數(shù)學(xué)教學(xué)要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思維

王春瑜

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)會(huì)思維；操作感知；建構(gòu)模型；發(fā)現(xiàn)規(guī)律；提升素養(yǎng)；《圖形的放大和縮小》

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）09-0080-04

南京大學(xué)鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺(jué)性與創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性等。蘇教版六下《圖形的放大和縮小》一課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的放大和縮小，能利用方格紙按一定的比把簡(jiǎn)單圖形放大或縮小。這部分知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度并不大，那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生真正做到會(huì)學(xué)、活學(xué)、深學(xué)，從而有效促進(jìn)他們學(xué)會(huì)思維呢？筆者通過(guò)實(shí)踐與研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)注學(xué)習(xí)起點(diǎn)、挖掘知識(shí)本原、設(shè)置認(rèn)知沖突、經(jīng)歷探究過(guò)程是實(shí)現(xiàn)這一愿景的有效路徑。

一、操作感知，初探奧秘

師：同學(xué)們，我們用word編輯文檔時(shí)，常常要將插入的圖片放大或縮小，誰(shuí)來(lái)給大家演示一下？（學(xué)生操作）

師：點(diǎn)擊圖片后，圖片邊線上一共顯示8個(gè)點(diǎn)，你為什么拖拉的是頂點(diǎn)？

生1：拖拉角上的頂點(diǎn)，長(zhǎng)和寬會(huì)同時(shí)變大或變小，如果拖拉邊上的中點(diǎn)，就只有長(zhǎng)變化，或者只有寬變化。

生2：拖拉頂點(diǎn)，圖片不變形，拖拉其他點(diǎn)，圖片會(huì)變形。

師：像這樣放大、縮小時(shí)形狀不變的情況，就是我們今天要研究的“圖形的放大和縮小”。要想圖形不變形，只要拖拉角上的頂點(diǎn)就可以。頂點(diǎn)為什么這么神奇呢？秘密就藏在圖片工具里。（出示“鎖定縱橫比”）你知道“鎖定縱橫比”是什么意思嗎？

生：縱是寬，橫是長(zhǎng)，鎖定縱橫比就是寬和長(zhǎng)的比不變。

師：是呀，放大或縮小圖片時(shí)，使圖片不變形的秘密就是“鎖定縱橫比”。

課始，教師將數(shù)學(xué)知識(shí)與信息技術(shù)有機(jī)整合，鮮活的素材、巧妙的方式有效激發(fā)了學(xué)生的好奇心，進(jìn)而揭示放大或縮小圖片且使其不變形的奧秘是“鎖定縱橫比”，并以此為起點(diǎn)，從定性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到定量刻畫，為用“比”的方式描述圖形的放大和縮小做好準(zhǔn)備。

二、追本溯源，建構(gòu)模型

1.嘗試放大

師（出示一個(gè)長(zhǎng)6、寬4的長(zhǎng)方形）：這個(gè)長(zhǎng)方形的縱橫比是多少？那長(zhǎng)和寬怎樣變化才能鎖定2∶3這個(gè)縱橫比呢？在方格紙上嘗試畫出長(zhǎng)方形放大或縮小后的樣子。

生1：我畫了一個(gè)長(zhǎng)12、寬8的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大了2倍。

生2：我把長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大3倍，畫了一個(gè)長(zhǎng)18、寬12的長(zhǎng)方形。

生3：我把長(zhǎng)和寬都縮小2倍，畫了一個(gè)長(zhǎng)3、寬2的長(zhǎng)方形。

生4：我把長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大1.5倍，畫了一個(gè)長(zhǎng)9、寬6的長(zhǎng)方形。

師：觀察這些放大或縮小的長(zhǎng)方形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：縱橫比都是2∶3，形狀相同。

師：如果方格紙足夠大，你能畫多少個(gè)這樣的長(zhǎng)方形？

生：只要鎖定縱橫比，我們就可以畫出無(wú)數(shù)個(gè)大小不同、形狀相同的長(zhǎng)方形。

在揭示圖形的放大或縮小的意義之前，緊扣“縱橫比不變”，放手讓學(xué)生直接畫出長(zhǎng)方形放大和縮小后的圖形。學(xué)生在操作實(shí)踐、展示交流中積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，鍛煉了綜合思維，初步感悟到圖形放大和縮小的本質(zhì)屬性：大小改變，形狀不變。

2.描述放大

（1）由形想比

師：老師從大家畫的長(zhǎng)方形中選擇一個(gè)放大的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形是把每條邊放大到原來(lái)的2倍得到的，仔細(xì)觀察原來(lái)的長(zhǎng)方形與放大后的長(zhǎng)方形，你能用一個(gè)比表示這個(gè)變化過(guò)程嗎？比的前項(xiàng)表示什么？后項(xiàng)呢？

生1：我想用2∶1表示，2表示放大后的長(zhǎng)，1表示原來(lái)的長(zhǎng)；2也表示放大后的寬，1也表示原來(lái)的寬。

生2：我也是用2∶1表示的，但2表示放大后的周長(zhǎng)，1表示原來(lái)的周長(zhǎng)。

生3：我用1∶2表示，1表示原來(lái)的寬，2表示放大后的寬。

生4：我用4∶1表示，4表示放大后的面積，1表示原來(lái)的面積。

生5：我用1∶4表示，1表示原來(lái)的面積，4表示放大后的面積。

（2）以比定形

師：同學(xué)們想到了用對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比、周長(zhǎng)的比、面積的比來(lái)表示圖形的變化，都有自己的道理，這些比都能說(shuō)清楚長(zhǎng)方形的這種變化嗎？我們先來(lái)討論面積比1∶4。（出示圖1）。

師：①②③號(hào)長(zhǎng)方形的面積都是原來(lái)長(zhǎng)方形的4倍，原來(lái)的長(zhǎng)方形與它們面積的比都是1∶4，這些長(zhǎng)方形都是原來(lái)長(zhǎng)方形放大后的圖形嗎？

生1：不對(duì)，①②③號(hào)長(zhǎng)方形和原來(lái)相比，全都變形了，它們沒(méi)能鎖定縱橫比。

生2：如果用面積比說(shuō)明圖形的放大，得到的圖形有很多種情況，面積雖然都是原來(lái)的4倍，但形狀可能會(huì)發(fā)生變化，所以用面積比來(lái)說(shuō)明圖形的放大不準(zhǔn)確。

師：既然面積比不能準(zhǔn)確描述圖形的放大，那周長(zhǎng)比呢？剛才的研究有給你一些啟發(fā)嗎？

生1：原來(lái)的周長(zhǎng)是20，放大后的周長(zhǎng)是40，周長(zhǎng)是40的長(zhǎng)方形也不止一個(gè)，不一定長(zhǎng)是12、寬是8。

生2：這樣看來(lái)，用周長(zhǎng)比來(lái)說(shuō)明長(zhǎng)方形的放大也不準(zhǔn)確，因?yàn)橹荛L(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形也有無(wú)數(shù)個(gè)，不一定就是我們要描述的長(zhǎng)方形。

師（出示圖2）：是的，周長(zhǎng)變成原來(lái)的2倍時(shí)，可能是長(zhǎng)12、寬8的長(zhǎng)方形，也可能是長(zhǎng)16、寬4的長(zhǎng)方形，當(dāng)然還有其他可能，所以周長(zhǎng)比也不能準(zhǔn)確描述圖形的放大。

師：最后我們來(lái)討論邊長(zhǎng)，放大后的長(zhǎng)和原來(lái)的長(zhǎng)是一組對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，放大后的寬和原來(lái)的寬也是一組對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比能準(zhǔn)確描述圖形的放大嗎？

生1：放大后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)的比是2∶1，寬的比也是2∶1，長(zhǎng)和寬都只有一種可能。

生2：放大后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12、寬是8，長(zhǎng)和寬固定了，長(zhǎng)方形的大小和形狀就固定了。

師：看來(lái)，用對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比來(lái)描述圖形的放大具有唯一性，鎖定了對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比，也就鎖定了圖形的大小和形狀。

（3）揭示放大

師：放大和縮小都是與原來(lái)的圖形相比較，在描述放大和縮小時(shí)，數(shù)學(xué)上規(guī)定把變化后的長(zhǎng)度作為前項(xiàng)，把原來(lái)的長(zhǎng)度作為后項(xiàng)，這里放大后的長(zhǎng)方形與原來(lái)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比是2∶1，也就是把原來(lái)的長(zhǎng)方形按2∶1的比放大。

師（出示按3∶1的比放大的長(zhǎng)方形）：現(xiàn)在的長(zhǎng)方形是怎樣放大的？如果要把原來(lái)的長(zhǎng)方形按4∶1的比放大，你打算怎么做呢？

用比來(lái)描述圖形的放大，邊長(zhǎng)比、周長(zhǎng)比、面積比，哪一種比更合理呢？教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，帶領(lǐng)他們經(jīng)歷自主研究、討論辨析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、建模應(yīng)用的過(guò)程，從“由形想比”到“以比定形”，發(fā)現(xiàn)用對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比描述圖形放大最合理，在對(duì)比沖突中還原知識(shí)形成的本來(lái)面貌，培養(yǎng)其思維的深刻性和創(chuàng)造性。

3.認(rèn)識(shí)縮小

師：把原來(lái)長(zhǎng)方形的每條邊都縮小到原來(lái)的二分之一，我們可以說(shuō)是按幾比幾縮小呢？在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

師：觀察這些表示放大和縮小的比，你能從中看出圖形的變化嗎？

生1：前項(xiàng)比后項(xiàng)大就表示放大，前項(xiàng)比后項(xiàng)小就表示縮小。

生2：比值就是他們放大或縮小的倍數(shù)，比值比1大就是把原來(lái)的圖形放大，比值比1小就是把原來(lái)的圖形縮小。

師：如果是1∶1呢？

生：原來(lái)的圖形既不放大也不縮小。

師：我們之前學(xué)習(xí)的平移、旋轉(zhuǎn)、畫軸對(duì)稱圖形都是把原來(lái)的圖形按1∶1的比變化，圖形的形狀、大小都不變。（課件分別演示）今天學(xué)的放大和縮小，你能看出其中的變與不變嗎？

生：圖形的大小變了，但形狀不變。

在認(rèn)識(shí)放大的基礎(chǔ)上放手讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)縮小的含義，然后比較表示放大和縮小的比的特征，再用特殊比1∶1勾連“圖形的運(yùn)動(dòng)”領(lǐng)域知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，升華了圖形放大和縮小的本質(zhì)屬性，凸顯了六年級(jí)數(shù)學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)體系中的統(tǒng)領(lǐng)作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性。

三、思維拓展，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：學(xué)會(huì)了長(zhǎng)方形的放大和縮小，你能按2∶1的比畫出直角三角形放大后的圖形嗎？（學(xué)生操作）你是怎樣畫的？

生：把兩條直角邊分別放大到原來(lái)的2倍。

師：直角邊放大到原來(lái)的2倍，斜邊也放大到原來(lái)的2倍嗎？可以怎樣驗(yàn)證？

生：用尺量一量。

師：可以的，一起量一量。除了測(cè)量，還有其他驗(yàn)證方法嗎？

生：原來(lái)的斜邊可以看作4×2長(zhǎng)方形的對(duì)角線，現(xiàn)在的斜邊上可以找到兩個(gè)4×2的長(zhǎng)方形，所以斜邊也放大到原來(lái)的2倍。（如圖3）

師：直角三角形的每條邊線都放大到原來(lái)的2倍，它內(nèi)部的對(duì)應(yīng)邊會(huì)怎樣變化？以斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的連線為例，你發(fā)現(xiàn)了什么？（出示圖4）

生1：這條連線也放大了2倍。

生2：三角形按2∶1的比放大，外面的邊線放大到原來(lái)的2倍，內(nèi)部的對(duì)應(yīng)邊也放大到原來(lái)的2倍。

師：圖形在放大或縮小時(shí)，看得見(jiàn)的、看不見(jiàn)的對(duì)應(yīng)邊都在按同樣的比放大或縮小。

圖形放大或縮小時(shí)，是不是所有對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)都同步變化呢？學(xué)生潛在的想法需要教師的設(shè)計(jì)才能呈現(xiàn)出來(lái)，教學(xué)直面學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，既要面對(duì)能聽(tīng)到的、看到的想法，還要面對(duì)他們頭腦中潛在的、尚未敞亮的想法。這里分兩個(gè)層次研究了直角三角形的斜邊和內(nèi)部邊線的放大情況，有測(cè)量，有推理，學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性不斷得到提升。

四、實(shí)踐運(yùn)用，提升素養(yǎng)

師：你能用今天所學(xué)的知識(shí)解決下面的問(wèn)題嗎？

如皋的文廟大成殿已有四百多年歷史，是國(guó)內(nèi)罕見(jiàn)的全楠木結(jié)構(gòu)，坐落于如皋師范學(xué)校附屬小學(xué)校園內(nèi)。一群建筑愛(ài)好者打算制作一個(gè)大成殿模型。通過(guò)測(cè)量，大成殿主體建筑以及前面的回廊、月臺(tái)的總占地大約是一個(gè)邊長(zhǎng)為30米的正方形。（1）在方格紙上畫出大成殿縮小后的平面圖。（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)表示1米）我是按（ ）∶（ ）的比縮小的。（2）大成殿的高約12米，根據(jù)你的比制作出的大成殿模型高約（ ）米。

學(xué)以致用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本意；通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。課尾設(shè)置開(kāi)放題，綜合運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，自主確定合適的比畫出縮小后的圖形，有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和能力。

（作者單位：江蘇省如皋市教師發(fā)展中心）