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      探求函數(shù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 厘清函數(shù)解題思路

      2023-03-15 22:20:49袁濤陸婭君張和平
      關(guān)鍵詞:解題思路

      袁濤 陸婭君 張和平

      [摘? 要] 函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線,是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容,而函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一,是學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵. 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是學(xué)生理解和感悟數(shù)學(xué)“對(duì)稱(chēng)美”的載體,是數(shù)學(xué)之美的具體表現(xiàn)形式. 作為函數(shù)的重要性質(zhì)之一,函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的考查頻繁出現(xiàn)在歷年的高考真題中(如2021年全國(guó)文科甲卷、2018年全國(guó)文科新課標(biāo)Ⅲ卷、2016年全國(guó)Ⅱ卷等),理解和掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的本質(zhì)是學(xué)生學(xué)好函數(shù)知識(shí),獲得數(shù)學(xué)發(fā)展,提高數(shù)學(xué)成績(jī)的重要基礎(chǔ). 文章基于一道高考真題,分享研究者關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的探究和理解.

      [關(guān)鍵詞] 函數(shù)對(duì)稱(chēng)性;解題思路;高考真題

      基金項(xiàng)目:2021年凱里學(xué)院聯(lián)合培養(yǎng)研究生專(zhuān)項(xiàng)課題“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)研究”(LHYJS2107).

      作者簡(jiǎn)介:袁濤(1994—),貴州師范大學(xué)碩士研究生,從事數(shù)學(xué)教育研究工作.

      通訊作者:張和平(1974—),博士,凱里學(xué)院理學(xué)院教授,從事數(shù)學(xué)教育與測(cè)量研究工作.

      真題呈現(xiàn)與解析

      (2018年全國(guó)文科新課標(biāo)Ⅲ卷第7題)下列函數(shù)中,其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的是

      (? )

      A. y=ln(1-x) ???? B. y=ln(2-x)

      C. y=ln(1+x) ????? D. y=ln(2+x)

      分析 此題是關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題,可以直接根據(jù)函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱(chēng)變換求出結(jié)果,亦可根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法解出答案.

      解法1 函數(shù)y=lnx的圖象與函數(shù)y=ln(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且所求函數(shù)的圖象需要與y=lnx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),因此把函數(shù)y=ln(-x)的圖象向右平移兩個(gè)單位可得y=ln(2-x)的圖象,即為所求.

      解法2 設(shè)Q(x,y)是所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),則關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(2-x,y)在函數(shù)y=lnx上,可得所求函數(shù)為y=ln(2-x).

      反思 在以上兩種解法的基礎(chǔ)上,還可以通過(guò)作出函數(shù)圖象,觀察函數(shù)圖象的特點(diǎn)得出正確答案. 但無(wú)論采用何種解法,解答此題的關(guān)鍵都在于抓住函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的本質(zhì),只要由此入手求解,便不難得出正確答案. 如果將此題中的具體函數(shù)換成抽象函數(shù)進(jìn)行考查(如y=f(x)與y=f(2-x)的關(guān)系)又當(dāng)如何?至此引起了筆者對(duì)“函數(shù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)”的思考.

      結(jié)束語(yǔ)

      數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成. 在教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于結(jié)論性的總結(jié)不應(yīng)是簡(jiǎn)單告知與證明了事,而應(yīng)從本質(zhì)出發(fā),講清知識(shí)來(lái)源,讓學(xué)生明白知識(shí)間并不是相互隔絕而是有緊密聯(lián)系的,是一個(gè)符合邏輯的知識(shí)體系. 如此,方能幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),搭建新舊知識(shí)間的橋梁,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 陳洪波.奇偶函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的推廣及應(yīng)用[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2018(17):14-16.

      [2] 涂佳微. 思辨才能深度理解——由一道選擇題的解答談函數(shù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及其應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2021(09):20-22.

      [3] 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修一(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2007.

      [4] 章建躍,李增滬. 普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

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