利用曲線系 巧解競賽題

梁文勇

?江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)

解析幾何題中常涉及大量的繁瑣計(jì)算，但如果選取適當(dāng)方法，就可以避繁就簡，使問題迎刃而解.曲線系思想是把符合某種條件的一系列曲線用帶有參數(shù)的方程統(tǒng)一表示出來，再根據(jù)題目中的另外條件確定其中的參數(shù)或方程的特征，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步解決問題[1].本文中利用曲線系對(duì)2021年的兩道數(shù)學(xué)競賽題進(jìn)行解答，希望與大家交流.

原參考答案如下：

圖1

進(jìn)一步得

因?yàn)閍2∈(4,+∞)，所以f(a)∈(1,3).

解：由題意，設(shè)MN的方程為y=k1(x+2)，即y-k1x-2k1=0；設(shè)PQ的方程為y=k2(x-m)，即y-k2x+k2m=0.因?yàn)橹本€MP，NQ過M，N，P，Q四點(diǎn)，所以設(shè)MP，NQ兩直線的統(tǒng)一方程為

①

②

又直線MP，NQ都過點(diǎn)D(1,0)，設(shè)其方程分別為x=t1y+1，x=t2y+1，則MP，NQ的方程可統(tǒng)一為(x-t1y-1)(x-t2y-1)=0，展開為x2-(t1+t2)xy+t1t2y2-2x+(t1+t2)y+1=0，其x2的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，xy的系數(shù)與y的系數(shù)互為相反數(shù)，因此①式展開也有x2的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，xy的系數(shù)與y的系數(shù)互為相反數(shù)，則有

因?yàn)閍2∈(4,+∞)，所以f(a)∈(1,3).

(1)求橢圓C的方程；

圖2

⑤

這里也是通過A1A2，EF的統(tǒng)一方程的系數(shù)特征，直接找到m，n之間的關(guān)系，避免了繁瑣運(yùn)算.

通過兩道競賽題的解析，我們看到曲線系方法應(yīng)用特征明顯，結(jié)構(gòu)精巧，過程簡捷明快，常可減少運(yùn)算，是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好方法，在解題實(shí)踐中可有意識(shí)地加以運(yùn)用.

作為練習(xí)，最后留一道題：