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    指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計

    2023-03-15 07:01:50王進于濤
    關(guān)鍵詞:角的度量立體幾何二面角

    王進 于濤

    [摘? 要] 文章以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學(xué)設(shè)計為例,呈現(xiàn)了單元教學(xué)設(shè)計的完整流程,從數(shù)學(xué)分析、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析、評價分析等五個方面進行教學(xué)要素分析,從課時教學(xué)內(nèi)容、單元教學(xué)目標(biāo)、單元重點難點等三個方面進行單元框架設(shè)計,以具體課時的教學(xué)過程為例呈現(xiàn)出課時教學(xué)設(shè)計.單元教學(xué)設(shè)計主要有“橫向遷移”和“縱向發(fā)展”兩種類型,以及從“四基”“四能”到“三會”的主線.

    [關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);單元教學(xué);立體幾何;角的度量;二面角

    基金項目:廣東省基礎(chǔ)教育學(xué)科教研基地項目,廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)專項課題“基于大觀念的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實踐研究”(GDJY-2022-M-b124),東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃課題“培養(yǎng)學(xué)生‘四能的數(shù)學(xué)探究活動校本課程研究”(2021GH165).

    作者簡介:王進(1983—),本科學(xué)歷,中學(xué)高級教師,廣東省基礎(chǔ)教育學(xué)科教研基地成員,主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作,東莞市學(xué)科帶頭人、東莞市教學(xué)能手,曾獲東莞市品質(zhì)課堂教學(xué)能力大賽一等獎.

    引言

    單元教學(xué)設(shè)計是以教材為基礎(chǔ),用系統(tǒng)論的方法對教材中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進行分析、重組、整合并形成相對完整的教學(xué)單元,在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃,以優(yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計[1]. 單元教學(xué)設(shè)計倡導(dǎo)把教學(xué)內(nèi)容置于單元整體內(nèi)容中去把控,更多關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊含的思想以及學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng),對改變教學(xué)過分關(guān)注具體知識點的傾向,拓展教學(xué)視野以及提高教學(xué)效率等有重要作用[2].

    鐘啟泉指出“核心素養(yǎng)—課程標(biāo)準(學(xué)科素養(yǎng)/跨學(xué)科素養(yǎng))—單元設(shè)計—課時計劃”是環(huán)環(huán)相扣的教師教育活動的基本環(huán)節(jié),要理解單元設(shè)計的價值和作用,它是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點[3]. 在新課程改革的背景下,倡導(dǎo)教師關(guān)注發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計,從更為上位的視角開展整體教學(xué),是一個重要的研究課題.下面筆者以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學(xué)設(shè)計為例,與讀者共同探討單元教學(xué)設(shè)計.

    教學(xué)要素分析

    教學(xué)要素分析是單元教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié),關(guān)系著單元教學(xué)何以構(gòu)成一個“單元”. 教學(xué)要素分析包括數(shù)學(xué)分析、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析、評價分析等五個方面.

    數(shù)學(xué)分析:“角的度量”是繼空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系定性研究后的定量研究,是“異面直線所成的角(線線角)”“直線與平面所成的角(線面角)”“二面角”等基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)后的基本技能學(xué)習(xí).“角的度量”包括作角、證角、求角等環(huán)節(jié),其中“作角”將空間角轉(zhuǎn)化為平面角,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.不論是位置關(guān)系的研究,還是度量關(guān)系的計算,教學(xué)往往更關(guān)注如何證明平行、垂直,如何求角(包括三角函數(shù)值)等顯性知識的學(xué)習(xí),而忽視借助位置關(guān)系、度量關(guān)系深入認識空間幾何圖形等隱性知識的學(xué)習(xí). 因此,“角的度量”教學(xué)需要關(guān)注“根據(jù)幾何圖形研究角的問題”和“根據(jù)角的研究過程與結(jié)果認識幾何圖形”的雙向教學(xué)視角.

    課標(biāo)分析:立體幾何教學(xué)內(nèi)容隸屬于幾何與代數(shù)主線,課標(biāo)中有關(guān)“立體幾何初步”的教學(xué)內(nèi)容要求重點關(guān)注空間中點、直線、平面之間的“位置關(guān)系”,以及關(guān)系中的兩類特殊情形——平行與垂直,對關(guān)系中的一般情形的“度量關(guān)系(距離、角)”未有表述;在空間向量與立體幾何的教學(xué)內(nèi)容要求中提出能用向量方法解決有關(guān)距離問題和夾角問題的“度量問題”. 顯然,立體幾何初步的教學(xué)對“角的度量”問題要求不高,三類“角”的概念教學(xué)重在服務(wù)于“位置關(guān)系”教學(xué). 此外,課標(biāo)中多次提出“借助長方體”來學(xué)習(xí)立體幾何的相關(guān)知識內(nèi)容,這一教學(xué)策略的高頻次出現(xiàn),實際上是在強調(diào)模型思想,以“基本立體圖形——長方體”為模型載體,貫穿立體幾何的教學(xué).

    教材分析:“角的度量”教學(xué)作為基本技能的教學(xué),需要一定數(shù)量的數(shù)學(xué)題目進行講授與訓(xùn)練. 人教A版教材(2019年版)必修第二冊中有關(guān)“角”的例習(xí)題不多——共有7道例習(xí)題.其中,“線線角”有1道例題、1道習(xí)題;“線面角”有1道例題、1道習(xí)題;“二面角”有3道習(xí)題. 教材的編寫與課標(biāo)中的教學(xué)內(nèi)容要求基本一致. 分析有關(guān)“角的度量”的例習(xí)題背景,不難發(fā)現(xiàn)“立體幾何初步”教學(xué)的例習(xí)題背景設(shè)置主要是正方體(3題〈三類“角”各1題〉)、長方體(1題)、三棱錐(2題)、四棱錐(1題)等常見的基本立體圖形,同樣強調(diào)對基本立體圖形的學(xué)習(xí)與認識. 事實上,三棱錐、四棱錐都可以視作正方體或長方體的一部分.

    學(xué)情分析:“角的度量”的認知基礎(chǔ)是各類“角”的概念,以及平行、垂直的判定與性質(zhì)定理等,“角的度量”方法的學(xué)習(xí)是綜合運用概念與定理的過程. 在解決具體問題時,學(xué)生需要從基本立體圖形中抽象出“角”的問題,對空間想象能力要求較高,不同的觀察視角都可能引起對圖形理解的困難. 從“整體”的視角來認識“局部”的線線、線面、面面關(guān)系的意識有待學(xué)生進一步加強.

    評價分析:高考對立體幾何的考查不局限于用向量方法研究立體幾何問題,幾何方法和向量方法都是立體幾何思維方法的重要考向.從評價的角度來看,應(yīng)用向量方法研究立體幾何問題前,有必要加強幾何方法的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建“幾何”“向量”兩條路的思維方法體系,避免學(xué)生解決“角的度量”問題時,只見“向量”不見“幾何”.

    基于上述分析,筆者將“角的度量”定為一個學(xué)習(xí)單元. 該單元以“模型”思想為教學(xué)核心,以“線串式”單元為教學(xué)組織形式,以期在牢固學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能的同時,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    單元框架設(shè)計

    單元框架設(shè)計是單元教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié),關(guān)系著單元教學(xué)如何實施的問題.單元框架設(shè)計包括課時教學(xué)內(nèi)容、單元教學(xué)目標(biāo)、單元重點難點等內(nèi)容.

    課時教學(xué)內(nèi)容:本單元教學(xué)內(nèi)容分為3個課時,內(nèi)容分別是線線角的求法、線面角的求法、二面角的求法.具體課時教學(xué)內(nèi)容如表1所示.

    單元教學(xué)目標(biāo):單元教學(xué)目標(biāo)不是課時目標(biāo)的累加,需要突出課時教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性,避免課時教學(xué)的碎片化和隨意性.根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容的共性,本單元的教學(xué)目標(biāo)如下:

    (1)“四基”層面的教學(xué)目標(biāo).①基礎(chǔ)知識:深入理解基本立體圖形——正方體,了解正方體中特殊位置的線線、線面、面面的位置關(guān)系;②基本技能:掌握求解三類“角”的基本方法,掌握“作角、證角、求角”的基本步驟;③基本思想:感悟模型思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想;④基本活動經(jīng)驗:積累正方體中的線線、線面、面面位置關(guān)系的研究經(jīng)驗,為遷移至其他基本立體圖形中的線線、線面、面面位置關(guān)系的研究做好類比基礎(chǔ).

    (2)“四能”層面的教學(xué)目標(biāo).①能從“元素(線、面)”之間關(guān)系的微觀角度來認識宏觀的幾何圖形,發(fā)現(xiàn)并提出有關(guān)線線、線面、面面位置關(guān)系的度量計算問題;②能應(yīng)用各類“角”的概念及相關(guān)知識,分析并解決各類“角”的度量計算問題.

    (3)素養(yǎng)層面的教學(xué)目標(biāo). ①關(guān)鍵能力:借助正方體研究有關(guān)角的度量計算問題,發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng);通過學(xué)習(xí)“作角、證角、求角”的方法,發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng);②必備品格:通過探究活動,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析和解決問題的全過程,培養(yǎng)學(xué)生善于思考、嚴謹求實的科學(xué)精神,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

    單元重點難點:重點是應(yīng)用各類“角”的概念及相關(guān)知識求解角的度量計算問題,結(jié)合各類“角”的求解過程與結(jié)果深入認識正方體模型;難點是各類“角”的作角方法的學(xué)習(xí)與掌握.

    課時教學(xué)設(shè)計

    本單元3個課時的教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密,教學(xué)模式與流程幾乎一致,每個課時都可以為下一個課時積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗,實現(xiàn)從學(xué)會到會學(xué)的單元教學(xué)價值. 下面以第3課時“二面角的求法”為例,呈現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計.

    1. 發(fā)現(xiàn)問題

    情境:如圖1所示,正方體ABCD-ABCD的各個面能構(gòu)成二面角嗎?如果能,大小是多少?如果不能,請說明理由.

    學(xué)生活動:學(xué)生獨立思考,分類討論,發(fā)現(xiàn)并解決問題.

    教師活動:教師觀察、交流,適時提出引導(dǎo)性問題.

    活動結(jié)果:①相鄰的兩面能組成二面角,如二面角D-AD-C,二面角A-DD-C等,均為90°;②相對的面互相平行,不能組成二面角,因為二面角的定義為:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.

    設(shè)計意圖 以正方體為教學(xué)載體,引導(dǎo)學(xué)生運用二面角知識觀察模型,明確模型中各個面的關(guān)系.同時,幫助學(xué)生復(fù)習(xí)二面角、二面角平面角的概念以及二面角的表示等基礎(chǔ)知識.

    問題1:如圖2所示,已知正方體ABCD-ABCD的對角面ABCD,該對角面與正方體各個面所組成的二面角的大小分別是多少?

    學(xué)生活動:學(xué)生獨立思考,分類討論,發(fā)現(xiàn)并解決問題.

    教師活動:教師觀察、交流,適時提出引導(dǎo)性問題.

    活動結(jié)果:①平面AADD和平面BBCC與對角面ABCD構(gòu)成的二面角均為90°;②平面AABB、平面ABCD、平面ABCD、平面CCDD與對角面ABCD構(gòu)成的銳二面角均為45°.

    設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以正方體的各頂點構(gòu)成的線與面,多視角觀察正方體,學(xué)會用二面角的知識去研究它們之間的關(guān)系,會用數(shù)學(xué)的眼光觀察基本模型,發(fā)現(xiàn)問題.

    2. 提出問題

    問題2:在正方體ABCD-ABCD中,你還可以提出一些有關(guān)二面角的問題嗎?

    學(xué)生活動:學(xué)生獨立思考,發(fā)現(xiàn)、提出問題.

    教師引導(dǎo):為了使研究對象較為簡單且集中,教師適時引導(dǎo)學(xué)生思考“正方體的各頂點能確定哪些特殊的平面?從這些平面間的關(guān)系能提出哪些有關(guān)二面角的問題?”

    活動結(jié)果:①明確三類研究對象,分別為表面、對角面、三角面;②提出四類研究問題,分別為三角面與表面構(gòu)成的二面角、三角面與對角面構(gòu)成的二面角、三角面與三角面構(gòu)成的二面角、對角面與對角面構(gòu)成的二面角.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從直觀、易于辨識的角度寫出每類問題中的一個有關(guān)二面角的題目,比如以下四個題目.

    題目1:(三角面與表面)如圖3所示,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角C-BD-C的大小.

    題目2:(三角面與對角面)如圖4所示,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角D-BD-C的大小.?搖

    題目3:(三角面與三角面)如圖5所示,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角A-BD-C的大小.

    模型抽象:在題目3的基礎(chǔ)上,連接AC,從正方體中抽象出正四面體(如圖6所示),問題可以轉(zhuǎn)化為“正四面體相鄰兩面所構(gòu)成的銳二面角的大小是多少?”

    題目4:(對角面與對角面)如圖7所示,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角A-BD-C的大小.

    模型抽象:在題目4的基礎(chǔ)上,從正方體中抽象出四棱錐(如圖8所示),問題可以轉(zhuǎn)化為“在底面是正方形的四棱錐D1-ABCD中,DD1⊥平面ABCD,且DD1=DC,求二面角A-BD1-C的大小”.

    設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用關(guān)系的眼光觀察數(shù)學(xué)對象,多視角觀察、認識正方體模型,建立正方體模型與正四面體模型、特殊四棱錐模型之間的關(guān)系,強化模型思想,增強載體化意識.引導(dǎo)學(xué)生在立體幾何一般觀念的引領(lǐng)下,從“元素(平面)”關(guān)系的角度感悟研究立體幾何問題的一般思路和方法,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力,積累基本活動經(jīng)驗.

    3. 分析問題

    問題3:如何求二面角的大???

    學(xué)生:作出二面角的平面角.

    教師:如何作二面角的平面角?

    師生活動:教師借助題目1,分析作二面角平面角的本質(zhì)和關(guān)鍵,建立作二面角平面角的一般模型(如圖9所示),進而明確作圖思路:在兩個半平面中各探尋一點A,B,使得兩點的連線AB與二面角的棱l相互垂直,再過點B作BH⊥l交l于H,連接AH.與題目1不同,題目2需要引導(dǎo)學(xué)生在作圖的過程中,通過添加輔助線,構(gòu)建出如圖9所示的模型,作出二面角的平面角.題目1和題目2以教師講授為主,題目3和題目4以學(xué)生實踐為主,題目3和題目4的研究思路可以分別類比題目1和題目2.

    設(shè)計意圖 “作角”與“證角”“求角”分環(huán)節(jié)教學(xué),意在分散教學(xué)難點,突破“作角”難點.通過四個題目的講授與練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)方法、構(gòu)建模型、轉(zhuǎn)化應(yīng)用等過程,建立模型意識,理解構(gòu)建二面角作圖模型的價值,掌握一種最為基礎(chǔ)的作圖方法,強化基本技能. 四個題目呈現(xiàn)了正方體、正四面體、特殊四棱錐等三種基本立體圖形,通過“作角”,引導(dǎo)學(xué)生深入理解常見的基本立體圖形的特征及性質(zhì).

    4. 解決問題

    問題4:如何表述二面角平面角的整個求解過程?

    師生活動:引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體問題,準確表述輔助線的作法,以及“證角”和“求角”過程.板書題目1的解答過程,做好教學(xué)示范;展示題目2的解答過程,形成對比,強調(diào)“作角”中的轉(zhuǎn)化思想,體現(xiàn)“證角”和“求角”的共通性.學(xué)生自主練習(xí)題目3和題目4.

    完成四個題目規(guī)范求解后,教師在題目4的基礎(chǔ)上,提出思考題.

    思考題:如圖8所示,題目4的條件不變,求平面ADD與平面BCD所成的銳二面角的大小.

    師生活動:引導(dǎo)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)特殊四棱錐與正方體之間的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)正方體的對角面與側(cè)面構(gòu)成的銳二面角問題.

    設(shè)計意圖 完善“作角”的表達,規(guī)范“證角”“求角”的書寫,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力;提出“無棱二面角”的變式思考題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同模型間的關(guān)系,體會模型思想,感悟模型價值.

    單元教學(xué)思考

    單元教學(xué)設(shè)計以整體教學(xué)功能為設(shè)計起點,從更高層次的視角觀察、提取教學(xué)內(nèi)容的共性,綜合考慮共性要素間的關(guān)系,使得教學(xué)產(chǎn)生整體效益.

    從單元教學(xué)設(shè)計類型來看,“橫向遷移”和“縱向發(fā)展”是兩個基本的設(shè)計類型. 本文呈現(xiàn)的“角的度量”單元教學(xué)設(shè)計是“橫向遷移”的典型案例,第1課時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可以遷移到第2、第3課時,有助于學(xué)習(xí)過程中類比遷移的發(fā)生,促進學(xué)生由被動接受的“學(xué)會”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃臃e極的“會學(xué)”. 對于“縱向發(fā)展”的單元教學(xué)設(shè)計,以“函數(shù)零點問題”為例,教材將函數(shù)零點問題編寫為“函數(shù)的零點與方程的解”和“用二分法求方程的近似解”兩個小節(jié),“合二為一”方能構(gòu)成研究函數(shù)零點(或方程的根)問題解決方法的全過程——先判斷函數(shù)是否有零點,再估算零點的大?。ɑ蚯蟪鰧?yīng)方程的根).

    從單元教學(xué)設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)來看,不妨以從“四基”“四能”到“三會”為設(shè)計主線,形成“宏觀(課程目標(biāo))—中觀(單元教學(xué)目標(biāo))—微觀(課時教學(xué)目標(biāo))”的“課程—教學(xué)”目標(biāo)鏈條,填補課程目標(biāo)與課時教學(xué)目標(biāo)之間的“溝壑”. “四基”以打好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ),體現(xiàn)出基礎(chǔ)性、整合性、結(jié)構(gòu)性;“四能”立足問題解決活動,體現(xiàn)出情境性、過程性、探索性;“三會”立足行為養(yǎng)成,體現(xiàn)出實踐性、創(chuàng)新性、發(fā)展性[4]. 這一設(shè)計主線能有效引導(dǎo)教師關(guān)注“雙基”外的其他課程目標(biāo),通過單元教學(xué)實現(xiàn)更高層次的教學(xué)目標(biāo),有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

    單元教學(xué)設(shè)計需要一線教師有意識地發(fā)展、提高自身單元教學(xué)意識,通過將教學(xué)內(nèi)容放置于單元中進行整體教學(xué)考量,助力教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變.

    參考文獻:

    [1] 呂世虎,吳振英,楊婷,王尚志. 單元教學(xué)設(shè)計及其對促進數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的作用[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2016,25(05):16-21.

    [2] 呂世虎,楊婷,吳振英. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟[J]. 當(dāng)代教育與文化,2016, 8(04):41-46.

    [3] 陳彩虹,趙琴,汪茂華,汪曉慧,吁思敏,向榮. 基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計——全國第十屆有效教學(xué)理論與實踐研討會綜述[J]. 全球教育展望,2016,45(01):121-128.

    [4] 黃翔,童莉,李明振,沈林. 從“四基”“四能”到“三會”——一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2019,28(05):37-40.

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