立足學(xué)情精準教學(xué)，提升素養(yǎng)科學(xué)備考
——“利用奇偶分類討論解決一類數(shù)列問題”的教學(xué)反思

周舒儀

?常州市戚墅堰高級中學(xué)

1 基本情況

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象為常州市戚墅堰高級中學(xué)高三理科班學(xué)生.在前階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已完成了數(shù)列專題的一輪復(fù)習(xí)，熟練掌握了等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩類基本數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，并能根據(jù)已知數(shù)列的特點選擇合適的方法處理求通項以及求和問題； 同時，學(xué)生具備一定的觀察、分析、歸納、猜想能力.在數(shù)列的專題復(fù)習(xí)中，學(xué)生對于利用奇偶分類討論解決的數(shù)列問題有畏難情緒，往往難以識別題型，分析能力較弱.

1.2 內(nèi)容分析

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)列占據(jù)著知識匯合點的地位，很多知識點都與數(shù)列有著密切聯(lián)系.在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列單元知識進行串聯(lián)、整合、重構(gòu)，幫助其形成完整的知識體系，以期達到復(fù)習(xí)的真正目的.同時，本節(jié)課體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿于數(shù)列全章乃至整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升也起到了關(guān)鍵性作用.

2 教學(xué)過程實錄

2.1 回顧數(shù)列舊知，復(fù)習(xí)鞏固，建構(gòu)體系

師：前兩周，我們對數(shù)列進行了一輪復(fù)習(xí)梳理，請問本單元復(fù)習(xí)了哪些知識點？

生：復(fù)習(xí)了數(shù)列的概念、通項公式、遞推公式與求和方法.重點研究了等差和等比數(shù)列，以及利用數(shù)列的遞推公式求通項公式與數(shù)列前n項和的方法.

2.2 解讀高考真題，追本溯源，引入課題

(1)記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)求數(shù)列{an}的前20項和.

2.3 挑戰(zhàn)真題改編，自查互糾，理解運用

例2(2014年新課標Ⅰ卷理科題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=-1，an+2-an=4，求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和.

師：這個數(shù)列的遞推公式有什么特征，為什么想到要利用奇偶分類討論解決？

生：隔項成等差數(shù)列.

師：根據(jù)前面的經(jīng)驗，觀察數(shù)列遞推公式，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，所以要分奇偶討論.你能說出這兩個等差數(shù)列的基本量嗎？

生：數(shù)列{an}的奇數(shù)項依次構(gòu)成首項為2，公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項依次構(gòu)成首項為-1，公差為4的等差數(shù)列.

師：當n為偶數(shù)(n=2k，k∈N*)時，數(shù)列{an}的第n項是偶數(shù)列中的第幾項？

生：當n為偶數(shù)(n=2k，k∈N*)時，數(shù)列{an}前2k項中，有k個奇數(shù)項，k個偶數(shù)項，數(shù)列的第n項是偶數(shù)列中的第k項.

師：當n為奇數(shù)(n=2k-1，k∈N*)時，如何考慮項數(shù)問題？

生：數(shù)列{an}前2k-1項中，比前2k項少一個第2k項，即少一個偶數(shù)項，所以其中有k個奇數(shù)項，k-1個偶數(shù)項，數(shù)列的第n項是偶數(shù)列中的第k項.

師：數(shù)列{an}的通項公式明確后，選擇何種求和方法？

生：數(shù)列{an}的通項公式以分段形式呈現(xiàn)，應(yīng)選擇分組求和法.

師：這種方法容易出現(xiàn)什么錯誤？請觀察PPT上同學(xué)們的做題過程，同桌討論，找一找他的錯誤,并思考為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤.

學(xué)生熱烈討論，分別指出錯誤.

2.4 剖析變式本質(zhì)，模型鞏固，認識升華

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=4n-3，求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和.

師：數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式有什么特征？該如何處理？

生：左側(cè)為連續(xù)相鄰兩項和的形式，右側(cè)為等差數(shù)列通項形式.通過遞推公式發(fā)現(xiàn)，此數(shù)列也是隔項成等差數(shù)列的模型，也需要利用奇偶分類討論來解決.

師：掌握了前兩個遞推公式模型，你能對利用奇偶分類討論解決數(shù)列求通項以及求和問題進行小結(jié)嗎？四人一組進行討論.

小組討論，但不夠全面.

(2)對于遞推公式形如an+1+an=dn+b(d，b為常數(shù))的數(shù)列，可根據(jù)遞推公式得

2.5 復(fù)盤課堂內(nèi)容，鏈接高考，達成目標

師：回到例1，題干中遞推公式是直接分奇偶進行分類呈現(xiàn).請同學(xué)們根據(jù)bn=a2n，寫出b1，b2；再多寫幾項，找到數(shù)列{bn}通項的規(guī)律，猜想并驗證.

師：由第(1)問，可知bn=a2n=3n-1，n∈N*.如何求出數(shù)列{an}的通項公式？

師：根據(jù)數(shù)列{an}通項公式的特點，請選擇合適的求和方式，求出數(shù)列{an}的前20項和.

師：非常好！同學(xué)們對數(shù)列{an}和{bn}的理解都達到了不錯的程度，現(xiàn)在將問題進行拓展，你能求出n為偶數(shù)時數(shù)列{an}和前n項嗎？

2.6 以自主評價為主線，梳理方法，總結(jié)提升

師：現(xiàn)在大家已經(jīng)可以熟練處理需要利用奇偶分類討論解決的數(shù)列問題了，請同學(xué)們復(fù)盤本節(jié)課內(nèi)容，對課堂內(nèi)容和自己的掌握情況做一個總結(jié).

生：本節(jié)課學(xué)習(xí)了三種根據(jù)數(shù)列遞推公式求通項以及數(shù)列求和問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以識別該題型，并能通過遞推公式求出數(shù)列的通項公式，以及根據(jù)數(shù)列通項公式選擇合適的求和方法.

師：很好！大家都對自己的掌握情況做了客觀的評價，在和其他同學(xué)交流的過程中，我們也得到了更多的信息和反饋.希望大家能在自評和交流的基礎(chǔ)上，加深對新內(nèi)容的認識、理解、掌握和應(yīng)用，進一步總結(jié)提升.

3 教學(xué)反思

高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成.它的提出和實施，標志著高考評價理念向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的綜合評價進行轉(zhuǎn)變.根據(jù)高考評價體系的整體框架，結(jié)合新課標提出的學(xué)科核心素養(yǎng)，高考數(shù)學(xué)提出5項關(guān)鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力[1].

根據(jù)高考評價體系和新課改的要求，本節(jié)課從2021年新高考Ⅰ卷第17題數(shù)列問題出發(fā)，探討利用奇偶分類討論的一類數(shù)列求通項以及求和問題.利用小閑平臺，從學(xué)情出發(fā)，精準教學(xué)；從高考題出發(fā)，追本溯源至課本上的習(xí)題，再結(jié)合多道變式題，通過多種形式反復(fù)練習(xí)分奇偶討論的數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，使學(xué)生對這一類數(shù)列題的解法體系有了深刻的認識；最后，再回到高考題，實戰(zhàn)演練.反思本節(jié)課的教學(xué)過程，優(yōu)點在于立足學(xué)情，精準教學(xué)，有針對性地解決學(xué)生問題.同時，選題全部選用高考題及高考題的變式，貼近高考要求.不足之處在于，學(xué)生活動設(shè)計的不夠多，后續(xù)還需加強鞏固.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是學(xué)生查漏補缺、完善知識結(jié)構(gòu)、提高問題分析與解決能力、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵階段.在高三復(fù)習(xí)中，常使用微專題復(fù)習(xí)課的形式進行知識重難點的突破.因此在微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計與教學(xué)中須注意以下幾點.

(1)建構(gòu)單元知識網(wǎng)絡(luò)[2]

通過對微專題所屬知識板塊的整合，該板塊的基礎(chǔ)知識和典型問題也有機地整合在一起，體現(xiàn)了知識的整體性，有利于學(xué)生從整體上把握并理解知識內(nèi)涵，發(fā)展學(xué)生多角度分析和解決問題的能力.

(2)培養(yǎng)理性邏輯思維

教學(xué)過程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想、論證能力.在教學(xué)中，除了要設(shè)計學(xué)生在行為上參與的課堂活動外，還須設(shè)計學(xué)生能從思維上積極參與的活動，提高學(xué)生思維能力，培養(yǎng)理性思維和理性精神，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標之一.

(3)提煉基本數(shù)學(xué)思想方法[3]

數(shù)學(xué)方法具有高度的抽象性、概括性，邏輯的嚴密性，應(yīng)用的普遍性和可操作性.教師可為學(xué)生呈現(xiàn)不同類型的題目，讓學(xué)生通過觀察、比較、猜想、分析等一系列活動理解問題的本質(zhì)，同時引導(dǎo)學(xué)生進行解題總結(jié)回顧，概括提煉基本思想和方法，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累與完善.