利用數(shù)列遞推公式求通項公式淺探

何升吉

[摘要]在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列知識最活躍，聯(lián)系最廣泛，是高考的重點與難點.而通項公式又是數(shù)列的靈魂.對利用遞推公式求通項公式進行研究，可揭示這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)規(guī)律與本質(zhì).

[關(guān)鍵詞]數(shù)列通項公式遞推公式

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）020060

歷年高考對數(shù)列的考查都是以通項公式和前n項和為主，其中前n項和的求法又是由通項公式?jīng)Q定的，所以，通項公式是數(shù)列的重點.在求通項公式的題型中，利用遞推公式求通項公式是重點.本文將按照不同遞推公式的形式，介紹幾種求通項公式的方法.

一、形如an+1-an=f（n）的遞推公式求通項公式（疊加法）

具體做法如下.

∵an+1-an=f（n），∴a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1）.

上面n-1個式子左右兩邊分別相加，得an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）.

算出右邊的式子，再結(jié)合給出的a1，則可求出通項公式.

【例1】已知a1=1，an+1-an=2n，求an.

解：∵an+1-an=2n，∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1.

左右兩邊分別相加得

an-a1=2+22+…+2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2.

∴an=2n-1.

二、形如an+1an=f（n）的遞推公式求通項公式（疊乘法）

具體做法如下.

∵an+1an=f（n），∴a2a1=f（1），a3a2=f（2），…，anan-1=f（n-1）.

上面n-1個式子左右兩邊分別相乘，得ana1=f（1）×f（2）×…×f（n-1）.

同樣算出右邊的式子，再結(jié)合給出的a1，則可求出通項公式.

【例2】已知a1=1，（n+1）an+1=nan，求an.

解：∵（n+1）an+1=nan，即an+1an=nn+1，∴a2a1=12，a3a2=23，…，anan-1=n-1n.

上述n-1個式子左右兩邊相乘，得ana1=12×23×…×n-1n=1n.∴an=1n.

三、形如an+1=can+d（c≠1）的遞推公式求通項公式（構(gòu)造等比數(shù)列）

具體做法如下.

設(shè)an+1+x=c（an+x），則有an+1=can+（c-1）x.與an+1=can+d對比，得（c-1）x=d，∴x=dc-1.將x=dc-1代入an+1+x=c（an+x），得an+1+dc+1=c（an+dc-1）.

令bn=an+dc-1，則有bn+1=cbn，且b1=a1+dc-1.可以看出，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求出{bn}的通項公式，即可求出an.

【例3】已知a1=1，an+1=2an+1，求an.

分析：設(shè)an+1+x=2（an+x），展開得an+1=2an+x，與an+1=2an+1對比得x=1.

解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）.

令bn=an+1，則bn+1=2bn.

∵b1=a1+1=2，∴bn=2n，即an=2n-1.

四、形如an+1=can+dn的遞推公式求通項公式

（1）當c≠d時，采用構(gòu)造等比數(shù)列的方法.

設(shè)an+1+xdn+1=c（an+xdn）an+1+xdn+1=can+cxdn-xdn+1an+1=can+（c-d）xdn.

與an+1=can+dn對比，可得（c-d）x=1，從而求出x=1c-d.

即an+1=can+dn可化為an+1+1c-ddn+1=c（an+1c-ddn）.令bn=an+1c-ddn，可得bn+1=cbn，且b1=a1+1c-dd，易知{bn}是等比數(shù)列，先求bn，即可求出an.

（2）當c=d時，采用構(gòu)造等差數(shù)列的方法

當c=d時，an+1=can+d即為an+1=can+cn，此種類型的處理方法是式子兩邊同除以cn+1.（不管題目中c的指數(shù)是多少次，均同除以cn+1）

an+1=can+cn變?yōu)閍n+1cn+1=cancn+1+cncn+1=ancn+1c.令bn=ancn，得bn+1=bn+1c，b1=a1c顯然{bn}是等差數(shù)列，求出bn即可求出an.

以上即為利用遞推公式求通項公式的幾種常見類型.學(xué)生在做題時，只要能夠分析清楚它屬于哪一種題型，采用相應(yīng)的方法解答即可.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）