信息技術(shù)助力建模 項(xiàng)目學(xué)習(xí)提升素養(yǎng)

黃洪毅

【摘要】文章基于生活中鋪地磚的真實(shí)情境，組織學(xué)生開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，用信息技術(shù)輔助學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)平面圖形鑲嵌的本質(zhì).教師在用科學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活以及藝術(shù)之間的聯(lián)系，充分實(shí)現(xiàn)綜合實(shí)踐課的育人價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出，綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以解決實(shí)際問(wèn)題為重點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實(shí)問(wèn)題為載體，適當(dāng)采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問(wèn)題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì).在實(shí)際問(wèn)題的解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，可以提升學(xué)生的探究熱情，開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力.文章以“平面圖形的鑲嵌”為例，使用信息技術(shù)輔助學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，組織學(xué)生開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，探究問(wèn)題本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的核心素養(yǎng).

一、教學(xué)背景分析

“平面圖形的鑲嵌”是北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)內(nèi)容，是在學(xué)生理解并掌握三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折等知識(shí)的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中問(wèn)題的重要知識(shí)載體.

基于核心素養(yǎng)發(fā)展理念，本節(jié)課采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生從生活中鋪地磚的真實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，提出平面圖形的鑲嵌問(wèn)題.教師借助信息技術(shù)，使用拼圖軟件進(jìn)行分組探究，提高實(shí)驗(yàn)效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；設(shè)計(jì)邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的探究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)學(xué)角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡述平面圖形鑲嵌問(wèn)題的全過(guò)程，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活及藝術(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、教學(xué)過(guò)程

（一）會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界———抽象能力

1.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

人們?cè)诜课菅b修時(shí)，需要選擇適當(dāng)?shù)牡卮u拼成各種美麗的圖案，觀察下面這些圖案，它們?cè)谄唇訒r(shí)有什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)的問(wèn)題.

2.提出問(wèn)題

生活中對(duì)地磚拼接最基本的要求是：地磚之間應(yīng)該嚴(yán)絲合縫，既無(wú)空白，也無(wú)重疊.

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌或密鋪.

問(wèn)題1：平面圖形鑲嵌的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

問(wèn)題2：哪些平面圖形可以鑲嵌？怎樣開(kāi)展研究？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1引導(dǎo)學(xué)生思考平面圖形鑲嵌的關(guān)鍵點(diǎn)，理解“無(wú)縫隙、不重疊、鋪成一片”這三個(gè)要素，從而得出平面圖形鑲嵌的概念，為后續(xù)研究做好準(zhǔn)備.問(wèn)題2旨在用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方法引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究，運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

（二）會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界———推理能力

1.分析問(wèn)題

本項(xiàng)目作為八年級(jí)下冊(cè)的一次綜合實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)，以現(xiàn)實(shí)生活中拼接地磚為背景，提出“平面圖形的鑲嵌”作為驅(qū)動(dòng)型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，將已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折等知識(shí)融會(huì)貫通，建立數(shù)學(xué)模型，以解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：分析問(wèn)題，將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用三角形、四邊形、多邊形及平面圖形的變換等數(shù)學(xué)問(wèn)題，旨在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的能力.

2.簡(jiǎn)化問(wèn)題

學(xué)生普遍缺乏解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)會(huì)變成漫無(wú)目的的探索，這就需要教師整體設(shè)計(jì)邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的探究任務(wù).

設(shè)計(jì)意圖：簡(jiǎn)化問(wèn)題，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生分步實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，經(jīng)歷類比、模仿、自主創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展.

探究1：僅用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，在電腦軟件中進(jìn)行拼圖，完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，思考什么樣的正多邊形能完成單獨(dú)鑲嵌.

請(qǐng)同學(xué)們小組合作，在電腦上用實(shí)驗(yàn)軟件完成拼圖，填寫以下實(shí)驗(yàn)報(bào)告，并選派代表匯報(bào)實(shí)驗(yàn)探究的結(jié)果.

【實(shí)驗(yàn)步驟與觀察記錄】

探究2：允許用兩種正多邊形組合起來(lái)鑲嵌，由哪兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合起來(lái)能鑲嵌成一個(gè)平面？

先嘗試用邊長(zhǎng)相等的正三角形與正六邊形組合，探究能否鑲嵌成一個(gè)平面圖案，再?gòu)能浖羞x擇其他兩種正多邊形進(jìn)行組合，試試看，尋找兩種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律，如圖2所示.

探究3：允許用三種正多邊形組合起來(lái)鑲嵌，由哪三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合起來(lái)能鑲嵌成一個(gè)平面？完成下列表格.

探究4：非正多邊形（凸多邊形）能夠進(jìn)行平面鑲嵌嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

探究5：查閱資料，觀看教師提供的埃舍爾平面圖形鑲嵌畫制作過(guò)程，設(shè)計(jì)一幅平面圖形鑲嵌圖.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生按照從特殊到一般、從無(wú)序到有序的思路進(jìn)行探究，充分利用信息技術(shù)，指導(dǎo)學(xué)生利用拼圖軟件進(jìn)行探究1和探究2的活動(dòng)，提高實(shí)驗(yàn)效率，把精力花在用數(shù)學(xué)方法解析模型、尋找平面圖形鑲嵌本質(zhì)規(guī)律的過(guò)程中.接下來(lái)，學(xué)生類比探究1和探究2，完成探究3和探究4的活動(dòng)，經(jīng)歷從模仿到自主創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變.最后，以探究5的活動(dòng)作為拓展，教師通過(guò)動(dòng)畫展示埃舍爾由基本圖形經(jīng)過(guò)變換得到鑲嵌圖案的過(guò)程，幫助學(xué)生理解幾何變換的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作設(shè)計(jì)鑲嵌圖案，親身體驗(yàn)鑲嵌的過(guò)程及其帶來(lái)的美的感受.

（三）會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界———模型意識(shí)

1.建模、解模及檢驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.

探究1結(jié)論：通過(guò)對(duì)一種正多邊形的實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)一種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律是共頂點(diǎn)的各個(gè)角的度數(shù)之和等于360°.

分析檢驗(yàn)：學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)現(xiàn)只有正三角形、正四邊形和正六邊形能完成單獨(dú)鑲嵌，與模型的解完全一致，如圖3所示.

探究2結(jié)論：通過(guò)對(duì)兩種正多邊形的實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)兩種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律依然是共頂點(diǎn)的各個(gè)角的度數(shù)之和等于360°.

建模與解模：設(shè)兩種正多邊形的內(nèi)角度數(shù)分別為x°，y°，個(gè)數(shù)分別為m和n.因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)角度數(shù)之和等于360°，所以mx+ny=360，這是一個(gè)不定方程.

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)中只給出了正三角形到正十邊形的圖形，通過(guò)求解，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形、正五邊形與正十邊形這三種組合滿足方程.

分析檢驗(yàn)：學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形的組合能夠完成鑲嵌，但是對(duì)正五邊形與正十邊形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生了分歧，現(xiàn)場(chǎng)引發(fā)了激烈討論.

正方結(jié)論：正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，正五邊形的內(nèi)角為108°，正十邊形的內(nèi)角為144°，取2個(gè)正五邊形和1個(gè)正十邊形作為基本圖形，滿足2×108°+1×144°=360°，所以正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，如圖4所示.

反方結(jié)論：正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，雖然正五邊形和正十邊形的組合使得方程有正整數(shù)解，但是在實(shí)際拼圖的過(guò)程中，不能鋪滿整個(gè)平面，會(huì)有縫隙或重疊出現(xiàn)，這不符合平面圖形鑲嵌的定義，所以正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，如圖5所示.

通過(guò)辯論，學(xué)生明晰了平面圖形鑲嵌的概念，反方獲勝，同時(shí)意識(shí)到模型檢驗(yàn)的重要性，積累解決生活中復(fù)雜問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

2.模型應(yīng)用

探究3結(jié)論：由探究1和探究2的數(shù)學(xué)模型，可以推出三種正多邊形鑲嵌要滿足的條件依然是同一個(gè)頂點(diǎn)處所有內(nèi)角的和為360°，直接應(yīng)用模型，得出正三角形、正四邊形和正六邊形可以完成鑲嵌，如圖6所示.

探究4結(jié)論：直接應(yīng)用由探究1和探究2得出的數(shù)學(xué)模型，共頂點(diǎn)處所有內(nèi)角和為360°，可以得出任意三角形都可以鑲嵌，事實(shí)上，可以把兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，然后將平行四邊形上下疊放鋪滿整個(gè)平面，如圖7所示.任意四邊形也可以鋪滿整個(gè)平面，只需要標(biāo)注任意四邊形的內(nèi)角和為360°，把4個(gè)四邊形不同的對(duì)應(yīng)角進(jìn)行拼接，一起構(gòu)成360°，其他以此類推，如圖8所示.

通過(guò)查閱資料，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以單獨(dú)鑲嵌的不規(guī)則的五邊形有15種，如圖9所示.能夠單獨(dú)鑲嵌的不規(guī)則的六邊形有3種，當(dāng)邊數(shù)大于等于7時(shí)，不規(guī)則多邊形不能單獨(dú)鑲嵌.

教師采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模深度融合的方式，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入教學(xué)實(shí)踐.用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決實(shí)際問(wèn)題，不僅能夠鞏固學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，還可以強(qiáng)化學(xué)生探究學(xué)習(xí)的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生“三會(huì)”能力的培養(yǎng).教師最后布置的探究5的活動(dòng)，充分發(fā)揮了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

三、教學(xué)思考

（一）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)思維自然生長(zhǎng)

綜合與實(shí)踐活動(dòng)課程源于現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)問(wèn)題情境，具有一定的復(fù)雜性和綜合性.學(xué)生普遍缺乏解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)問(wèn)題情境，往往不知從何處開(kāi)始研究.本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生從平面圖形的鑲嵌中提取出問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和簡(jiǎn)化，從特殊正多邊形到一般多邊形，從一種正多邊形到兩種正多邊形和三種正多邊形，建立秩序，帶領(lǐng)學(xué)生完成序列化的探究任務(wù)，發(fā)現(xiàn)平面圖形鑲嵌的本質(zhì)，理解數(shù)與形的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)思維的自然生長(zhǎng).

（二）信息助力，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模與解模

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，本節(jié)課是讓學(xué)生準(zhǔn)備大量全等的正多邊形紙片進(jìn)行拼圖，耗時(shí)耗力，打擊學(xué)生探究的積極性，且學(xué)生不易觀察到幾何圖形的動(dòng)態(tài)變換.本節(jié)課充分使用信息技術(shù)，設(shè)計(jì)拼圖軟件，學(xué)生只需要在電腦上點(diǎn)擊鼠標(biāo)，即可輕輕松松完成一種正多邊形和多種正多邊形的拼接，極大地提高了課堂效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生把時(shí)間和精力用在探究上，尋找平面圖形鑲嵌的規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型并解釋模型和應(yīng)用模型，開(kāi)闊學(xué)生的視野.

（三）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提倡學(xué)生在“做中學(xué)”，以學(xué)生為中心，通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展基于生活中真實(shí)問(wèn)題的活動(dòng)探究，最后小組匯報(bào)交流學(xué)習(xí)成果，有助于發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)思維分析和解決問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述和表達(dá)問(wèn)題的素養(yǎng)，還有助于培養(yǎng)學(xué)生用整體的、發(fā)展的、聯(lián)系的眼光看待現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.在整個(gè)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生有小組合作和分工，任務(wù)明確，參與度高，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，感受到學(xué)習(xí)的意義和快樂(lè).

結(jié) 語(yǔ)

教師利用信息技術(shù)促進(jìn)教與學(xué)方式變革，通過(guò)將問(wèn)題簡(jiǎn)化，從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生分步實(shí)施序列化的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，經(jīng)歷類比、模仿到自主創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展.這樣的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更有效.

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