高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)探索

湯艷麗

?江蘇省如皋中學(xué)

新時(shí)代素質(zhì)教育改革提出中小學(xué)教育要以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)為教育教學(xué)價(jià)值導(dǎo)向，通過(guò)多元化學(xué)科課堂教學(xué)途徑培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的學(xué)科學(xué)習(xí)思維、正確的人生價(jià)值觀念以及高質(zhì)量的自主學(xué)習(xí)能力.基于此，在高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程中教師要充分利用數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以培養(yǎng)學(xué)生綜合學(xué)科素養(yǎng)為教學(xué)價(jià)值導(dǎo)向，進(jìn)而全面提升學(xué)生綜合素質(zhì).

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維、方法、能力的統(tǒng)稱，也是歷年來(lái)高考命題考查的熱點(diǎn).培養(yǎng)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就是要在數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練過(guò)程中，注重培養(yǎng)與鍛煉學(xué)生快速處理數(shù)值計(jì)算與分析能力、幾何空間圖形及其位置關(guān)系想象能力、數(shù)形結(jié)合與抽象具象轉(zhuǎn)化能力以及邏輯聯(lián)想與推導(dǎo)能力.據(jù)此，筆者以高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題解析為參考，探究數(shù)學(xué)解題過(guò)程與學(xué)科核心素養(yǎng)價(jià)值導(dǎo)向間的相互融合.

1 數(shù)值計(jì)算與分析能力的培養(yǎng)

大量的數(shù)值計(jì)算以及通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)某一數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行深入分析是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難關(guān).在教學(xué)過(guò)程中教師不能夠盲目夸大題海戰(zhàn)術(shù)帶來(lái)的數(shù)學(xué)計(jì)算能力培養(yǎng)的效果，否則不僅會(huì)加重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，且會(huì)讓數(shù)學(xué)課堂變得枯燥，失去數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)意義.教師應(yīng)該合理安排數(shù)值計(jì)算與分析題目的練習(xí)計(jì)劃，通過(guò)精準(zhǔn)、典型的數(shù)學(xué)例題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)值中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系進(jìn)而進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、數(shù)值建模、數(shù)值分析和后續(xù)的模型推導(dǎo)與總結(jié).

例1某企業(yè)對(duì)三個(gè)工作車間的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如表1所示.用分層抽樣的方法分別從三個(gè)車間抽取30人，其中三車間有12人.

表1 三個(gè)車間人數(shù)統(tǒng)計(jì) 單位：人

(1)求第二車間女職工人數(shù)(k值)；

(2)為了統(tǒng)計(jì)企業(yè)職工請(qǐng)休假情況，對(duì)一車間男職工進(jìn)行001—200編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取5人，其全年請(qǐng)休假天數(shù)分別為75，79，82，73，81，且請(qǐng)休假73天的職員對(duì)應(yīng)編號(hào)是145，問(wèn)請(qǐng)休假75天的對(duì)應(yīng)職員編號(hào)是多少？求所抽取5個(gè)職員請(qǐng)休假天數(shù)的方差.

分析：本題主要考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中分層抽樣、系統(tǒng)抽樣方法以及標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差的概念與計(jì)算.要求學(xué)生觀察與理解表格數(shù)據(jù)信息并準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與分析，對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)識(shí)別與處理能力要求較高.

(2)由題意可知，系統(tǒng)抽樣過(guò)程中的抽取間距為

設(shè)請(qǐng)休假75天的對(duì)應(yīng)職員編號(hào)是m，則由145=m+(4-1)×40，解得m=25.

所以請(qǐng)休假75天的對(duì)應(yīng)職員編號(hào)是25.

由題設(shè)已知條件，可求得

因此，所抽取5個(gè)職員請(qǐng)休假天數(shù)的方差為

2 幾何空間圖形及其位置關(guān)系想象能力的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間幾何圖形的性質(zhì)及動(dòng)態(tài)變化圖形之間位置關(guān)系是一大難點(diǎn).解決此類問(wèn)題需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)抽象思維、建模能力以及空間想象能力、幾何判斷能力.在教學(xué)中，教師要注重幾何基礎(chǔ)知識(shí)的講解以及對(duì)學(xué)生空間想象思維的培養(yǎng)，通過(guò)解題訓(xùn)練鍛煉學(xué)生想象能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從已知數(shù)學(xué)條件中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并以扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)探索解決問(wèn)題的有效方法.

例2如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，且AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段BP的中點(diǎn)，滿足AP=CP，BP=DP.

(1)證明：AB⊥OP；

(2)設(shè)OP=2，求三棱錐A-BCE的體積.

圖1

分析：本題主要考查空間圖形的判斷及相應(yīng)體積求解公式、空間中兩直線的位置關(guān)系.要求學(xué)生具有一定的空間想象能力、邏輯推導(dǎo)能力并熟練掌握常見(jiàn)幾何體的面積、體積公式.

解析：(1)因?yàn)槔庾档牡酌鍭BCD是正方形，且點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC，BD的中點(diǎn).

又因?yàn)锳P=CP，BP=DP，所以AC⊥OP，BD⊥OP.

因?yàn)锳C∩BD=O，AC，BD均在平面ABCD內(nèi)，所以O(shè)P⊥平面ABCD.

故AB⊥OP.

(2)由題設(shè)條件，易知

3 數(shù)形結(jié)合與抽象具象轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)

“幾何直觀”是新課程素質(zhì)教育教學(xué)大綱所提出的高中數(shù)學(xué)關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心概念之一.因此，在教學(xué)中高中數(shù)學(xué)教師要注重對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng).在相關(guān)題目解答過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)事物的直接感知，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題背后事物的本質(zhì)聯(lián)系，依據(jù)想象構(gòu)建清晰的數(shù)學(xué)圖形并建立明確的數(shù)形聯(lián)系，利用數(shù)形轉(zhuǎn)換解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(1)求母線l的長(zhǎng)度；

(2)求此圓錐的體積.

分析：此題主要考查幾何圖形間的位置關(guān)系、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖及其面積公式、圓錐體積公式等.要求學(xué)生將題中抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為直觀的數(shù)學(xué)圖形，從數(shù)形結(jié)合的角度找到解題關(guān)鍵點(diǎn).

圖2

由2πr=2π，得r=1.所以圓錐的體積為

4 邏輯聯(lián)想與推導(dǎo)能力的培養(yǎng)

邏輯聯(lián)想與推導(dǎo)能力要求學(xué)生從現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論認(rèn)知和相關(guān)數(shù)學(xué)命題出發(fā)，從一個(gè)問(wèn)題切入點(diǎn)聯(lián)想豐富的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，以全面的數(shù)學(xué)視角分析問(wèn)題并推斷涵蓋面更為廣泛的數(shù)學(xué)命題.在高中數(shù)學(xué)解題中考查學(xué)生邏輯聯(lián)想與推導(dǎo)能力主要體現(xiàn)在尋找數(shù)學(xué)規(guī)律上，如數(shù)列中的楊輝三角等數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師要充分理解此類數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律，在解題過(guò)程中訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維.

(1)判斷集合B={-1,0,1}是否為“閉集”，并說(shuō)明理由；

(2)假設(shè)集合A是閉集，證明：若x，y∈A，則有x+y∈A；

(3)假設(shè)集合A是一個(gè)“閉集”，判斷命題“若x∈A，則有x2∈A”的真假，并說(shuō)明理由.

分析：此類題目是高中數(shù)學(xué)關(guān)于集合的概念與性質(zhì)內(nèi)容考查常見(jiàn)的出題方式，在學(xué)生已有的關(guān)于集合理論知識(shí)的基礎(chǔ)上提出一個(gè)新的定義，要求學(xué)生在對(duì)集合概念與性質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，利用邏輯推理對(duì)另外的數(shù)學(xué)命題加以判斷，以找到命題之間的本質(zhì)聯(lián)系，理解其中的數(shù)學(xué)含義.

解析：(1)因?yàn)?1-1=-2?B,所以由“閉集”定義可判斷集合B={-1,0,1}不是閉集.

(2)證明：因?yàn)榧螦是閉集，所以0∈A.若y∈A,則0-y=-y∈A.

所以由x∈A,可知x-(-y)=x+y∈A.

(3)因?yàn)閤，y∈A，1∈A，所以x-1∈A.于是，當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，有

由(2)可知，x(x-1)+x∈A，即x2∈A.

故命題“若x∈A，則有x2∈A”是真命題.

通過(guò)數(shù)學(xué)經(jīng)典例題的講解以及學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答與思考，能夠幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維模式，鍛煉其發(fā)現(xiàn)并解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.但教師要走出題海戰(zhàn)術(shù)誤區(qū)，從關(guān)注學(xué)生解題結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生解題過(guò)程.教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中提高自身數(shù)值計(jì)算與分析能力、幾何空間圖形及其位置關(guān)系想象能力、數(shù)形結(jié)合與抽象具象轉(zhuǎn)化能力以及邏輯聯(lián)想與推導(dǎo)能力等，充分將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程相融合.教導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)不能急于求成，而應(yīng)反復(fù)斟酌與推敲，學(xué)會(huì)以不變應(yīng)萬(wàn)變，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣與思維模式，進(jìn)而全面提升學(xué)生綜合素質(zhì).這將對(duì)學(xué)生今后的學(xué)科學(xué)習(xí)大有裨益.