應(yīng)用聯(lián)想發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的探索

唐再清

?重慶市酉陽第一中學(xué)校

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多，難度高，若學(xué)習(xí)時(shí)不關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，不僅會(huì)增加學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且解題能力也會(huì)大大降低.數(shù)學(xué)各模塊、各分支緊密聯(lián)系，相互依存，若學(xué)習(xí)時(shí)不關(guān)注聯(lián)系就很難建立起一個(gè)完整的知識(shí)體系，那么學(xué)生在知識(shí)遷移時(shí)將會(huì)遇到較大的障礙，這將直接影響解題的準(zhǔn)確率和效率.對(duì)于知識(shí)體系的建構(gòu)，筆者認(rèn)為除了夯實(shí)基礎(chǔ)外還應(yīng)會(huì)聯(lián)想.如學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時(shí)，通過聯(lián)想相關(guān)的舊知，將新知向熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化，這樣可以降低學(xué)生對(duì)新知產(chǎn)生的畏難情緒，這樣通過聯(lián)想不僅復(fù)習(xí)了舊知，對(duì)新知的內(nèi)化也有著積極的意義.又如，在解題時(shí)，通過對(duì)典型題的聯(lián)想有利于學(xué)生找到解題的方向，使解題過程更具目標(biāo)性，大大提升解題效率.另外，通過聯(lián)想可以充分發(fā)揮個(gè)體思維差異的優(yōu)勢(shì)，將多角度觀察和多方位思考的成果轉(zhuǎn)化為學(xué)生的創(chuàng)新思維，進(jìn)而提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.為了發(fā)揮聯(lián)想的優(yōu)勢(shì)，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)自己的認(rèn)識(shí)，以期幫助學(xué)生啟動(dòng)聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的轉(zhuǎn)化和能力的提升.

1 新舊對(duì)比，啟動(dòng)思維

溫故知新既是一種學(xué)習(xí)方法也是一種學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過溫習(xí)與新知相關(guān)聯(lián)的舊知，為新知的學(xué)習(xí)掃清障礙，進(jìn)而為新知的探究奠定基礎(chǔ).借助新舊知識(shí)的對(duì)比，使學(xué)生更關(guān)注二者的區(qū)別和聯(lián)系，有利于培養(yǎng)思維的深刻性.同時(shí)，從學(xué)生熟悉的舊知入手，更容易啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，有利于課堂效率的提升.

案例1二次函數(shù)與一元二次方程.

師：下列題目你們會(huì)解嗎？(教師PPT展示題目)

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，方程f(x)=0的兩個(gè)根分別為1和3.

(1)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集；

(2)若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，你能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍嗎？

為了幫助學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，教師設(shè)計(jì)了這樣兩小問讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，促使學(xué)生通過對(duì)舊知的鞏固來實(shí)現(xiàn)新知的遷移.教師讓學(xué)生以合作探究的方式解決問題，是為了通過合作實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，完成知識(shí)的系統(tǒng)建構(gòu).

生1：由方程f(x)=0的兩個(gè)根分別為1和3，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，求得拋物線的解析式f(x)=-2(x-2)2+2.利用已知條件畫出函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)圖象可知不等式的解集為{x|1

師：很好，通過聯(lián)想和遷移將求不等式ax2+bx+c>0的解集問題轉(zhuǎn)化成了函數(shù)問題.你能詳細(xì)說明一下是如何觀察的嗎？(教師發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生存在疑惑，放慢速度，給學(xué)生一定的思考空間，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想將問題串聯(lián).)

生1：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，令y>0，可得到不等式ax2+bx+c>0，不等式ax2+bx+c>0的解即為函數(shù)在x軸上方圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：說得很好！發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與不等式的關(guān)系，那么方程ax2+bx+c=k與函數(shù)圖象又有什么關(guān)聯(lián)呢？

通過爭(zhēng)辯和聯(lián)想，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)第(2)問可以轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象，容易得出當(dāng)k<2時(shí)，直線y=k與拋物線f(x)=-2(x-2)2+2有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)k<2時(shí)，方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

通過師生的共同努力，將方程、不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來，借助數(shù)形結(jié)合降低了解題難度.同時(shí)，通過這樣的對(duì)比學(xué)習(xí)，學(xué)生更關(guān)注三者之間的聯(lián)系，這對(duì)知識(shí)的鞏固及知識(shí)體系的建構(gòu)都有很大的幫助.

2 數(shù)形聯(lián)想，發(fā)展思維

數(shù)與形有效結(jié)合更能凸顯問題的本質(zhì)，有利于學(xué)生更好地認(rèn)清已知，并結(jié)合圖形中反饋的信息找到解題的靈感，進(jìn)而找到解題的切入點(diǎn)，成功解決問題[1].

案例2求|x-1|+|x-2|+|x-3|(x∈R)的最小值.

這道題看上去條件簡(jiǎn)單，數(shù)值較小，感覺容易求解，然真正去做就感覺無從下手.案例2為一道抽象的代數(shù)問題，若想輕松求解需要進(jìn)行數(shù)形聯(lián)想，通過幾何建模實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而找到解題的思路.

解析：本題求解時(shí)可以聯(lián)想數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一個(gè)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)使得它到數(shù)1，2，3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和最小.通過觀察數(shù)軸，很容易得出當(dāng)x=2時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|取最小值，且最小值為2.

為了讓學(xué)生更好地理解該知識(shí)點(diǎn)，并能總結(jié)歸納出問題的一般規(guī)律，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)分析并求解|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值，及|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+……+|x-an|的最小值.通過數(shù)形結(jié)合，不斷聯(lián)想、升華，學(xué)生不僅領(lǐng)悟了解決此類問題的精髓，而且總結(jié)歸納出了一般規(guī)律，提升了學(xué)生的思維品質(zhì).

圖形并非解決幾何問題的專利，其在處理代數(shù)問題中也至關(guān)重要，尤其在解決函數(shù)問題時(shí)其作用更為突出，將已知條件用圖形方式表達(dá)不僅可以提供解題思路，還可以減少大量的復(fù)雜計(jì)算，這對(duì)提升解題效率、降低運(yùn)算錯(cuò)誤都有積極的意義.因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法去思考和探究問題，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 歸納推理，拓展思維

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，直覺聯(lián)想為解題提供方向.若解題單憑直覺顯然存在一定主觀性，不具備足夠的說服力，因此，合理的推理就尤為重要了，只有二者有機(jī)結(jié)合才能達(dá)到事半功倍的效果[2].

案例3證明：函數(shù)f(x)=x6-x3+x2-x+1(x∈R)的值恒為正數(shù).

解析：顯然本題求解時(shí)可以通過對(duì)x的不同取值逐一證明，進(jìn)而推理得出最終的結(jié)論.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<0時(shí)，x6，-x3等各項(xiàng)的值均為正數(shù)，即f(x)>0；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x6-x3≤0，x2-x≤0，難以求解，故將f(x)=x6-x3+x2-x+1進(jìn)行變形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)，因?yàn)?-x≥0，故f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，同樣直接觀察不能判定值的正負(fù)，將f(x)=x6-x3+x2-x+1變形得f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+1，變形后可知各項(xiàng)均大于0，故f(x)>0.綜上可知，函數(shù)f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒為正數(shù).

本題的推理過程實(shí)為從特殊到一般的驗(yàn)證，例如，本題將x∈R分為x<0，0≤x≤1，x>1三類特殊情況，通過對(duì)特殊情況的分析推理歸納出了結(jié)論.當(dāng)解題遇到難以求解的問題時(shí)，往往可以通過分類討論化難為簡(jiǎn)，進(jìn)而通過推理分析得到最終的結(jié)果.另外，在解填空或者選擇題時(shí)，通過聯(lián)想和類比，應(yīng)用歸納推理有時(shí)會(huì)收獲意外驚喜.

4 動(dòng)靜結(jié)合，突破思維

學(xué)生在面對(duì)動(dòng)態(tài)問題時(shí)往往無從下手，動(dòng)態(tài)問題是公認(rèn)的難點(diǎn)問題.對(duì)于此類問題的求解要善于動(dòng)靜結(jié)合，從“動(dòng)”中發(fā)現(xiàn)“靜”，進(jìn)而通過對(duì)“靜”的分析與轉(zhuǎn)化解決“動(dòng)”的問題，進(jìn)而消除學(xué)生的畏難情緒，幫助學(xué)生找到解決問題的切入點(diǎn)和突破口，從而順利解決問題.

案例4已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1對(duì)于區(qū)間[m,m+1]上的任意x，f(x)<0均成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

案例4中借助“動(dòng)靜結(jié)合”，厘清了知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系，挖掘出了問題的本質(zhì)，為問題的解決找到了恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，使問題迎刃而解.動(dòng)靜結(jié)合是一種典型的解題方法，其在高中數(shù)學(xué)，尤其在解決動(dòng)態(tài)問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)和滲透，進(jìn)而通過動(dòng)靜轉(zhuǎn)化提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)解題能力提升.

總之，“聯(lián)想”表面上看是一種直覺思維能力，然其卻有著強(qiáng)大邏輯思維能力的支撐，它是重要的思維方法.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生聯(lián)想能力的培養(yǎng)，只有這樣，學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)，才能借助合理的聯(lián)想全方位地思考問題，進(jìn)而提升解題能力和思維能力.