觀察結(jié)構(gòu)特征 優(yōu)化思維定式

［摘? 要］ 高考數(shù)學(xué)試題題目新，信息量大，指導(dǎo)性強(qiáng).對(duì)高考試題的研究有利于指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在日常教學(xué)中除了強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)全面深刻理解和融會(huì)貫通運(yùn)用外，還應(yīng)關(guān)注解題方法和解題過(guò)程的優(yōu)化，不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)列；觀察探究；“四基四能”

作者簡(jiǎn)介：張彬政（1976—），高級(jí)教師，四川省教書(shū)育人名師、四川省模范教師、四川省骨干教師、四川省鼎興名師工作室成員，受省政府、市政府、縣政府三級(jí)表彰，市委、市人民政府授予 “優(yōu)秀教師”稱(chēng)號(hào). 在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》《中小學(xué)數(shù)學(xué)》《數(shù)理化學(xué)習(xí)》《數(shù)理化解題研究》《語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)》《中學(xué)生數(shù)理化》《數(shù)學(xué)大世界》《中學(xué)生理科月刊》《招生考試報(bào)》等刊物上發(fā)表過(guò)論文35篇.

觀察是人們對(duì)周?chē)澜绲目陀^事物和現(xiàn)象，在自然條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法， 是一種很重要的思維活動(dòng).數(shù)學(xué)觀察則是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在客觀情境下考察其數(shù)量關(guān)系及圖形性質(zhì)的一種方法.通過(guò)觀察來(lái)搜集新材料，發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，探索對(duì)象的本質(zhì)，洞察出隱在深處的數(shù)量關(guān)系和圖象的性質(zhì)以及問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系. 通過(guò)觀察來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法. 數(shù)學(xué)觀察能開(kāi)闊學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，使數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性與深刻性.

試題呈現(xiàn)

（2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)第17題）設(shè)數(shù)列｛ａ｝滿(mǎn)足a=3，a=3a－4n．

（1）計(jì)算a，a，猜想｛ａ｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

（2）求數(shù)列｛2nan｝的前n項(xiàng)和S．

分析 第（1）問(wèn)主要考查數(shù)列通項(xiàng)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 第（2）問(wèn)是一個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列之積求和的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可利用錯(cuò)位相減法求解，屬于中檔題. 考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)“知識(shí)了解”考查的要求：對(duì)知識(shí)有初步、感性認(rèn)識(shí)，知道它是什么，按照一定程序和步驟進(jìn)行模仿，在相關(guān)問(wèn)題中能識(shí)別和認(rèn)識(shí)它并加以應(yīng)用.

觀察問(wèn)題特征、直擊問(wèn)題本質(zhì)、優(yōu)化思維定式

大千世界，千變?nèi)f化，數(shù)學(xué)問(wèn)題亦如此，想憑借一種固定的方案，快速且準(zhǔn)確地解決各種問(wèn)題，肯定行不通. 這就要求學(xué)習(xí)者要有一雙善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的慧眼，能洞察問(wèn)題的本質(zhì)，并利用思維的敏捷性來(lái)舉一反三達(dá)到融會(huì)貫通的效果［1］. 從心理學(xué)的角度來(lái)看，認(rèn)識(shí)一件事物的最初形式是感覺(jué)與知覺(jué)，觀察屬于知覺(jué)的高級(jí)形式. 觀察是集目的性、計(jì)劃性與持久性于一體的心理活動(dòng)過(guò)程. 因此，加強(qiáng)新事物的觀察，是建構(gòu)新知的最基本途徑，也是學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)并釋疑的基本前提. 數(shù)學(xué)觀察應(yīng)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)、認(rèn)知水平點(diǎn)撥思維.數(shù)學(xué)觀察探究什么？數(shù)學(xué)觀察探究的方向是什么？數(shù)學(xué)觀察探究的途徑是什么？怎樣做好數(shù)學(xué)觀察探究方法的收集與處理？學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，以自己的方式、習(xí)慣、情感和認(rèn)知規(guī)律去探索、去研究、去發(fā)現(xiàn)、去感悟、去理解，得出合理的結(jié)論和思考的方法，提高解題能力，提升學(xué)科素養(yǎng).

由題目第（1）問(wèn)可得2nan=（2n+1）2n，涉及數(shù)列求和. 數(shù)列求和常見(jiàn)的方法有分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法. 分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的和或差；裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng)；錯(cuò)位相減法主要用于求｛ａｎｂｎ｝的前ｎ項(xiàng)和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．

題目第（2）問(wèn)歸類(lèi)為求｛ａｎｂｎ｝的前n項(xiàng)和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，是典型的用錯(cuò)位相減法求和例題. 但如果｛ｂ｝為等比數(shù)列，｛ａ｝不是等差數(shù)列呢？可先觀察探究以下問(wèn)題，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法，提升“四基”“四能”.

觀察探究1 ?求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

觀察到分母為積這一特點(diǎn)，這是數(shù)列求和中的“積求和”典型例子，可采用裂項(xiàng)相消法將通項(xiàng)拆分，快速得出S=1－. 有人認(rèn)為“積求和”，可以取對(duì)數(shù)求解，但是取對(duì)數(shù)對(duì)此題行不通. 這里為什么要裂項(xiàng)？觀察到分母是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積，只有通過(guò)裂項(xiàng)，才能相消求和.這題通過(guò)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征得出的基本經(jīng)驗(yàn)是“積求和，裂項(xiàng)相消”，那么“積求和，裂項(xiàng)相消”對(duì)“求｛ａｎｂｎ｝的前n項(xiàng)和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列”這類(lèi)題是否行得通呢？這可以通過(guò)裂項(xiàng)相消法達(dá)到目的，但不是所有的數(shù)列“積求和”都行，比如“求數(shù)列｛ｓｉｎ（ａｎｂｎ）｝的前ｎ項(xiàng)和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列”．

觀察探究2 ?繼續(xù)求解題目第（2）問(wèn)——求｛（2n+1）2n｝的前n項(xiàng)和.

結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》規(guī)定數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)是：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力. 因此，教師在教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生通過(guò)觀察認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)以及知識(shí)間的相互關(guān)聯(lián)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)生樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)，利于“四基”強(qiáng)化和“四能”提升［4］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張彬政. 學(xué)科核心素養(yǎng)理念下提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)策略［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（04）：38-39.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部考試中心.《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 中華人民共和國(guó)教育部考試中心.《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考［J］. 課程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.