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    遞推數(shù)列類型分析

    2014-10-22 02:19:04周燕平
    關(guān)鍵詞:求通公比倒數(shù)

    周燕平

    ∴an=2n2+n2

    一般地anan-1=g(n)型遞推公式,可通過累乘求通項(xiàng).

    三、an=kan-1+b型

    例3在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=2an-1+3 (n≥2) 求an.

    解:設(shè)an+c=2(an-1+c),得c=3.

    ∴an+3是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列.

    ∴an+3= 2n+1.

    ∴an=2n+1-3.

    一般地,an=kan-1+b(k≠0且k≠1,b≠0)型遞推公式,可通過待定系數(shù)法構(gòu)造公比為k的等比數(shù)列求通項(xiàng).

    四、an=pan-1qan-1+r型

    例4在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=an-12an-1+1 (n≥2) 求an.

    解:兩邊取倒數(shù)得1an=1an-1+2.

    ∴1an 是以一為1首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列.

    ∴ 1an=2n-1.

    ∴ an=12n-1.

    五、an=pan-1+qrn型

    例5在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=2an-1+3n(n≥2),求an.

    解:an2n=an-12n-1+(32)n.

    記bn=an2n,則bn-bn-1=(32)n(n≥2).

    由累加法,得bn=3n-12n-4.

    ∴an=3n+1-2n+2.

    一般地,an=pan-1+qrn型遞推公式,可通過等式兩邊同除以pn或qn轉(zhuǎn)化為類型一或類型三求通項(xiàng),或用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列an+krn=p(an-1+krn-1)求通項(xiàng).

    六、an=pan-1+qrn+r型

    例6在數(shù)列an中,已知a1=2,an=2an-1+3n-1(n≥2),求an.

    解:設(shè)an+p=2(an-1+p)+3n,得p=-1.

    令bn=an-1.則bn=2bn-1+3n(n≥2).

    由例5得bn=3n+1-2n+2.

    ∴ an=3n+1-2n+2+1.

    一般地,an=pan-1+qrn+r型可先轉(zhuǎn)化an=pan-1+qrn型再求解.

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