(guò)解題實(shí)踐證明，當(dāng)學(xué)生在解題時(shí)，一旦面臨條件不夠、解題陷入困境的局面，就必須要借助輔助線的方式，找解題的“突破口”.鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，應(yīng)樹立針對(duì)性的教學(xué)觀念，有目的、有計(jì)劃地開展課堂教學(xué)，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生添加輔助線的能力，強(qiáng)化學(xué)生的解題素養(yǎng).

首先，強(qiáng)化輔助線認(rèn)知，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果.在初中幾何教學(xué)中，由于學(xué)生的思維能力有限，單憑學(xué)生的直觀思維，很難提升學(xué)生的輔助線認(rèn)知能力和應(yīng)用能力.鑒于此，在日常幾何教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)輔助線的認(rèn)識(shí)，使其認(rèn)識(shí)到輔助線在解題中的重要性，逐漸形成強(qiáng)烈的輔助線添加意識(shí).

其次，基于輔助線和數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系，強(qiáng)化學(xué)生的輔助線添加能力.以往，在幾何教學(xué)中，教師在添加輔助線的時(shí)候，基本上都是教師直接添加，沒(méi)有給學(xué)生留有思考的時(shí)間，學(xué)生基本上都是在死記硬背中完成.而為了強(qiáng)化學(xué)生的輔助線添加能力，應(yīng)徹底轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)“教師直接添加、學(xué)生被動(dòng)接受”的教學(xué)模式，而是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生歸納、總結(jié)輔助線的不同添加方法，并圍繞輔助線與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系開展教學(xué)，使得學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中逐漸形成一定的推理與論證能力，以便于其在日后的解題中，能夠結(jié)合題目中的已知條件，通過(guò)推理與論證，正確添加輔助線.

再次，合理安排教學(xué)內(nèi)容，對(duì)輔助線添加方法進(jìn)行分類.在幾何教學(xué)中，由于添加輔助線對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)思維水平要求比較高，而初中階段學(xué)生的思維能力有限，致使其在添加輔助線時(shí)常常面臨諸多困難.鑒于此，教師應(yīng)科學(xué)合理地安排教學(xué)內(nèi)容，堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，以簡(jiǎn)單、基本圖形中輔助線添加作為起點(diǎn)，循序漸進(jìn)地增加難度，以更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求；同時(shí)，在強(qiáng)化輔助線添加能力時(shí)，還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)不同類型的輔助線添加方式進(jìn)行歸類、總結(jié)，使其在分析中逐漸掌握這一技能.

最后，強(qiáng)化針對(duì)性訓(xùn)練，提升實(shí)踐應(yīng)用能力.在初中幾何教學(xué)中，為了真正提升學(xué)生的輔助線添加能力，必須要借助必要的練習(xí)題目，使得學(xué)生在針對(duì)性的訓(xùn)練中，掌握輔助線添加的基本技巧和能力.為此，應(yīng)結(jié)合具體的內(nèi)容，結(jié)合初中生的實(shí)際情況，為其科學(xué)選擇、安排針對(duì)性的練習(xí)題目，使得學(xué)生在“少而精”的練習(xí)中，逐漸掌握輔助線的添加技巧［6］.

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在初中幾何解題中，添加必要的輔助線是最為重要的解題手段，是突破思維困境、找到解題“突破口”的關(guān)鍵.但輔助線添加并非毫無(wú)章法可循，而是存在一定的規(guī)律性，學(xué)生可結(jié)合不同的題目類型，選擇不同構(gòu)建方式.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)有目的、有計(jì)劃地強(qiáng)化學(xué)生的輔助線構(gòu)建意識(shí)，并結(jié)合針對(duì)性的訓(xùn)練，使得學(xué)生真正掌握輔助線構(gòu)建技巧，能夠在具體解題時(shí)結(jié)合不同類型的題目，構(gòu)建出不同的輔助線，使其為解題所服務(wù).

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